wd wp Пошук: ⬜

Цялесны вугал

Цялесны вугал — частка прасторы, якая з’яўляецца аб’яднаннем усіх прамянёў, якія выходзяць з дадзенай кропкі (вяршыні вугла) і перасякаюць некаторую паверхню (якая называецца паверхняй, якая сцягвае дадзены цялесны вугал). Асобнымі выпадкамі цялеснага вугла з’яўляюцца трохгранныя і шматгранныя вуглы. Мяжой цялеснага вугла з’яўляецца некаторая канічная паверхня.

Цялесны вугал вымяраецца адносінай плошчы той часткі сферы з цэнтрам у вяршыні вугла, якая выражаецца гэтым цялесным вуглом, да квадрата радыуса сферы:

{\displaystyle \Omega ,=,{S \over R^{2}}.}

$\{\displaystyle \Omega \,=\,\{S \over R^\{2\}\}.\}$

Відавочна, цялесныя вуглы вымяраюцца адцягненымі (безразмернымі) велічынямі. Адзінкай вымярэння цялеснага вугла ў сістэме СІ з’яўляецца стэрадыян, роўны цялеснаму вуглу, выразаючаму са сферы радыуса

{\displaystyle ~r}

$\{\displaystyle ~r\}$ паверхню з плошчай

{\displaystyle ~r^{2}}

$\{\displaystyle ~r^\{2\}\}$ . Поўная сфера ўтварае цялесны вугал, роўны

4 π

{\displaystyle ~4\pi }

$\{\displaystyle ~4\pi \}$ стэрадыян (поўны цялесны вугал), для вяршыні, размешчанай унутры сферы, у прыватнасці, для цэнтра сферы; такім жа з’яўляецца цялесны вугал, пад якім бачна любая замкнёная паверхня з кропкі, якая цалкам ахопліваецца гэтай паверхняй, але не належыць ёй. Акрамя стэрадыянаў, цялесны вугал можа вымярацца ў квадратных градусах, квадратных хвілінах і квадратных секундах, а таксама ў долях поўнага цялеснага вугла.

Цялесны вугал мае нулявую фізічную размернасць.

Пазначаецца цялесны вугал звычайна літарай

{\displaystyle ~\Omega }

$\{\displaystyle ~\Omega \}$ .

Дваісты цялесны вугал да дадзенага цялеснага вугла

{\displaystyle ~\Omega }

$\{\displaystyle ~\Omega \}$ вызначаецца як вугал, які складаецца з прамянёў, якія ўтвараюць з любым прамянём вугла

{\displaystyle ~\Omega }

$\{\displaystyle ~\Omega \}$ нявостры вугал.

Каэфіцыенты пераліку адзінак цялеснага вугла.

$\{\displaystyle ~\Omega \}$	Стэрадыян	Кв. градус	Кв. хвіліна	Кв. секунда	Поўны вугал
1 стэрадыян =	1	(180/π)² ≈ ≈ 3282,806 кв. градусаў	(180×60/π)² ≈ ≈ 1,1818103×10⁷ кв. хвілін	(180×60×60/π)² ≈ ≈ 4,254517×10¹⁰ кв. секунд	1/4π ≈ ≈ 0,07957747 поўнага вугла
1 кв. градус =	(π/180)² ≈ ≈ 3,0461742×10⁻⁴ стэрадыян	1	60² = = 3600 кв. хвілін	(60×60)² = = 12 960 000 кв. секунд	π/(2×180)² ≈ ≈ 2,424068×10⁻⁵ поўнага вугла
1 кв. хвіліна =	(π/(180×60))² ≈ ≈ 8,461595×10⁻⁸ стэрадыян	1/60² ≈ ≈ 2,7777778×10⁻⁴ кв. градусаў	1	60² = = 3600 кв. секунд	π/(2×180×60)² ≈ ≈ 6,73352335×10⁻⁹ поўнага вугла
1 кв. секунда =	(π/(180×60×60))² ≈ ≈ 2,35044305×10⁻¹¹ стэрадыян	1/(60×60)² ≈ ≈ 7,71604938×10⁻⁸ кв. градусаў	1/60² ≈ ≈ 2,7777778×10⁻⁴ кв. хвілін	1	π/(2×180×60×60)² ≈ ≈ 1,87042315×10⁻¹² поўнага вугла
Поўны вугал =	4π ≈ ≈ 12,5663706 стэрадыян	(2×180)²/π ≈ ≈ 41252,96125 кв. градусаў	(2×180×60)²/π ≈ ≈ 1,48511066×10⁸ кв. хвілін	(2×180×60×60)²/π ≈ ≈ 5,34638378×10¹¹ кв. секунд	1

