wd wp Пошук:

Трыганаметрыя

Трыганаметрыя (ад грэч.: τρίγωνον «трохвугольнік» і грэч.: μετρειν «вымяраць», г. зн. «вымярэнне трохвугольнікаў») — раздзел матэматыкі пра суадносіны старон і вуглоў у трохвугольніку. Асноўная задача трыганаметрыі — «рашэнне трохвугольніка», г.зн. вылічэнне невядомых велічынь па вядомых.

Гісторыя

Асноўны артыкул: Гісторыя трыганаметрыі

Вытокі трыганаметрыі бяруць пачатак у старажытным Егіпце, Вавілоне і даліне Інда больш за 3000 гадоў назад. Індыйскія матэматыкі былі першапраходцамі ва ўжыванні алгебры і трыганаметрыі ў астранамічных разліках. Лагадха — адзіны з самых старажытных вядомых сёння матэматыкаў, які карыстаўся геаметрыяй і трыганаметрыяй у сваёй кнізе «Дж’етыша-веданга» («Jyotisa Vedanga»). Большая частка яго прац якога была знішчана замежнымі захопнікамі.

Грэчаскі матэматык Клаўдзій Пталамей таксама ўнёс вялікі ўклад у развіццё трыганаметрыі.

Трыганаметрычныя функцыі

Асноўны артыкул: Трыганаметрычныя функцыі
Адзінкавая акружнасць
Лікавыя значэнні трыганаметрычных функцый вугла на трыганаметрычнай акружнасці з адзінкавым радыусам

Возьмем адзінкавую акружнасць на плоскасці (цэнтр у пачатку адліку, радыус 1). Правядзём прамень

l

{\displaystyle l}

\{\displaystyle l\} з пачатку адліку і будзем адлічваць велічыню вугла

α

{\displaystyle \alpha }

\{\displaystyle \alpha \} ад дадатнага праменя восі

O x

{\displaystyle Ox}

\{\displaystyle Ox\} супраць гадзіннікавай стрэлкі. Велічыню вугла можна выражаць у градусах, радыянах ці градах. Мы будзем разглядаць у градусах. Няхай пунктам перасячэння

l

{\displaystyle l}

\{\displaystyle l\} з адзінкавай акружнасцю будзе

M

{\displaystyle M}

\{\displaystyle M\}. Тады па азначэнню:

cos ⁡ ( α )

{\displaystyle \cos(\alpha )}

\{\displaystyle \cos(\alpha )\} будзе абсцысай

M

{\displaystyle M}

\{\displaystyle M\},

sin ⁡ ( α )

{\displaystyle \sin(\alpha )}

\{\displaystyle \sin(\alpha )\} будзе ардынатай

M

{\displaystyle M}

\{\displaystyle M\}

tg ⁡ ( α )

{\displaystyle \operatorname {tg} (\alpha )}

\{\displaystyle \operatorname \{tg\} (\alpha )\} будзе дзеллю ардынаты

M

{\displaystyle M}

\{\displaystyle M\} і яе абсцысы:

tg ⁡ ( α )

sin ⁡ ( α )

cos ⁡ ( α )

{\displaystyle \operatorname {tg} (\alpha )={\frac {\sin(\alpha )}{\cos(\alpha )}}}

\{\displaystyle \operatorname \{tg\} (\alpha )=\{\frac \{\sin(\alpha )\}\{\cos(\alpha )\}\}\}

ctg ⁡ ( α )

{\displaystyle \operatorname {ctg} (\alpha )}

\{\displaystyle \operatorname \{ctg\} (\alpha )\} будзе дзеллю абсцысы

M

{\displaystyle M}

\{\displaystyle M\} і яе ардынаты:

ctg ⁡ ( α )

cos ⁡ ( α )

sin ⁡ ( α )

{\displaystyle \operatorname {ctg} (\alpha )={\frac {\cos(\alpha )}{\sin(\alpha )}}}

\{\displaystyle \operatorname \{ctg\} (\alpha )=\{\frac \{\cos(\alpha )\}\{\sin(\alpha )\}\}\}

sec ⁡ ( α )

{\displaystyle \sec(\alpha )}

\{\displaystyle \sec(\alpha )\} будзе дзеллю

1

sin ⁡ ( α )

{\displaystyle {\frac {1}{\sin(\alpha )}}}

\{\displaystyle \{\frac \{1\}\{\sin(\alpha )\}\}\}

cosec ⁡ ( α )

{\displaystyle \operatorname {cosec} (\alpha )}

\{\displaystyle \operatorname \{cosec\} (\alpha )\} будзе дзеллю

1

cos ⁡ ( α )

