wd wp Пошук: ⬜

Магнітастатыка

Магнітастатыка — падзел класічнай электрадынамікі, які вывучае ўзаемадзеянне пастаянных токаў з дапамогай ствараемага імі пастаяннага магнітнага поля і спосабы разліку магнітнага поля ў гэтым выпадку. Пад выпадкам магнітастатыкі або набліжэннем магнітастатыкі разумеюць выкананне гэтых умоў (сталасці токаў і палёў - або досыць павольная іх змена з часам), каб можна было карыстацца метадамі магнітастатыкі ў якасці практычна дакладных ці хаця б набліжаных. Магнітастатыка разам з электрастатыкай уяўляюць сабой прыватны выпадак (або набліжэнне) класічнай электрадынамікі; іх можна выкарыстоўваць сумесна і незалежна (разлік электрычнага і магнітнага палёў у гэтым выпадку не мае ўзаемазалежнасцей - у адрозненне ад агульнага электрадынамічнага выпадкі).

Асноўныя ўраўненні

Усе асноўныя ўраўненні магнітастатыкі лінейныя [1] (як і класічнай электрадынамікі наогул, прыватным выпадкам якой магнітастатыка з’яўляецца). Гэта мае на ўвазе важную ролю ў магнітастатыцы (таксама як і ва ўсёй электрадынаміцы) прынцыпу суперпазіцыі.

Прынцып суперпазіцыі для магнітастатыкі можа быць сфармуляваны так: магнітнае поле, якое ствараецца некалькімі токамі, ёсць вектарная сума палёў, якія б ствараліся кожным з гэтых токаў паасобку.

Гэты прынцып аднолькава фармулюецца і ў прынцыпе аднолькава выкарыстоўваецца для вектару магнітнай індукцыі і для вектарнага патэнцыялу і ўжываецца пры разліках паўсюдна. Асабліва відавочным і прамым чынам гэта праяўляецца, калі пры ўжыванні закона Бія - Савара (гл. ніжэй) для разліку магнітнага поля

B →

{\displaystyle {\vec {B}}}

$\{\displaystyle \{\vec \{B\}\}\}$ вырабляецца сумаванне (інтэграванне) бясконца малых укладаў

B →

{\displaystyle d{\vec {B}}}

$\{\displaystyle d\{\vec \{B\}\}\}$ , якія ствараюцца кожным бясконца малым элементам току, што цякуць у розных кропках прасторы (сапраўды гэтак жа і пры ўжыванні варыянту гэтага закона для вектарнага патэнцыялу).

Асноўныя ўраўненні, якія выкарыстоўваюцца ў магнітастатыцы[2]

Закон Бія - Савара - Лапласа (велічыня магнітнага поля, генераванага ў дадзенай кропцы элементам току)

B →

I c

[

d l

→

r →

]

{\displaystyle d{\vec {B}}={\frac {I}{c}}{\frac {\left[{\vec {dl}}\times {\vec {r}}\right]}{r^{3}}}}

$\{\displaystyle d\{\vec \{B\}\}=\{\frac \{I\}\{c\}\}\{\frac \{\left[\{\vec \{dl\}\}\times \{\vec \{r\}\}\right]\}\{r^\{3\}\}\}\}$

B →

1 c

[

j →

d V ×

r →

]

{\displaystyle d{\vec {B}}={\frac {1}{c}}{\frac {\left[{\vec {j}}dV\times {\vec {r}}\right]}{r^{3}}}}

$\{\displaystyle d\{\vec \{B\}\}=\{\frac \{1\}\{c\}\}\{\frac \{\left[\{\vec \{j\}\}dV\times \{\vec \{r\}\}\right]\}\{r^\{3\}\}\}\}$

Тэарэма пра цыркуляцыю магнітнага поля

∮

B →

⋅

d l

→

4 π

I ≡

4 π

∫

j →

⋅

d S

→

{\displaystyle \oint {\vec {B}}\cdot {\vec {dl}}={\frac {4\pi }{c}}I\equiv {\frac {4\pi }{c}}\int {\vec {j}}\cdot {\vec {dS}}}

