wd wp Пошук: ⬜

Дыскрымінант

Дыскрыміна́нт[1] (лац.: discriminare — падзяляць, адрозніваць) або адро́знік[2] мнагачлена — лікавая велічыня, якая дазваляе рабіць высновы пра від каранёў мнагачлена і іх узаемнае становішча. Так, для мнагачлена

P ( x )

⋯ +

x +

{\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+\dots +a_{1}x+a_{0}}

$\{\displaystyle P(x)=a_\{n\}x^\{n\}+\dots +a_\{1\}x+a_\{0\}\}$ дыскрымінант (адрознік) вызначаюць як

D ( P )

2 n − 2

∏

1 ≤ i < k ≤ n

(

−

)

{\displaystyle D(P)=a_{n}^{2n-2}\prod _{1\leq i<k\leq n}(\alpha _{i}-\alpha _{k})^{2},}

$\{\displaystyle D(P)=a_\{n\}^\{2n-2\}\prod _\{1\leq i<k\leq n\}(\alpha _\{i\}-\alpha _\{k\})^\{2\},\}$ дзе

, … ,

{\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}}

$\{\displaystyle \alpha _\{1\},\alpha _\{2\},\dots ,\alpha _\{n\}\}$ − карані мнагачлена P(x) (г.зн. рашэнні ўраўнення P(x) = 0) з улікам іх кратнасцей.

Дыскрымінант мнагачлена роўны нулю, калі і толькі калі мнагачлен мае кратны корань.

Дыскрымінант (адрознік) алгебраічнага ураўнення P(x) = 0 вызначаюць як адрознік мнагачлена P(x).

Найбольш вядомы дыскрымінант (адрознік) квадратнага ўраўнення.

Дыскрымінант квадратнага ўраўнення

Гл. таксама: Квадратны трохчлен Гл. таксама: Квадратнае ўраўненне Карані квадратнага ўраўнення

b x + c

{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}

$\{\displaystyle ax^\{2\}+bx+c=0\}$ з рэчаіснымі каэфіцыентамі a, b і c можна вылічыць па формуле

1 , 2

− b ±

− 4 a c

2 a

{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}

$\{\displaystyle x_\{1,2\}=\{\frac \{-b\pm \{\sqrt \{b^\{2\}-4ac\}\}\}\{2a\}\}.\}$ Колькасць рэчаісных рашэнняў залежыць ад знака выразу пад коранем (так званага падкарэннага выразу).

Гэты выраз

− 4 a c

{\displaystyle b^{2}-4ac}

$\{\displaystyle b^\{2\}-4ac\}$ называюць дыскрымінантам квадратнага ўраўнення

b x + c

{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}

$\{\displaystyle ax^\{2\}+bx+c=0\}$ і абазначаюць праз D.

Калі D > 0, падкарэнны выраз дадатны, і таму формула дае два розныя рэчаісныя рашэнні

{\displaystyle x_{1}}

$\{\displaystyle x_\{1\}\}$ і

{\displaystyle x_{2}}

$\{\displaystyle x_\{2\}\}$ .

Калі D = 0, значэнне квадратнага кораня роўнае нулю, таму формула дае адно рэчаіснае значэнне (яно будзе двухкратным коранем ураўнення, або коранем кратнасці 2).
Калі D < 0, квадратны корань з адмоўнага выразу не вызначан у полі рэчаісных лікаў

{\displaystyle \mathbb {R} }

$\{\displaystyle \mathbb \{R\} \}$ . Таму рэчаісных каранёў няма. Аднак становішча змяняецца, калі разглядаць рашэнні над полем камплексных лікаў; у гэтым выпадку маем два (не рэчаісныя) рашэнні, якія з’яўляюцца камплексна спалучанымі адзін да аднаго.

Заўвага. Як выразна відаць з вышэйсказанага, значэнне дыскрымінанта (адрозніка) дазваляе адрозніваць выпадкі становішча каранёў ураўнення, адсюль і назва.

Азначэнне ў агульным выпадку

Гл. таксама: Поле раскладання мнагачлена Няхай

f ( x )

⋯ +

x +

∈ R [ x ]

{\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+\dots +a_{1}x+a_{0}\in R[x]}

$\{\displaystyle f(x)=a_\{n\}x^\{n\}+\dots +a_\{1\}x+a_\{0\}\in R[x]\}$ − мнагачлен n-ай ступені ад адной зменнай над абсягам цэласнасці R (перастаўляльным колцам з адзінкай і без дзельнікаў нуля). Няхай K ёсць поле раскладання мнагачлена

{\displaystyle f}

$\{\displaystyle f\}$ (г.зн. у гэтым полі мнагачлен

{\displaystyle f}

$\{\displaystyle f\}$ раскладваецца на лінейныя множнікі).