{\displaystyle {\frac {1}{\cos(\alpha )}}}

\{\displaystyle \{\frac \{1\}\{\cos(\alpha )\}\}\}

Графік функцыі y = sin(x)
Графік функцыі y = cos(x)

Функцыі

sin ⁡ ( α )

{\displaystyle \sin(\alpha )}

\{\displaystyle \sin(\alpha )\} і

cos ⁡ ( α )

{\displaystyle \cos(\alpha )}

\{\displaystyle \cos(\alpha )\} вызначаныя на ўсём

R

{\displaystyle \mathbb {R} }

\{\displaystyle \mathbb \{R\} \}, вобласць значэнняў [-1,1] і перыяд

2 π

{\displaystyle 2\pi }

\{\displaystyle 2\pi \}. Функцыя

tg ⁡ ( α )

{\displaystyle \operatorname {tg} (\alpha )}

\{\displaystyle \operatorname \{tg\} (\alpha )\} не вызначана ў пунктах

π n

{\displaystyle \pi n}

\{\displaystyle \pi n\},

n ∈

Z

{\displaystyle n\in \mathbb {Z} }

\{\displaystyle n\in \mathbb \{Z\} \}, а функцыя

ctg ⁡ ( α )

{\displaystyle \operatorname {ctg} (\alpha )}

\{\displaystyle \operatorname \{ctg\} (\alpha )\} не вызначана ў пунктах

π n + π

/

2

{\displaystyle \pi n+\pi /2}

\{\displaystyle \pi n+\pi /2\},

n ∈

Z

{\displaystyle n\in \mathbb {Z} }

\{\displaystyle n\in \mathbb \{Z\} \}, і абедзве маюць вобласць значэнняў

R

{\displaystyle \mathbb {R} }

\{\displaystyle \mathbb \{R\} \} і перыяд

π

{\displaystyle \pi }

\{\displaystyle \pi \}.

Адваротныя трыганаметрычныя функцыі

Функцыя, адваротная да

{\displaystyle \sin(\alpha )}

\{\displaystyle \sin(\alpha )\} называецца арксінус

arcsin ⁡ ( α )

{\displaystyle \arcsin(\alpha )}

\{\displaystyle \arcsin(\alpha )\}

{\displaystyle \cos(\alpha )}

\{\displaystyle \cos(\alpha )\} называецца арккосінус

arccos ⁡ ( α )

{\displaystyle \arccos(\alpha )}

\{\displaystyle \arccos(\alpha )\}

{\displaystyle \operatorname {tg} (\alpha )}

\{\displaystyle \operatorname \{tg\} (\alpha )\} называецца арктангенс

arctg ⁡ ( α )

{\displaystyle \operatorname {arctg} (\alpha )}

\{\displaystyle \operatorname \{arctg\} (\alpha )\}

{\displaystyle \operatorname {ctg} (\alpha )}

\{\displaystyle \operatorname \{ctg\} (\alpha )\} называецца арккатангенс

arcctg ⁡ ( α )

{\displaystyle \operatorname {arcctg} (\alpha )}

\{\displaystyle \operatorname \{arcctg\} (\alpha )\}

Асноўныя трыганаметрычныя тоеснасці

Асноўны артыкул: Трыганаметрычныя формулы

Асноўная трыганаметрычная тоеснасць

sin

2

⁡ ( α ) +

cos

2

⁡ ( α )

1

{\displaystyle \sin ^{2}(\alpha )+\cos ^{2}(\alpha )=1}

\{\displaystyle \sin ^\{2\}(\alpha )+\cos ^\{2\}(\alpha )=1\}.

Формула косінуса сумы:

cos ⁡ ( α + β )

cos ⁡ ( α ) cos ⁡ ( β ) − sin ⁡ ( α ) sin ⁡ ( β )

{\displaystyle \cos(\alpha +\beta )=\cos(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\alpha )\sin(\beta )}

\{\displaystyle \cos(\alpha +\beta )=\cos(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\alpha )\sin(\beta )\}

Формула косінуса рознасці:

cos ⁡ ( α − β )

cos ⁡ ( α ) cos ⁡ ( β ) + sin ⁡ ( α ) sin ⁡ ( β )

{\displaystyle \cos(\alpha -\beta )=\cos(\alpha )\cos(\beta )+\sin(\alpha )\sin(\beta )}

\{\displaystyle \cos(\alpha -\beta )=\cos(\alpha )\cos(\beta )+\sin(\alpha )\sin(\beta )\}

Формула сінуса сумы:

sin ⁡ ( α + β )

sin ⁡ ( α ) cos ⁡ ( β ) + sin ⁡ ( β ) cos ⁡ ( α )

{\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=\sin(\alpha )\cos(\beta )+\sin(\beta )\cos(\alpha )}