$\{\displaystyle \oint \{\vec \{B\}\}\cdot \{\vec \{dl\}\}=\{\frac \{4\pi \}\{c\}\}I\equiv \{\frac \{4\pi \}\{c\}\}\int \{\vec \{j\}\}\cdot \{\vec \{dS\}\}\}$

яна ж у дыферэнцыяльнай форме:

r o t

B →

4 π

j →

{\displaystyle \mathrm {rot} {\vec {B}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {j}}}

$\{\displaystyle \mathrm \{rot\} \{\vec \{B\}\}=\{\frac \{4\pi \}\{c\}\}\{\vec \{j\}\}\}$

Выраз для сілы Лорэнца (сілы, з якой на рухаецца зараджаную часціцу дзейнічае магнітнае поле)

F →

q c

[

v →

B →

]

{\displaystyle {\vec {F}}={\frac {q}{c}}\left[{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right]}

$\{\displaystyle \{\vec \{F\}\}=\{\frac \{q\}\{c\}\}\left[\{\vec \{v\}\}\times \{\vec \{B\}\}\right]\}$

Выраз для сілы Ампера (сілы, з якой на элемент току дзейнічае магнітнае поле)

F →

I c

[

d l

→

B →

]

{\displaystyle d{\vec {F}}={\frac {I}{c}}\left[{\vec {dl}}\times {\vec {B}}\right]}

$\{\displaystyle d\{\vec \{F\}\}=\{\frac \{I\}\{c\}\}\left[\{\vec \{dl\}\}\times \{\vec \{B\}\}\right]\}$

(гэтыя ўраўненні запісаныя ў сістэме СГС; ніжэй - у СІ)

у сістэме СІ

У сістэме СІ гэтыя ўраўненні (таксама для вакууму) выглядаюць вось як:

Закон Бія — Савара — Лапласа:

B →

4 π

[

d l

→

r →

]

{\displaystyle d{\vec {B}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {\left[I{\vec {dl}}\times {\vec {r}}\right]}{r^{3}}}}

$\{\displaystyle d\{\vec \{B\}\}=\{\frac \{\mu _\{0\}\}\{4\pi \}\}\{\frac \{\left[I\{\vec \{dl\}\}\times \{\vec \{r\}\}\right]\}\{r^\{3\}\}\}\}$

B →

4 π

[

j →

d V ×

r →

]

{\displaystyle d{\vec {B}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {\left[{\vec {j}}dV\times {\vec {r}}\right]}{r^{3}}}}

$\{\displaystyle d\{\vec \{B\}\}=\{\frac \{\mu _\{0\}\}\{4\pi \}\}\{\frac \{\left[\{\vec \{j\}\}dV\times \{\vec \{r\}\}\right]\}\{r^\{3\}\}\}\}$

Тэарэма пра цыркуляцыю магнітнага поля:

∮

B →

⋅

d l

→

I ≡

∫

j →

⋅

d S

→

{\displaystyle \oint {\vec {B}}\cdot {\vec {dl}}=\mu _{0}I\equiv \mu _{0}\int {\vec {j}}\cdot {\vec {dS}}}

$\{\displaystyle \oint \{\vec \{B\}\}\cdot \{\vec \{dl\}\}=\mu _\{0\}I\equiv \mu _\{0\}\int \{\vec \{j\}\}\cdot \{\vec \{dS\}\}\}$

яна ж у дыферэнцыяльнай форме::

r o t

B →

j →

{\displaystyle \mathrm {rot} {\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {j}}}

$\{\displaystyle \mathrm \{rot\} \{\vec \{B\}\}=\mu _\{0\}\{\vec \{j\}\}\}$

Сіла Лорэнца:

F →

= q

[

v →

B →

]

{\displaystyle {\vec {F}}=q\left[{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right]}

$\{\displaystyle \{\vec \{F\}\}=q\left[\{\vec \{v\}\}\times \{\vec \{B\}\}\right]\}$

Сіла Ампера:

F →

= I

[

d l

→

B →

]

