wd wp Пошук: ⬜

Тэарэма аб цыркуляцыі магнітнага поля

Тэарэма аб цыркуляцыі магнітнага поля — адна з фундаментальных тэарэм класічнай электрадынамікі, сфармуляваная Андрэ Мары Амперам ў 1826 годзе. У 1861 году Джэймс Максвел зноў вывеў гэтую тэарэму, абапіраючыся на аналогіі з гідрадынамікай, і абагульніў яе (гл. ніжэй). Ураўненне, якое прадстаўляе сабой змест тэарэмы у гэтым абагульненым выглядзе, уваходзіць у лік ураўненняў Максвела. (Для выпадку пастаянных электрычных палёў - гэта значыць у прынцыпе ў магнітастатыцы - верная тэарэма ў першапачатковым выглядзе, які сфармуляваў Ампер і прыведзены у артыкуле першым; для агульнага выпадку правая частка павінна быць дапоўнена членам з вытворнай напружанасці электрычнага поля па часе - гл ніжэй). Тэарэма абвяшчае:

Цыркуляцыя магнітнага поля пастаянных токаў па ўсякім замкнёным контуры прапарцыйная суме сіл токаў, пранізлівых контур цыркуляцыі.

Гэтая тэарэма, асабліва ў замежнай або перакладной літаратуры, называецца таксама тэарэмай Ампера або законам Ампера пра цыркуляцыю (англ. Ampère’s circuital law). Апошняя назва мае на ўвазе разгляд закона Ампера ў якасці больш фундаментальнага сцвярджэнні, чым закон Біё — Савара — Лапласа, які ў сваю чаргу разглядаецца ўжо ў якасці следства (што, у цэлым, адпавядае сучаснаму варыянту пабудовы электрадынамікі).

Для агульнага выпадку (класічнай) электрадынамікі формула павінна быць дапоўненая ў правай частцы членам, якія змяшчаюць вытворную па часе ад электрычнага поля (гл. ураўненні Максвела, а таксама параграф «Абагульненне» ніжэй). У такім дапоўненым выглядзе яна ўяўляе сабой чацвёртае ураўненне Максвела ў інтэгральнай форме.

Матэматычная фармулёўка

У матэматычнай фармулёўцы для магнітастатыкы тэарэма мае [1] наступны выгляд[2]:

∮

B →

⋅

d l

→

4 π

∫

j →

⋅

d s

→

{\displaystyle \oint {\vec {B}}\cdot {\vec {dl}}={\frac {4\pi }{c}}\int {\vec {j}}\cdot {\vec {ds}}}

$\{\displaystyle \oint \{\vec \{B\}\}\cdot \{\vec \{dl\}\}=\{\frac \{4\pi \}\{c\}\}\int \{\vec \{j\}\}\cdot \{\vec \{ds\}\}\}$ Тут

B →

{\displaystyle {\vec {B}}}

$\{\displaystyle \{\vec \{B\}\}\}$ — вектар магнітнай індукцыі,

j →

{\displaystyle {\vec {j}}}

$\{\displaystyle \{\vec \{j\}\}\}$ — шчыльнасць току; інтэграванне злева вырабляецца па адвольным замкнёным контуры, справа — па адвольнай паверхні, нацягнутай на гэты контур. Дадзеная форма носіць назву інтэгральнай, паколькі ў відавочным выглядзе ўтрымлівае інтэграванне. Тэарэма можа быць таксама прадстаўлена ў дыферэнцыяльнай форме:

r o t

B →

4 π

j →

{\displaystyle \mathrm {rot} \ {\vec {B}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {j}}}

$\{\displaystyle \mathrm \{rot\} \ \{\vec \{B\}\}=\{\frac \{4\pi \}\{c\}\}\{\vec \{j\}\}\}$ Эквівалентнасць інтэгральнай і дыферэнцыяльнай формаў вынікае з тэарэмы Стокса.

Прыведзеная вышэй форма справядлівая для вакууму. У выпадку ўжывання яе ў асяроддзі (рэчыве), яна будзе карэктная толькі ў выпадку, калі пад j разумець наогул усё токі, гэта значыць ўлічваць і «мікраскапічныя» токі, бягучыя в рэчыве, у тым ліку «мікраскапічныя» токі, бягучыя у абласцях памерамі парадку памеру малекулы (гл. дыямагнетыкі) і магнітныя моманты мікрачасцін (см.напрыклад ферамагнетыкі).

