Трыганаметрыя (ад грэч.: τρίγωνον «трохвугольнік» і грэч.: μετρειν «вымяраць», г. зн. «вымярэнне трохвугольнікаў») — раздзел матэматыкі пра суадносіны старон і вуглоў у трохвугольніку. Асноўная задача трыганаметрыі — «рашэнне трохвугольніка», г.зн. вылічэнне невядомых велічынь па вядомых.
Асноўны артыкул: Гісторыя трыганаметрыі |
Вытокі трыганаметрыі бяруць пачатак у старажытным Егіпце, Вавілоне і даліне Інда больш за 3000 гадоў назад. Індыйскія матэматыкі былі першапраходцамі ва ўжыванні алгебры і трыганаметрыі ў астранамічных разліках. Лагадха — адзіны з самых старажытных вядомых сёння матэматыкаў, які карыстаўся геаметрыяй і трыганаметрыяй у сваёй кнізе «Дж’етыша-веданга» («Jyotisa Vedanga»). Большая частка яго прац якога была знішчана замежнымі захопнікамі.
Грэчаскі матэматык Клаўдзій Пталамей таксама ўнёс вялікі ўклад у развіццё трыганаметрыі.
Асноўны артыкул: Трыганаметрычныя функцыі |
Возьмем адзінкавую акружнасць на плоскасці (цэнтр у пачатку адліку, радыус 1). Правядзём прамень
l
{\displaystyle l}
з пачатку адліку і будзем адлічваць велічыню вугла
α
{\displaystyle \alpha }
ад дадатнага праменя восі
O x
{\displaystyle Ox}
супраць гадзіннікавай стрэлкі. Велічыню вугла можна выражаць у градусах, радыянах ці градах. Мы будзем разглядаць у градусах. Няхай пунктам перасячэння
l
{\displaystyle l}
з адзінкавай акружнасцю будзе
M
{\displaystyle M}
. Тады па азначэнню:
cos ( α )
{\displaystyle \cos(\alpha )}
будзе абсцысай
M
{\displaystyle M}
,
sin ( α )
{\displaystyle \sin(\alpha )}
будзе ардынатай
M
{\displaystyle M}
tg ( α )
{\displaystyle \operatorname {tg} (\alpha )}
будзе дзеллю ардынаты
M
{\displaystyle M}
і яе абсцысы:
sin ( α )
cos ( α )
{\displaystyle \operatorname {tg} (\alpha )={\frac {\sin(\alpha )}{\cos(\alpha )}}}
ctg ( α )
{\displaystyle \operatorname {ctg} (\alpha )}
будзе дзеллю абсцысы
M
{\displaystyle M}
і яе ардынаты:
cos ( α )
sin ( α )
{\displaystyle \operatorname {ctg} (\alpha )={\frac {\cos(\alpha )}{\sin(\alpha )}}}
sec ( α )
{\displaystyle \sec(\alpha )}
будзе дзеллю
1
sin ( α )
{\displaystyle {\frac {1}{\sin(\alpha )}}}
cosec ( α )
{\displaystyle \operatorname {cosec} (\alpha )}
будзе дзеллю
1
cos ( α )
{\displaystyle {\frac {1}{\cos(\alpha )}}}
Функцыі
sin ( α )
{\displaystyle \sin(\alpha )}
і
cos ( α )
{\displaystyle \cos(\alpha )}
вызначаныя на ўсём
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
, вобласць значэнняў [-1,1] і перыяд
2 π
{\displaystyle 2\pi }
. Функцыя
tg ( α )
{\displaystyle \operatorname {tg} (\alpha )}
не вызначана ў пунктах
π n
{\displaystyle \pi n}
,
n ∈
Z
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} }
, а функцыя
ctg ( α )
{\displaystyle \operatorname {ctg} (\alpha )}
не вызначана ў пунктах
π n + π
/
2
{\displaystyle \pi n+\pi /2}
,
n ∈
Z
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} }
, і абедзве маюць вобласць значэнняў
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
і перыяд
π
{\displaystyle \pi }
.