{\displaystyle d{\vec {F}}=I\left[{\vec {dl}}\times {\vec {B}}\right]}

$\{\displaystyle d\{\vec \{F\}\}=I\left[\{\vec \{dl\}\}\times \{\vec \{B\}\}\right]\}$

Тут

B →

{\displaystyle {\vec {B}}}

$\{\displaystyle \{\vec \{B\}\}\}$ - вектар магнітнай індукцыі, I - сіла току ў правадыру (а ў тэарэме пра цыркуляцыю - сумарны ток праз паверхню),

d l

→

{\displaystyle {\vec {dl}}}

$\{\displaystyle \{\vec \{dl\}\}\}$ - элемент правадыра (у тэарэме пра цыркуляцыю - элемент контуру інтэгравання),

r →

{\displaystyle {\vec {r}}}

$\{\displaystyle \{\vec \{r\}\}\}$ - радыус-вектар, праведзены з элемента току ў кропку, у якой вызначаецца магнітнае поле,

j →

{\displaystyle {\vec {j}}}

$\{\displaystyle \{\vec \{j\}\}\}$ - шчыльнасць току,

q ,

v →

{\displaystyle q,{\vec {v}}}

$\{\displaystyle q,\{\vec \{v\}\}\}$ - велічыня зарада і хуткасць зараджанай часціцы.

Для разліку магнітнага поля ў магнитастатыцы можна карыстацца (і часта гэта вельмі зручна) паняццем магнітнага зарада, якія робяць аналогію магнитастатыкі з электрастатыкай больш дэталёвай і якія дазваляюць прымяняць у магнітастатыцы формулы, аналагічныя формулам электрастатыкі - але не для электрычнага, а для магнітнага поля. Звычайна (за выключэннем выпадку тэарэтычнага разгляду гіпатэтычных магнітных манаполяў) маецца на ўвазе толькі чыста фармальнае выкарыстанне, так як у рэальнасці магнітныя зарады не выяўленыя. Такое фармальнае выкарыстанне (фіктыўных) магнітных зарадаў магчыма дзякуючы тэарэме эквівалентнасці поля магнітных зарадаў і палі пастаянных электрычных токаў. Фіктыўныя магнітныя зарады можна выкарыстоўваць пры вырашэнні розных задач як у якасці крыніц магнітнага поля (напрыклад, магнітам або шпулькай), так і для вызначэння дзеянні знешніх магнітных палёў на магнітнае цела (магніт, катушку).

Ураўненні магнітастатыкі ў асяроддзі

Ураўненні «для вакууму», прыведзеныя ў пачатку артыкула, з’яўляюцца найбольш фундаментальнымі і простымі (у прынцыпе) ўраўннннямі магнітастатыкі.

Аднак калі мова ідзе пра вылічэнні магнітнага поля ў асяроддзі магнетыка, больш зручнымі для практычных вылічэнняў, а да некаторай ступені і ў тэарэтычным плане, з’яўляюцца менш фундаментальныя, аднак добра прыстасаваныя да гэтай сітуацыі, так званыя ўраўненні для асяроддзя (або ў асяроддзі).

Гаворачы аб тэрміналогіі, варта заўважыць, што тэрміны ўраўненні для вакууму і ўраўненні для асяроддзя можна лічыць у прыкметнай меры ўмоўнымі [3], аднак гэтая тэрміналогія мае даволі яснае апраўданне (гл. папярэднюю нататку); акрамя таго, яна досыць сталая і таму не прыводзіць да блытаніны.

Такім чынам, ўраўненні для асяроддзя выкарыстоўваюцца ў магнітастатыцы для таго, каб даследаваць магнітнае поле ў выпадку, калі ўся прастора або некаторыя яго вобласці запоўненыя магнітным асяроддзем (магнетыкамі). Маецца на ўвазе звычайна, што асяроддзе разглядаецца макраскапічна (гэта значыць мікраскапічныя палі - палі на атамных маштабах - ўсярэдніваюцца, атамныя, малекулярныя токі і магнітныя моманты таксама разглядаюцца толькі ў іх сукупнасці). На мікраскапічным узроўні дзейнічаюць [4] фундаментальныя ўраўненні для вакууму, згаданыя ў артыкуле вышэй, таму ў кантэксце даследаванняў у асяроддзі ўраўненні для вакуума называюцца таксама мікраскапічнымі ўраўненнямі у процілегласць самім макраскапічным ўраўненням для поля ў асяроддзі.