Вылічэнне цялесных вуглоў

Для адвольнай сцягвальнай паверхні

{\displaystyle S}

$\{\displaystyle S\}$ цялесны вугал

{\displaystyle \Omega }

$\{\displaystyle \Omega \}$ , пад якім яна бачная з пачатку каардынат, роўны

Ω

∬

d Ω

∬

sin ⁡ ϑ d φ d ϑ

∬

(

r ) ⋅

d S

{\displaystyle \Omega =\iint \limits _{S}d\Omega =\iint \limits _{S}\sin \vartheta d\varphi d\vartheta =\iint \limits _{S}{\frac {(\mathbf {r} /r)\cdot \mathbf {n} dS}{r^{2}}},}

$\{\displaystyle \Omega =\iint \limits _\{S\}d\Omega =\iint \limits _\{S\}\sin \vartheta d\varphi d\vartheta =\iint \limits _\{S\}\{\frac \{(\mathbf \{r\} /r)\cdot \mathbf \{n\} dS\}\{r^\{2\}\}\},\}$

дзе

r , ϑ , φ

{\displaystyle r,\vartheta ,\varphi }

$\{\displaystyle r,\vartheta ,\varphi \}$ — сферычныя каардынаты элемента паверхні

d S ,

{\displaystyle dS,}

$\{\displaystyle dS,\}$

{\displaystyle \mathbf {r} }

$\{\displaystyle \mathbf \{r\} \}$ — яго радыус-вектар,

{\displaystyle \mathbf {n} }

$\{\displaystyle \mathbf \{n\} \}$ — адзінкавы вектар, нармальны да

d S .

{\displaystyle dS.}

$\{\displaystyle dS.\}$

Уласцівасці цялесных вуглоў

Поўны цялесны вугал (поўная сфера) роўны

4 π

{\displaystyle 4\pi }

$\{\displaystyle 4\pi \}$ стэрадыян.

Сума ўсіх цялесных вуглоў, дваістых да ўнутраных цялесных вуглоў выпуклага шматгранніка, роўная поўнаму вуглу.

Велічыні некаторых цялесных вуглоў

Трохвугольнік з каардынатамі вяршынь

{\displaystyle \mathbf {r} _{1}}

$\{\displaystyle \mathbf \{r\} _\{1\}\}$ ,

{\displaystyle \mathbf {r} _{2}}

$\{\displaystyle \mathbf \{r\} _\{2\}\}$ ,

{\displaystyle \mathbf {r} _{3}}

$\{\displaystyle \mathbf \{r\} _\{3\}\}$ бачны з пачатку каардынат пад цялесным вуглом

Ω

a r c t g

(

)

(

⋅

)

(

⋅

)

(

⋅

)

{\displaystyle \Omega =2,\mathrm {arctg} ,{\frac {(\mathbf {r} _{1}\mathbf {r} _{2}\mathbf {r} _{3})}{r_{1}r_{2}r_{3}+(\mathbf {r} _{1}\cdot \mathbf {r} _{2})r_{3}+(\mathbf {r} _{2}\cdot \mathbf {r} _{3})r_{1}+(\mathbf {r} _{3}\cdot \mathbf {r} _{1})r_{2}}},}

$\{\displaystyle \Omega =2\,\mathrm \{arctg\} \,\{\frac \{(\mathbf \{r\} \{1\}\mathbf \{r\} \{2\}\mathbf \{r\} \{3\})\}\{r\{1\}r\{2\}r\{3\}+(\mathbf \{r\} _\{1\}\cdot \mathbf \{r\} \{2\})r\{3\}+(\mathbf \{r\} _\{2\}\cdot \mathbf \{r\} \{3\})r\{1\}+(\mathbf \{r\} _\{3\}\cdot \mathbf \{r\} \{1\})r\{2\}\}\},\}$ дзе