Тады адрознік (дыскрымінант) мнагачлена вызначаюць як[1][3]

D ( f )

2 n − 2

∏

1 ≤ i < j ≤ n

(

−

)

{\displaystyle D(f)=a_{n}^{2n-2}\prod _{1\leq i<j\leq n}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2},}

$\{\displaystyle D(f)=a_\{n\}^\{2n-2\}\prod _\{1\leq i<j\leq n\}(\alpha _\{i\}-\alpha _\{j\})^\{2\},\}$ дзе

, … ,

{\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}

$\{\displaystyle \alpha _\{1\},\ldots ,\alpha _\{n\}\}$ − карані мнагачлена

{\displaystyle f}

$\{\displaystyle f\}$ , якія ляжаць у полі K.

Заўвага. Можна паказаць, што для любога мнагачлена над нейкім абсягам цэласнасці R існуе поле раскладання. Так, поле дзелей Q колца R з’яўляецца найменшым полем, якое змяшчае колца R. І ў якасці поля раскладання K можна ўзяць алгебраічнае замыканне поля Q.

Уласцівасці дыскрымінанта

Сувязь з рэзультантам

Гл. таксама: Рэзультант Няхай поле K мае нулявую характарыстыку.

Тады адрознік (дыскрымінант) мнагачлена

f ( x )

⋯ +

x +

{\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+\dots +a_{1}x+a_{0}}

$\{\displaystyle f(x)=a_\{n\}x^\{n\}+\dots +a_\{1\}x+a_\{0\}\}$ над полем K можна вылічыць як рэзультант мнагачлена

{\displaystyle f}

$\{\displaystyle f\}$ і яго вытворнай

f ′

{\displaystyle f’}

$\{\displaystyle f’\}$ , падзелены на старшы каэфіцыент

{\displaystyle a_{n}}

$\{\displaystyle a_\{n\}\}$ :[4]

D ( f )

( − 1

)

n ( n − 1 )

R ( f ,

f ′

) .

{\displaystyle D(f)={\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{a_{n}}}R(f,f’).}

$\{\displaystyle D(f)=\{\frac \{(-1)^\{n(n-1)/2\}\}\{a_\{n\}\}\}R(f,f’).\}$ Адсюль вынікае тоеснасць

D ( f )

( − 1

)

n ( n − 1 )

n − 2

∏

i

f ′

(

) .

{\displaystyle D(f)=(-1)^{n(n-1)/2}a_{n}^{n-2}\prod _{i=1}^{n}f’(\alpha _{i}).}

$\{\displaystyle D(f)=(-1)^\{n(n-1)/2\}a_\{n\}^\{n-2\}\prod _\{i=1\}^\{n\}f’(\alpha _\{i\}).\}$

Адрознік як функцыя ад каэфіцыентаў мнагачлена

Гл. таксама: Матрыца Сільвестра Рэзультант мнагачлена

f ( x )

⋯ +

x +

{\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+\dots +a_{1}x+a_{0}}

$\{\displaystyle f(x)=a_\{n\}x^\{n\}+\dots +a_\{1\}x+a_\{0\}\}$ і яго вытворнай

f ′

( x )

n − 1

⋯ +

{\displaystyle f’(x)=na_{n}x^{n-1}+\dots +a_{1}}

$\{\displaystyle f’(x)=na_\{n\}x^\{n-1\}+\dots +a_\{1\}\}$ роўны вызначніку пэўнай (2n − 1)×(2n − 1)-матрыцы (так званай матрыцы Сільвестра). Таму, калі поле K мае нулявую характарыстыку, з выразу адрозніка праз рэзультант вынікае формула:

D ( f )

( − 1

)

1 2

n ( n − 1 )

det

(

n − 1

⋯

n − 1

⋯

⋮

⋱

n − 1

⋯

( n − 1 )

n − 1

⋯

( n − 1 )

n − 1

⋯

⋮

⋱

⋮

( n − 1 )

n − 1

⋯

( n − 1 )

n − 1

⋯

)

