Рэзульта́нт − лікавая велічыня, якая дазваляе праверыць два мнагачлены на наяўнасць агульных каранёў. З дапамогай рэзультанта можна звесці развязанне сістэмы алгебраічных ураўненняў да развязання аднаго ўраўнення з адным невядомым.
Рэзультант вызначаюць або праз вызначнік матрыцы Сільвестра, або праз карані мнагачленаў. Абодва гэтыя азначэнні раўназначныя, і калі адно з іх прыняць за зыходнае, то другое атрымліваецца як вынік.
Гл. таксама: Матрыца Сільвестра Для двух мнагачленаў
a
n
x
n
a
n − 1
x
n − 1
⋯ +
a
1
x +
a
0
,
{\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0},}
b
m
x
m
b
m − 1
x
m − 1
⋯ +
b
1
x +
b
0
{\displaystyle g(x)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\dots +b_{1}x+b_{0}}
рэзультант азначаюць як вызначнік матрыцы (так званай матрыцы Сільвестра) парадку m + n:[1]
|
a
n
a
n − 1
…
a
1
a
0
a
n
a
n − 1
…
a
1
a
0
⋱
⋱
…
⋱
⋱
a
n
a
n − 1
…
a
1
a
0
b
m
b
m − 1
…
b
1
b
0
b
m
b
m − 1
…
b
1
b
0
⋱
⋱
…
⋱
⋱
b
m
b
m − 1
…
b
1
b
0
|
,
{\displaystyle R(f,g)=\left|{\begin{array}{cccccccc}a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\&&\ddots &\ddots &\dots &\ddots &\ddots \&&&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\b_{m}&b_{m-1}&\dots &b_{1}&b_{0}\&b_{m}&b_{m-1}&\dots &b_{1}&b_{0}\&&\ddots &\ddots &\dots &\ddots &\ddots \&&&b_{m}&b_{m-1}&\dots &b_{1}&b_{0}\end{array}}\right|,}
дзе на свабодных месцах стаяць нулі.
Няхай
a
n
x
n
a
n − 1
x
n − 1
⋯ +
a
1
x +
a
0
,
{\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0},}
b
m
x
m
b
m − 1
x
m − 1
⋯ +
b
1
x +
b
0
.
{\displaystyle g(x)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\dots +b_{1}x+b_{0}.}
Калі
α
1
,
α
2
, … ,
α
n
{\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}}
− карані мнагачлена f(x), а
β
1
,
β
2
, … ,
β
m
{\displaystyle \beta _{1},\beta _{2},\dots ,\beta _{m}}
− карані g(x), то рэзультант вызначаюць як[2]
a
n
m
b
m
n
∏
1 ≤ i ≤ n
1 ≤ k ≤ m
(
α
i
−
β
k
) .
{\displaystyle R(f,g)=a_{n}^{m}b_{m}^{n}\prod _{1\leq i\leq n \atop 1\leq k\leq m}(\alpha _{i}-\beta _{k}).}
Няхай f і g − мнагачлены, і deg f = n, deg g = m.
a
n
m
∏
1
n
g (
α
i
( − 1
)
m ⋅ n
b
m
n
∏
1
m
f (
β
k
)
{\displaystyle R(f,g)=a_{n}^{m}\prod _{i=1}^{n}g(\alpha _{i})=(-1)^{m\cdot n}b_{m}^{n}\prod _{k=1}^{m}f(\beta _{k})}
)
m ⋅ n
R ( f , g )
{\displaystyle R(g,f)=(-1)^{m\cdot n}R(f,g)}
{\displaystyle R(fh,g)=R(f,g)R(h,g)}
R ( f , g )
{\displaystyle R(p,g)=R(f,g)}
Гл. таксама: Дыскрымінант Няхай поле K мае нулявую характарыстыку. Тады для любога мнагачлена
a
n
x
n
⋯ +
a
1
x +
a
0
∈ K [ x ]
{\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+\dots +a_{1}x+a_{0}\in K[x]}
праўдзіцца тоеснасць[2]
a
n
( − 1
)
n ( n − 1 )
/
2
R ( f ,
f ′
) .
{\displaystyle a_{n}D(f)=(-1)^{n(n-1)/2}R(f,f’).}