(

)

{\displaystyle (\mathbf {r} _{1}\mathbf {r} _{2}\mathbf {r} _{3})}

$\{\displaystyle (\mathbf \{r\} _\{1\}\mathbf \{r\} _\{2\}\mathbf \{r\} _\{3\})\}$ — змешаны здабытак дадзеных вектараў,

(

⋅

)

{\displaystyle (\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{j})}

$\{\displaystyle (\mathbf \{r\} _\{i\}\cdot \mathbf \{r\} _\{j\})\}$ — скалярны здабытак адпаведных вектараў, паўтлустым шрыфтам пазначаныя вектары, нармальным шрыфтам — іх даўжыні. Па гэтай формуле можна вылічаць цялесныя вуглы, сцягнутыя адвольнымі шматвугольнікамі з вядомымі каардынатамі вяршынь (для гэтага дастаткова разбіць многавугольнік на неперасякальныя трохвугольнікі).

Цялесны вугал пры вяршыні прамога кругавога конуса з вуглом раствора α роўны

Ω

2 π ( 1 − cos ⁡

α 2

)

{\displaystyle \Omega =2\pi (1-\cos {\frac {\alpha }{2}})}

$\{\displaystyle \Omega =2\pi (1-\cos \{\frac \{\alpha \}\{2\}\})\}$ . Калі вядомы радыус асновы

{\displaystyle R}

$\{\displaystyle R\}$ і вышыня

{\displaystyle H}

$\{\displaystyle H\}$ конуса, то

Ω

2 π ( 1 −

)

{\displaystyle \Omega =2\pi (1-{\frac {H}{\sqrt {R^{2}+H^{2}}}})}

$\{\displaystyle \Omega =2\pi (1-\{\frac \{H\}\{\sqrt \{R^\{2\}+H^\{2\}\}\}\})\}$ .

Калі вугал раствора конуса малы,

Ω ≈

{\displaystyle \Omega \approx {\frac {\pi \alpha ^{2}}{4}}}

$\{\displaystyle \Omega \approx \{\frac \{\pi \alpha ^\{2\}\}\{4\}\}\}$ (

{\displaystyle \alpha }

$\{\displaystyle \alpha \}$ выражана ў радыянах), ці

Ω ≈ 0 , 000239

{\displaystyle \Omega \approx 0,000239\alpha ^{2}}

$\{\displaystyle \Omega \approx 0,000239\alpha ^\{2\}\}$ (

{\displaystyle \alpha }

$\{\displaystyle \alpha \}$ выражана ў градусах). Так, цялесны вугал, пад якім з Зямлі бачныя Месяц і Сонца (іх вуглавы дыяметр прыкладна роўны 0,5°), складае каля 6.10−5 стэрадыян, або ≈ 0,0005 % плошчы нябеснай сферы (гэта значыць поўнага цялеснага вугла).

Цялесны вугал двухграннага вугла ў стэрадыянах роўны падвоенаму значэнню двухграннага вугла ў радыянах:
Цялесны вугал трохграннага вугла выражаецца па тэарэме Люілье праз яго плоскія вуглы

{\displaystyle \theta _{a},\theta _{b},\theta _{c}}

$\{\displaystyle \theta _\{a\},\theta _\{b\},\theta _\{c\}\}$ пры вяршыні як:

Ω

arctg ⁡

tg ⁡

(

)

tg ⁡

(

−

)

tg ⁡

(

−

)

tg ⁡

(

−

)

{\displaystyle \Omega =4,\operatorname {arctg} {\sqrt {\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{a}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{b}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{c}}{2}}\right)}}}

$\{\displaystyle \Omega =4\,\operatorname \{arctg\} \{\sqrt \{\operatorname \{tg\} \left(\{\frac \{\theta _\{s\}\}\{2\}\}\right)\operatorname \{tg\} \left(\{\frac \{\theta _\{s\}-\theta _\{a\}\}\{2\}\}\right)\operatorname \{tg\} \left(\{\frac \{\theta _\{s\}-\theta _\{b\}\}\{2\}\}\right)\operatorname \{tg\} \left(\{\frac \{\theta _\{s\}-\theta _\{c\}\}\{2\}\}\right)\}\}\}$ , где