{\displaystyle D(f)={\frac {(-1)^{{\frac {1}{2}}n(n-1)}}{a_{n}}},\det {\begin{pmatrix}a_{n}&a_{n-1}&\cdots &a_{1}&a_{0}&0&\cdots &0\0&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &a_{1}&a_{0}&\cdots &0\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &0\0&0&0&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &a_{1}&a_{0}\na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\cdots &1a_{1}&0&0&\cdots &0\0&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\cdots &1a_{1}&0&\cdots &0\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \0&0&0&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\cdots &1a_{1}&0\0&0&0&0&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\cdots &1a_{1}\\end{pmatrix}}.}

$\{\displaystyle D(f)=\{\frac \{(-1)^\{\{\frac \{1\}\{2\}\}n(n-1)\}\}\{a_\{n\}\}\}\,\det \{\begin\{pmatrix\}a_\{n\}&a_\{n-1\}&\cdots &a_\{1\}&a_\{0\}&0&\cdots &0\\0&a_\{n\}&a_\{n-1\}&\cdots &a_\{1\}&a_\{0\}&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &0\\0&0&0&a_\{n\}&a_\{n-1\}&\cdots &a_\{1\}&a_\{0\}\\na_\{n\}&(n-1)a_\{n-1\}&\cdots &1a_\{1\}&0&0&\cdots &0\\0&na_\{n\}&(n-1)a_\{n-1\}&\cdots &1a_\{1\}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&na_\{n\}&(n-1)a_\{n-1\}&\cdots &1a_\{1\}&0\\0&0&0&0&na_\{n\}&(n-1)a_\{n-1\}&\cdots &1a_\{1\}\\\end\{pmatrix\}\}.\}$ Пры вылічэнні вызначніка з першага слупка можна вынесці множнік

{\displaystyle a_{n}}

$\{\displaystyle a_\{n\}\}$ , які скароціцца.

Прыклады

Адрознік квадратнага мнагачлена a x2 + b x + c роўны

D

− 4 a c .

{\displaystyle D=b^{2}-4ac.}

$\{\displaystyle D=b^\{2\}-4ac.\}$

Адрознік кубічнага мнагачлена a x3 + b x2 + c x + d раўняецца[3]

D

− 4 a

− 4

d − 27

18 a b c d .

{\displaystyle D=b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd.}

$\{\displaystyle D=b^\{2\}c^\{2\}-4ac^\{3\}-4b^\{3\}d-27a^\{2\}d^\{2\}+18abcd.\}$

Адрознік мнагачлена чацвёртай ступені a4 x4 + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 роўны

D

{\displaystyle D={\begin{vmatrix}1~&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}&0&0\0~&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}&0\0~&0&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}\4~&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}&0&0&0\0~&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}&0&0\0~&0&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}&0\0~&0&0&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}\\end{vmatrix}}.}

$\{\displaystyle D=\{\begin\{vmatrix\}1~&a_\{3\}&a_\{2\}&a_\{1\}&a_\{0\}&0&0\\0~&a_\{4\}&a_\{3\}&a_\{2\}&a_\{1\}&a_\{0\}&0\\0~&0&a_\{4\}&a_\{3\}&a_\{2\}&a_\{1\}&a_\{0\}\\4~&3a_\{3\}&2a_\{2\}&1a_\{1\}&0&0&0\\0~&4a_\{4\}&3a_\{3\}&2a_\{2\}&1a_\{1\}&0&0\\0~&0&4a_\{4\}&3a_\{3\}&2a_\{2\}&1a_\{1\}&0\\0~&0&0&4a_\{4\}&3a_\{3\}&2a_\{2\}&1a_\{1\}\\\end\{vmatrix\}\}.\}$

Гл. таксама

Зноскі

1 2
Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В.Бернік. — Мінск: Тэхналогія, 2001.
↑
Беларуская навуковая тэрміналогія. Выпуск 1. Элементарная матэматыка. — Мінск: Інстытут беларускай культуры, 1922.
1 2
Винберг Э.Б. Курс алгебры. — Москва: Факториал Пресс, 2002.
↑
Курош А.Г. Курс высшей алгебры. — Москва: Наука, 1968.

Літаратура

Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.: Наука, 1975.
Матэматычная энцыклапедыя. Гал. рэд. В. І. Бернік. Мн.: Тэхналогія, 2001.

Спасылкі

Weisstein, Eric W. Polynomial Discriminant(англ.) на старонцы Wolfram MathWorld.

Тэмы гэтай старонкі (4):
Катэгорыя·Алгебра
Катэгорыя·Мнагачлены
Катэгорыя·Ураўненні
Катэгорыя·Вікіпедыя·Старонкі з модулем Hatnote з чырвонай спасылкай