Формулы для дзеяння поля, на які рухаецца зарад (сілы Лорэнца) або на ток (сілы Ампера) для выпадку магнітных асяроддзяў захоўваюцца цалкам нязменнымі, такімі ж, як і для вакууму.

Што тычыцца астатніх ураўненняў, яны перажываюць для асяроддзя пэўныя змены ў параўнанні з вакуумам (маюцца на ўвазе, вядома, макраскапічныя ўраўненні, мікраскапічныя застаюцца тымі ж, што і для вакууму).

У прынцыпе, можна ўводзіць гэтыя змены па-рознаму [5], але вельмі агульны, традыцыйны і зручны падыход, які з’яўляецца агульнапрынятым і стандартным [6]: запісаць ураўненні з выкарыстаннем дапаможнай фізічнай велічыні Напружанасць магнітнага поля

H →

{\displaystyle {\vec {H}}}

$\{\displaystyle \{\vec \{H\}\}\}$ , спецыяльна якая ўводзіцца ў гэтым выпадку.

H →

B →

−

M →

{\displaystyle {\vec {H}}={\frac {1}{\mu _{0}}}{\vec {B}}-{\vec {M}}}

$\{\displaystyle \{\vec \{H\}\}=\{\frac \{1\}\{\mu _\{0\}\}\}\{\vec \{B\}\}-\{\vec \{M\}\}\}$ , где

{\displaystyle \mu _{0}}

$\{\displaystyle \mu _\{0\}\}$

У сістэме СІ,

H →

B →

− 4 π

M →

{\displaystyle {\vec {H}}={\vec {B}}-4\pi {\vec {M}}}

$\{\displaystyle \{\vec \{H\}\}=\{\vec \{B\}\}-4\pi \{\vec \{M\}\}\}$

У сістэме СГС.

Тут

M →

{\displaystyle {\vec {M}}}

$\{\displaystyle \{\vec \{M\}\}\}$ - вектар намагнічанасці, які характарызуе магнітную палярызацыю асяроддзя.

Сэнс яе ўвядзення складаецца ў тым, што з яе дапамогай можна перапісаць усе асноўныя ўраўненні ў выглядзе, вельмі падобным на тыя, што маюць фундаментальныя ўраўненні (для вакууму), а ўсё датычыцца рэальнай асяроддзя змясціць па магчымасці ў асобнае ўраўненне, што дазваляе лепш лагічна структураваць задачу. У параўнальна простых, але важных выпадках, да якіх адносіцца і практычна ўся магнітастатыка, гэта ўдаецца зрабіць настолькі добра, што, у прынцыпе, сапраўды ўсё, якое тычыцца канкрэтнага асяроддзя, аказваецца цалкам схавана ў адзіную залежнасць - залежнасць намагнічанасці ад намагнічвалага поля (гэта значыць, у прынцыпе, у адну-адзіную формулу) [7] выгляду

M →

= f (

H →

)

{\displaystyle {\vec {M}}=f({\vec {H}})}

$\{\displaystyle \{\vec \{M\}\}=f(\{\vec \{H\}\})\}$ (для выпадку ферамагнетыкаў, калі патрабаваць дакладнасці апісання, некалькі складаней, але не нашмат).

Пры гэтым, што таксама каштоўна, ўраўненні для вакууму становяцца прыватным выпадкам ураўненняў для асяроддзя (выпадкам асяроддзя з заўсёды нулявой намагнічанасцю).