Таму ў рэчыве, калі не грэбаваць яго магнітнымі ўласцівасцямі, часта зручна з поўнага току вылучыць ток намагнічанага (гл. звязаныя токі), выказаўшы яго праз велічыню намагнічанасць

{\displaystyle I}

$\{\displaystyle I\}$ і увёўшы вектар напружанасці магнітнага поля

H →

B →

− 4 π

I →

{\displaystyle {\vec {H}}={\vec {B}}-4\pi {\vec {I}}}

$\{\displaystyle \{\vec \{H\}\}=\{\vec \{B\}\}-4\pi \{\vec \{I\}\}\}$ Тады тэарэма пра цыркуляцыю запішацца ў форме

∮

H →

⋅

d l

→

4 π

∫

j →

⋅

d s

→

{\displaystyle \oint {\vec {H}}\cdot {\vec {dl}}={\frac {4\pi }{c}}\int {\vec {j}}_{f}\cdot {\vec {ds}}}

$\{\displaystyle \oint \{\vec \{H\}\}\cdot \{\vec \{dl\}\}=\{\frac \{4\pi \}\{c\}\}\int \{\vec \{j\}\}_\{f\}\cdot \{\vec \{ds\}\}\}$

r o t

H →

4 π

j →

{\displaystyle \mathrm {rot} \ {\vec {H}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {j}}_{f},}

$\{\displaystyle \mathrm \{rot\} \ \{\vec \{H\}\}=\{\frac \{4\pi \}\{c\}\}\{\vec \{j\}\}_\{f\},\}$ дзе пад

j →

{\displaystyle {\vec {j}}_{f}}

$\{\displaystyle \{\vec \{j\}\}_\{f\}\}$ (у адрозненне ад

j →

{\displaystyle {\vec {j}}}

$\{\displaystyle \{\vec \{j\}\}\}$ ў формуле вышэй) маюцца на ўвазе т. зв. свабодныя токі, у якіх ток намагнічання выключаны (што бывае зручна практычна, паколькі

j →

{\displaystyle {\vec {j}}_{f}}

$\{\displaystyle \{\vec \{j\}\}_\{f\}\}$ - гэта звычайна ўжо ў сутнасці макраскапічныя токі, якія не звязаны з намагнічаныя рэчывы і якія ў прынцыпе няцяжка непасрэдна вымераць)[3].

У дынамічным выпадку - гэта значыць, у агульным выпадку класічнай электрадынамікі - калі палі змяняюцца ў часе (а ў асяроддзях пры гэтым змяняецца і іх палярызацыя) - і гаворка тады ідзе аб абагульненай тэарэме, у якую ўваходзяць

E →

d t

{\displaystyle d{\vec {E}}/dt}

$\{\displaystyle d\{\vec \{E\}\}/dt\}$ , - усё сказанае вышэй адносіцца і да мікраскапічным токах, звязаных з зменамі палярызацыі дыэлектрыка. Гэтая частка токаў тады ўлічваецца ў члене

D →

d t

{\displaystyle d{\vec {D}}/dt}

$\{\displaystyle d\{\vec \{D\}\}/dt\}$ .

Абагульненне

Асноўны артыкул: Закон Ампера — Максвела Асноўным фундаментальным абагульненнем [4] тэарэмы з’яўляецца чацвёртае ураўненне Максвела. У інтэгральнай форме яно з’яўляецца прамым абагульненнем на дынамічны выпадак магнітостатычнай формулы, прыведзенай вышэй. Для вакууму [5]:

∮

B →

⋅

d l

→

1 c

∫ ( 4 π

j →

∂

E →

∂ t

) ⋅

d s

→

{\displaystyle \oint {\vec {B}}\cdot {\vec {dl}}={\frac {1}{c}}\int (4\pi {\vec {j}}+{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}})\cdot {\vec {ds}}}

$\{\displaystyle \oint \{\vec \{B\}\}\cdot \{\vec \{dl\}\}=\{\frac \{1\}\{c\}\}\int (4\pi \{\vec \{j\}\}+\{\frac \{\partial \{\vec \{E\}\}\}\{\partial t\}\})\cdot \{\vec \{ds\}\}\}$ для асяроддзя[6]:

∮

H →

⋅

d l

→

4 π

∫

j →

⋅

d s

→

1 c

∂

∂ t

∫

D →

⋅

d s

→

{\displaystyle \oint {\vec {H}}\cdot {\vec {dl}}={\frac {4\pi }{c}}\int {\vec {j}}\cdot {\vec {ds}}+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\int {\vec {D}}\cdot {\vec {ds}}.}

$\{\displaystyle \oint \{\vec \{H\}\}\cdot \{\vec \{dl\}\}=\{\frac \{4\pi \}\{c\}\}\int \{\vec \{j\}\}\cdot \{\vec \{ds\}\}+\{\frac \{1\}\{c\}\}\{\frac \{\partial \}\{\partial t\}\}\int \{\vec \{D\}\}\cdot \{\vec \{ds\}\}.\}$ (Як бачым, формулы адрозніваюцца ад прыведзеных вышэй толькі адным дадатковым членам з хуткасцю змены электрычнага поля ў правай часткі).