Функцыя, адваротная да
{\displaystyle \sin(\alpha )}
называецца арксінус
arcsin ( α )
{\displaystyle \arcsin(\alpha )}
{\displaystyle \cos(\alpha )}
называецца арккосінус
arccos ( α )
{\displaystyle \arccos(\alpha )}
{\displaystyle \operatorname {tg} (\alpha )}
называецца арктангенс
arctg ( α )
{\displaystyle \operatorname {arctg} (\alpha )}
{\displaystyle \operatorname {ctg} (\alpha )}
называецца арккатангенс
arcctg ( α )
{\displaystyle \operatorname {arcctg} (\alpha )}
Асноўны артыкул: Трыганаметрычныя формулы |
Асноўная трыганаметрычная тоеснасць
sin
2
( α ) +
cos
2
1
{\displaystyle \sin ^{2}(\alpha )+\cos ^{2}(\alpha )=1}
.
Формула косінуса сумы:
cos ( α ) cos ( β ) − sin ( α ) sin ( β )
{\displaystyle \cos(\alpha +\beta )=\cos(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\alpha )\sin(\beta )}
Формула косінуса рознасці:
cos ( α ) cos ( β ) + sin ( α ) sin ( β )
{\displaystyle \cos(\alpha -\beta )=\cos(\alpha )\cos(\beta )+\sin(\alpha )\sin(\beta )}
Формула сінуса сумы:
sin ( α ) cos ( β ) + sin ( β ) cos ( α )
{\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=\sin(\alpha )\cos(\beta )+\sin(\beta )\cos(\alpha )}
Формула сінуса рознасці:
sin ( α ) cos ( β ) − sin ( β ) cos ( α )
{\displaystyle \sin(\alpha -\beta )=\sin(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\beta )\cos(\alpha )}
Раскладзём функцыі
sin ( x )
{\displaystyle \sin(x)}
і
cos ( x )
{\displaystyle \cos(x)}
ў рад Тэйлара:
x −
x
3
3 !
x
5
5 !
− ⋯ + ( − 1
)
k
x
2 k − 1
( 2 k − 1 ) !
… ,
{\displaystyle \sin(x)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\dots +(-1)^{k}{\frac {x^{2k-1}}{(2k-1)!}}+\dots ,}
1 −
x
2
2 !
x
4
4 !
− ⋯ + ( − 1
)
k
x
2 k
( 2 k ) !
…
{\displaystyle \cos(x)=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\dots +(-1)^{k}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}+\dots }
і вызначым трыганаметрычныя функцыі камплекснай зменнай
z
{\displaystyle z}
:
z −
z
3
3 !
z
5
5 !
− ⋯ + ( − 1
)
k
z
2 k − 1
( 2 k − 1 ) !
… ,
{\displaystyle \sin(z)=z-{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}-\dots +(-1)^{k}{\frac {z^{2k-1}}{(2k-1)!}}+\dots ,}
1 −
z
2
2 !
z
4
4 !
− ⋯ + ( − 1
)
k
z
2 k
( 2 k ) !
… .
{\displaystyle \cos(z)=1-{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}-\dots +(-1)^{k}{\frac {z^{2k}}{(2k)!}}+\dots .}
Большасць уласцівасцей гэтых функцый для рэчаіснай зменнай распаўсюджваецца і на камплексную зменную. Але на камплекснай плоскасці іх вобласць значэнняў — усё
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
.
Асноўны артыкул: Спіс дакладных трыганаметрычных пастаянных |
Значэнні сінуса, косінуса, тангенса, котангенса, секанса і косеканса для некаторых вуглоў прыведзены ў табліцы. («∞» азначае, што функцыя ў таком пункце не вызначана і ў яго наваколлі імкнецца да бесканечнасці).
0°(0 рад) | 30° (π/6) | 45° (π/4) | 60° (π/3) | 90° (π/2) | 180° (π) | 270° (3π/2) | 360° (2π) | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Трыганаметрычныя вылічэнні ўжываюцца практычна ва ўсіх абласцях геаметрыі, фізікі і інжынерыі.