Рэзультант
Рэзульта́нт − лікавая велічыня, якая дазваляе праверыць два мнагачлены на наяўнасць агульных каранёў. З дапамогай рэзультанта можна звесці развязанне сістэмы алгебраічных ураўненняў да развязання аднаго ўраўнення з адным невядомым.
Азначэнне
Рэзультант вызначаюць або праз вызначнік матрыцы Сільвестра, або праз карані мнагачленаў. Абодва гэтыя азначэнні раўназначныя, і калі адно з іх прыняць за зыходнае, то другое атрымліваецца як вынік.
Праз вызначнік матрыцы Сільвестра
Гл. таксама: Матрыца Сільвестра Для двух мнагачленаў
f ( x )
a
n
x
n
a
n − 1
x
n − 1
⋯ +
a
1
x +
a
0
,
{\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0},}
g ( x )
b
m
x
m
b
m − 1
x
m − 1
⋯ +
b
1
x +
b
0
{\displaystyle g(x)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\dots +b_{1}x+b_{0}}
R ( f , g )
|
a
n
a
n − 1
…
a
1
a
0
a
n
a
n − 1
…
a
1
a
0
⋱
⋱
…
⋱
⋱
a
n
a
n − 1
…
a
1
a
0
b
m
b
m − 1
…
b
1
b
0
b
m
b
m − 1
…
b
1
b
0
⋱
⋱
…
⋱
⋱
b
m
b
m − 1
…
b
1
b
0
|
,
{\displaystyle R(f,g)=\left|{\begin{array}{cccccccc}a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\&&\ddots &\ddots &\dots &\ddots &\ddots \&&&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\b_{m}&b_{m-1}&\dots &b_{1}&b_{0}\&b_{m}&b_{m-1}&\dots &b_{1}&b_{0}\&&\ddots &\ddots &\dots &\ddots &\ddots \&&&b_{m}&b_{m-1}&\dots &b_{1}&b_{0}\end{array}}\right|,}
Праз карані мнагачленаў
Няхай
f ( x )
a
n
x
n
a
n − 1
x
n − 1
⋯ +
a
1
x +
a
0
,
{\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0},}
g ( x )
b
m
x
m
b
m − 1
x
m − 1
⋯ +
b
1
x +
b
0
.
{\displaystyle g(x)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\dots +b_{1}x+b_{0}.}
α
1
,
α
2
, … ,
α
n
{\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}}
β
1
,
β
2
, … ,
β
m
{\displaystyle \beta _{1},\beta _{2},\dots ,\beta _{m}}
R ( f , g )
a
n
m
b
m
n
∏
1 ≤ i ≤ n
1 ≤ k ≤ m
(
α
i
−
β
k
) .
{\displaystyle R(f,g)=a_{n}^{m}b_{m}^{n}\prod _{1\leq i\leq n \atop 1\leq k\leq m}(\alpha _{i}-\beta _{k}).}
Уласцівасці
- Рэзультант пары мнагачленаў роўны нулю, калі і толькі калі яны маюць агульны корань.
Тоеснасці
Няхай f і g − мнагачлены, і deg f = n, deg g = m.
- R ( f , g ) =
a
n
m
∏
i
1
n
g (
α
i
)
( − 1
)
m ⋅ n
b
m
n
∏
k
1
m
f (
β
k
)
{\displaystyle R(f,g)=a_{n}^{m}\prod _{i=1}^{n}g(\alpha _{i})=(-1)^{m\cdot n}b_{m}^{n}\prod _{k=1}^{m}f(\beta _{k})}
- R ( g , f ) = ( − 1
)
m ⋅ n
R ( f , g )
{\displaystyle R(g,f)=(-1)^{m\cdot n}R(f,g)}
- R ( f h , g ) = R ( f , g ) R ( h , g )
{\displaystyle R(fh,g)=R(f,g)R(h,g)}
- Калі p = f + g h і deg p = deg f, то
R ( p , g )
R ( f , g )
{\displaystyle R(p,g)=R(f,g)}
Сувязь з дыскрымінантам (адрознікам)
Гл. таксама: Дыскрымінант Няхай поле K мае нулявую характарыстыку. Тады для любога мнагачлена
f ( x )
a
n
x
n
⋯ +
a
1
x +
a
0
∈ K [ x ]
{\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+\dots +a_{1}x+a_{0}\in K[x]}
![\{\displaystyle f(x)=a_\{n\}x^\{n\}+\dots +a_\{1\}x+a_\{0\}\in K[x]\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b413777101830286b5969151ddb9dfc85e47af9e)
a
n
D ( f )
( − 1
)
n ( n − 1 )
/
2
R ( f ,
f ′
) .
{\displaystyle a_{n}D(f)=(-1)^{n(n-1)/2}R(f,f’).}
Гл. таксама
Зноскі
- ↑
Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В.Бернік. — Мінск: Тэхналогія, 2001. - 1 2
Курош А.Г. Курс высшей алгебры. — Москва: Наука, 1968.
Крыніцы і спасылкі
Тэмы гэтай старонкі (4):Катэгорыя·Мнагачлены
Катэгорыя·Вікіпедыя·Старонкі з модулем Hatnote з чырвонай спасылкай
Катэгорыя·Ураўненні
Катэгорыя·Алгебра