\{\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=\sin(\alpha )\cos(\beta )+\sin(\beta )\cos(\alpha )\}

Формула сінуса рознасці:

sin ⁡ ( α − β )

sin ⁡ ( α ) cos ⁡ ( β ) − sin ⁡ ( β ) cos ⁡ ( α )

{\displaystyle \sin(\alpha -\beta )=\sin(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\beta )\cos(\alpha )}

\{\displaystyle \sin(\alpha -\beta )=\sin(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\beta )\cos(\alpha )\}

Трыганаметрычныя функцыі комплекснай зменнай

y = sin(x) на комплекснай плоскасці

Раскладзём функцыі

sin ⁡ ( x )

{\displaystyle \sin(x)}

\{\displaystyle \sin(x)\} і

cos ⁡ ( x )

{\displaystyle \cos(x)}

\{\displaystyle \cos(x)\} ў рад Тэйлара:

sin ⁡ ( x )

x −

x

3

3 !

x

5

5 !

− ⋯ + ( − 1

)

k

x

2 k − 1

( 2 k − 1 ) !

… ,

{\displaystyle \sin(x)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\dots +(-1)^{k}{\frac {x^{2k-1}}{(2k-1)!}}+\dots ,}

\{\displaystyle \sin(x)=x-\{\frac \{x^\{3\}\}\{3!\}\}+\{\frac \{x^\{5\}\}\{5!\}\}-\dots +(-1)^\{k\}\{\frac \{x^\{2k-1\}\}\{(2k-1)!\}\}+\dots ,\}

cos ⁡ ( x )

1 −

x

2

2 !

x

4

4 !

− ⋯ + ( − 1

)

k

x

2 k

( 2 k ) !

{\displaystyle \cos(x)=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\dots +(-1)^{k}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}+\dots }

\{\displaystyle \cos(x)=1-\{\frac \{x^\{2\}\}\{2!\}\}+\{\frac \{x^\{4\}\}\{4!\}\}-\dots +(-1)^\{k\}\{\frac \{x^\{2k\}\}\{(2k)!\}\}+\dots \}

і вызначым трыганаметрычныя функцыі камплекснай зменнай

z

{\displaystyle z}

\{\displaystyle z\}:

sin ⁡ ( z )

z −

z

3

3 !

z

5

5 !

− ⋯ + ( − 1

)

k

z

2 k − 1

( 2 k − 1 ) !

… ,

{\displaystyle \sin(z)=z-{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}-\dots +(-1)^{k}{\frac {z^{2k-1}}{(2k-1)!}}+\dots ,}

\{\displaystyle \sin(z)=z-\{\frac \{z^\{3\}\}\{3!\}\}+\{\frac \{z^\{5\}\}\{5!\}\}-\dots +(-1)^\{k\}\{\frac \{z^\{2k-1\}\}\{(2k-1)!\}\}+\dots ,\}

cos ⁡ ( z )

1 −

z

2

2 !

z

4

4 !

− ⋯ + ( − 1

)

k

z

2 k

( 2 k ) !

… .

{\displaystyle \cos(z)=1-{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}-\dots +(-1)^{k}{\frac {z^{2k}}{(2k)!}}+\dots .}

\{\displaystyle \cos(z)=1-\{\frac \{z^\{2\}\}\{2!\}\}+\{\frac \{z^\{4\}\}\{4!\}\}-\dots +(-1)^\{k\}\{\frac \{z^\{2k\}\}\{(2k)!\}\}+\dots .\}

Большасць уласцівасцей гэтых функцый для рэчаіснай зменнай распаўсюджваецца і на камплексную зменную. Але на камплекснай плоскасці іх вобласць значэнняў — усё

C

{\displaystyle \mathbb {C} }

\{\displaystyle \mathbb \{C\} \}.

Значэнні трыганаметрычных функцый для некаторых вуглоў

Асноўны артыкул: Спіс дакладных трыганаметрычных пастаянных

Значэнні сінуса, косінуса, тангенса, котангенса, секанса і косеканса для некаторых вуглоў прыведзены ў табліцы. («∞» азначае, што функцыя ў таком пункце не вызначана і ў яго наваколлі імкнецца да бесканечнасці).

0°(0 рад)30° (π/6)45° (π/4)60° (π/3)90° (π/2)180° (π)270° (3π/2)360° (2π)
Значэнні косінуса і сінуса на акружнасці.

Ужыванне

Трыганаметрычныя вылічэнні ўжываюцца практычна ва ўсіх абласцях геаметрыі, фізікі і інжынерыі.

Гл. таксама

Літаратура

Тэмы гэтай старонкі (2):
Вікіпедыя:Істотныя артыкулы
Трыганаметрыя