У прасцейшым, але практычна важным выпадку лінейнага [8] водгуку асяроддзя на поле,

B →

{\displaystyle {\vec {B}}}

$\{\displaystyle \{\vec \{B\}\}\}$ проста прапарцыйна

H →

{\displaystyle {\vec {H}}}

$\{\displaystyle \{\vec \{H\}\}\}$ , а калі сярод ізатропных па сваіх магнітным уласцівасцям, то гэта зводзіцца проста да множанню на лік:

B →

H →

{\displaystyle {\vec {B}}=\mu _{0}\mu {\vec {H}}}

$\{\displaystyle \{\vec \{B\}\}=\mu _\{0\}\mu \{\vec \{H\}\}\}$ у СІ [9]. Зноскі

↑ Нелінейнасць ураўненняў узнікае толькі для ўраўненняў для асяроддзя (пра якіх напісана ў асобным параграфе, у іх матэрыяльнай часткі, і то ў «матэрыяльных» ўраўненнях. Фундаментальныя жа ўраўненні (абмяркоўваюцца ў гэтым параграфе) захоўваюць дакладную лінейнасць практычна заўсёды.
↑ Тут запісаныя ў гаусавай сістэме.
↑ Справа ў тым, што «ўраўненні для вакууму» самі па сабе цалкам справядлівыя і для поля ў магнітнаму асяроддзі (коратка кажучы - хоць бы таму, што асяроддзе і складаецца з часціц, якія знаходзяцца ў вакууме), аднак для таго, каб іх ужыць, трэба мець на ўвазе пры іх запісы усе токі (уключаючы мікраскапічныя токі, абумоўленыя магнітнай палярызацыяй асяроддзя, у тым ліку малекулярныя токі і нават токі, якія адпавядаюць магнітным момантам асобных элементарных элементарных часціц), прычым збольшага гэтыя токі часцяком абумоўлены даволі нетрывіяльнымі ўласцівасцямі асяроддзя, які не зводзіць да ўласна электрамагнетызму. У гэтым сэнсе «ўраўненні для асяроддзя» - прыкметна зручней, так як, з’яўляючыся фенаменалагічнымі ўраўненнямі, ўключаюць тое, што тычыцца палярызацыяй асяроддзя ва ўжо досыць кампактным выглядзе.

З іншага боку, ўраўненні для асяроддзя ў прыватным выпадку, а менавіта ў выпадку нулявой магнітнай успрымальнасці асяроддзя, якой валодае вакуум (у ім адсутнічае рэчыва, здольнае палярызавацца), пераходзяць ва ўраўненні для вакууму (бо вакуум - гэта прыватны выпадак асяроддзя: серада з адсутнасцю магнетыкаў), гэта значыць аказваюцца прыдатныя і для яго. Хоць пры гэтым, вядома, назва ўраўненні для асяроддзя цалкам апраўдана, бо для апісання поля ў вакууме яны залішнія. 4. ↑ Да той ступені, да якой яны не абмяжоўваюцца квантавымі папраўкамі; зрэшты, для звычайных магнетыкаў умяшанне квантавай тэорыі ў выніку даволі невялікае, і часта можна для асяроддзя эфектыўна карыстацца досыць простымі чыста класічнымі мадэлямі. 5. ↑ Напрыклад, для вырашэння нейкіх прыватных простых задач стандартны падыход у поўным выглядзе можа быць некалькі залішнім; зрэшты, і тады часта разумна проста скарыстацца нейкімі больш простымі формуламі, якія з’яўляюцца яго следствамі. 6. ↑ І выкарыстоўваным не толькі ў магнітастатыцы, але і ў электрадынаміцы ў цэлым; там, праўда, выкарыстоўваецца яшчэ адна дапаможная велічыня, якая ўводзіцца па вельмі падобнай логіцы для электрычнага поля. 7. ↑ У электрадынаміцы ў агульным выпадку гэта цяжэй, перш за ўсё, па той прычыне, што паводзіны асяроддзя ў поле, што залежыць ад часу, у прынцыпе, значна складаней, чым у пастаянным полі. 8. ↑ Часам такую лінейнасць можна выкарыстоўваць у якасці больш ці менш грубага набліжэння, але досыць часта - і ў якасці вельмі дакладнага. 9. ↑

B →

= μ

H →

{\displaystyle {\vec {B}}=\mu {\vec {H}}}

$\{\displaystyle \{\vec \{B\}\}=\mu \{\vec \{H\}\}\}$ в СГС.

Тэмы гэтай старонкі (1):
Катэгорыя·Магнетызм