Дыферэнцыяльную форму гэтага ураўнення:

r o t

B →

4 π

j →

1 c

∂

∂ t

E →

{\displaystyle \mathbf {rot} {\vec {B}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {j}}+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}{\vec {E}},}

$\{\displaystyle \mathbf \{rot\} \{\vec \{B\}\}=\{\frac \{4\pi \}\{c\}\}\{\vec \{j\}\}+\{\frac \{1\}\{c\}\}\{\frac \{\partial \}\{\partial t\}\}\{\vec \{E\}\},\}$

r o t

H →

4 π

j →

1 c

∂

∂ t

D →

{\displaystyle \mathbf {rot} {\vec {H}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {j}}+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}{\vec {D}}}

$\{\displaystyle \mathbf \{rot\} \{\vec \{H\}\}=\{\frac \{4\pi \}\{c\}\}\{\vec \{j\}\}+\{\frac \{1\}\{c\}\}\{\frac \{\partial \}\{\partial t\}\}\{\vec \{D\}\}\}$ (у гаусавай сістэме, для вакууму і асяроддзя адпаведна) - таксама можна пры жаданні лічыць варыянтам абагульнення тэарэмы пра цыркуляцыю магнітнага поля, паколькі яна, вядома, цесна звязана з інтэгральнай.

Практычнае значэнне

Магнітнае поле прамалінейнага правадніка з токам.

Тэарэма пра цыркуляцыю гуляе ў магнітастатыцы прыблізна тую ж ролю, што і тэарэма Гауса ў электрастатыцы. У прыватнасці, пры наяўнасці пэўнай сіметрыі задачы, яна дазваляе проста знаходзіць велічыню магнітнага поля ва ўсім прасторы па зададзеных токах. Напрыклад, для вылічэння магнітнага поля ад бясконцага прамалінейнага правадніка з токам па закону Біё — Савара — Лапласа спатрэбіцца вылічыць невідавочны інтэграл, у той час як тэарэма пра цыркуляцыю (з улікам восевай сіметрыі задачы) дазваляе даць імгненны адказ:

B ( r ) ⋅ 2 π r

4 π

I → B ( r )

2 I

c r

{\displaystyle B(r)\cdot 2\pi r={\frac {4\pi }{c}}I\to B(r)={\frac {2I}{cr}}}

$\{\displaystyle B(r)\cdot 2\pi r=\{\frac \{4\pi \}\{c\}\}I\to B(r)=\{\frac \{2I\}\{cr\}\}\}$ . Зноскі

↑ Прыведзена тут у гаусавай сістэме адзінак, у сістэме СІ канстанта ў правай частцы замест

4 π

{\displaystyle {\frac {4\pi }{c}}}

$\{\displaystyle \{\frac \{4\pi \}\{c\}\}\}$ запісваецца як

{\displaystyle \mu _{0}}

$\{\displaystyle \mu _\{0\}\}$ . 2. ↑ тут і ніжэй выкарыстаная сістэма СГС, у сістэме СІ каэфіцыенты адсутнічаюць 3. ↑ На практыцы пры напісанні ураўненняў для асяроддзя індэкс f у токаў як правіла апускаецца, пішацца проста

j →

{\displaystyle {\vec {j}}}

$\{\displaystyle \{\vec \{j\}\}\}$ . Таксама часта не робіцца агаворак аб тым, што гэта менавіта «свабодныя» токі. У такой фенаменалагічнай тэорыі ніякіх іншых токаў відавочна не разглядаецца, хоць насамрэч (фізічна) звязаныя токі, вядома, ёсць, проста «схаваныя» ў іншыя велічыні -

I →

H →

{\displaystyle {\vec {I}},{\vec {H}}}

$\{\displaystyle \{\vec \{I\}\},\{\vec \{H\}\}\}$ т.п. і фармальна выключаны з разгляду. 4. ↑ Паколькі гэта абагульненне грунтуецца на вернасці магнітастатычнага варыянту тэарэмы Ампера пра цыркуляцыю магнітнага поля і захаванні зарада (якое можа быць прынята як пастулат) і можа быць паказана досыць строга адпаведнасць абагульненага ўраўненні гэтых двух пасылкам, а пры накладанні пэўных дадатковых умоў - і адзінасць такога абагульнення, яно ў прынцыпе можа быць таксама сфармулявана ў выглядзе тэарэмы. 5. ↑ У гаусавай сістэме адзінак. 6. ↑ У асноўным тэксце — у СГС. У СІ — так:

∮

H →

⋅

d l

→

= ∫

j →

⋅

d s

→

∂

∂ t

∫

D →

⋅

d s

→

{\displaystyle \oint {\vec {H}}\cdot {\vec {dl}}=\int {\vec {j}}\cdot {\vec {ds}}+{\frac {\partial }{\partial t}}\int {\vec {D}}\cdot {\vec {ds}}.}

$\{\displaystyle \oint \{\vec \{H\}\}\cdot \{\vec \{dl\}\}=\int \{\vec \{j\}\}\cdot \{\vec \{ds\}\}+\{\frac \{\partial \}\{\partial t\}\}\int \{\vec \{D\}\}\cdot \{\vec \{ds\}\}.\}$

Тэмы гэтай старонкі (3):
Катэгорыя·Вікіпедыя·Старонкі з модулем Hatnote з чырвонай спасылкай
Катэгорыя·Фізічныя тэарэмы
Катэгорыя·Магнітастатыка