wd wp Пошук: ⬜

Прамавугольны трохвугольнік

Прамавугольны трохвугольнік — гэта трохвугольнік, у якім адзін вугал прамы (гэта значыць складае 90 градусаў).

Суадносіны паміж бакамі і вугламі прамавугольнага трохвугольніка ляжаць у аснове трыганаметрыі.

Звязаныя азначэнні

Бок, супрацьлеглы да прамога вугла, называецца гіпатэнузай (бок c на малюнку вышэй).
Бакі, прылеглыя да прамога вугла, называюцца катэтамі. Бок a можа быць ідэнтыфікаваны як прылеглы да вугла B і процілеглы да вугла A, а бок b — як прылеглы да вугла A і процілеглы да В.

Тыпы прамавугольных трохвугольнікаў

Калі даўжыні ўсіх трох бакоў прамавугольнага трохвугольніка з’яўляюцца цэлымі лікамі, то трохвугольнік завецца піфагоравым трохвугольнікам, а даўжыні яго бакоў утвараюць так званую піфагораву тройку.

Прыкметы роўнасці прамавугольных трохвугольнікаў

Па двух катэтах

Калі катэты аднаго прамавугольнага трохвугольніка адпаведна роўныя катэтам іншага прамавугольнага трохвугольніка, то такія трохвугольнікі роўныя.

Па катэтах і вострым вугле

Калі катэт і прылеглы да яго востры вугал аднаго прамавугольнага трохвугольніка адпаведна роўныя катэту і прылегламу да яго востраму вуглу іншага прамавугольнага трохвугольніка, то такія трохвугольнікі роўныя.

Па гіпатэнузе і вострым вугле

Калі гіпатэнуза і востры вугал аднаго прамавугольнага трохвугольніка адпаведна роўныя гіпатэнузе і востраму вуглу іншага прамавугольнага трохвугольніка, то такія трохвугольнікі роўныя.

Па гіпатэнузе і катэту

Калі гіпатэнуза і катэт аднаго прамавугольнага трохвугольніка роўныя гіпатэнузе і катэту іншага прамавугольнага трохвугольніка, то такія трохвугольнікі роўныя.

Уласцівасці

Далей мяркуем, што

{\displaystyle a}

$\{\displaystyle a\}$ і

{\displaystyle b}

$\{\displaystyle b\}$ даўжыні катэтаў, а

{\displaystyle c}

$\{\displaystyle c\}$ даўжыня гіпатэнузы

(Тэарэма Піфагора)

{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}

$\{\displaystyle c^\{2\}=a^\{2\}+b^\{2\}\}$

Плошча прамавугольнага трохвугольніка роўная палове здабытку двух яго катэтаў. Гэта значыць,
S =

1 2

a b .

{\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}ab.}

$\{\displaystyle S=\{\tfrac \{1\}\{2\}\}ab.\}$

Для медыян

{\displaystyle m_{a}}

$\{\displaystyle m_\{a\}\}$ ,

{\displaystyle m_{b}}

$\{\displaystyle m_\{b\}\}$ і

{\displaystyle m_{c}}

$\{\displaystyle m_\{c\}\}$ выконваюцца наступныя суадносіны:

= 5

5 4

{\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=5m_{c}^{2}={\frac {5}{4}}c^{2}.}

$\{\displaystyle m_\{a\}^\{2\}+m_\{b\}^\{2\}=5m_\{c\}^\{2\}=\{\frac \{5\}\{4\}\}c^\{2\}.\}$

- У прыватнасці, медыяна, якая падае на гіпатэнузу, роўная палове гіпатэнузы.

Вышыня

Калі вышыня праведзена з вяршыні з прамым вуглом да гіпатэнузы, то трохвугольнік дзеліцца на два меншыя трохвугольнікі, падобныя зыходнаму і падобныя адзін аднаму. З гэтага вынікае:

Вышыня ёсць сярэдняе геаметрычнае (сярэдняе прапарцыянальнае) двух сегментаў гіпатэнузы.
Кожны катэт трохвугольніка ёсць сярэдняе прапарцыянальнае гіпатэнузы і сумежных сегментаў.
Справядлівыя суадносіны:

= d e ,

{\displaystyle \displaystyle f^{2}=de,}

$\{\displaystyle \displaystyle f^\{2\}=de,\}$ (часам гэта называюць тэарэмай вышыні прамавугольнага трохвугольніка)

= c e ,

{\displaystyle \displaystyle b^{2}=ce,}

$\{\displaystyle \displaystyle b^\{2\}=ce,\}$

= c d ,

{\displaystyle \displaystyle a^{2}=cd,}

$\{\displaystyle \displaystyle a^\{2\}=cd,\}$ дзе a, b, c, d, e, f паказаныя на дыяграме.[1] Такім чынам:

f

a b

{\displaystyle f={\frac {ab}{c}}.}

$\{\displaystyle f=\{\frac \{ab\}\{c\}\}.\}$

Вышыня, апушчаная на гіпатэнузу, звязана з катэтамі прамавугольнага трохвугольніка суадносінамі:[2][3]

{\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{f^{2}}}.}

$\{\displaystyle \{\frac \{1\}\{a^\{2\}\}\}+\{\frac \{1\}\{b^\{2\}\}\}=\{\frac \{1\}\{f^\{2\}\}\}.\}$

Іншыя ўласцівасці

Радыус упісанай акружнасці ў прамавугольны трохвугольнік з катэтамі

{\displaystyle m_{a}}

$\{\displaystyle m_\{a\}\}$ ,

{\displaystyle m_{b}}

$\{\displaystyle m_\{b\}\}$ і гіпатэнузай

{\displaystyle m_{c}}

$\{\displaystyle m_\{c\}\}$ роўны:

r

a + b − c

a b

a + b + c

{\displaystyle r={\frac {a+b-c}{2}}={\frac {ab}{a+b+c}}.}

$\{\displaystyle r=\{\frac \{a+b-c\}\{2\}\}=\{\frac \{ab\}\{a+b+c\}\}.\}$ Калі адрэзкі даўжынёй

{\displaystyle p}

$\{\displaystyle p\}$ і

{\displaystyle q}

$\{\displaystyle q\}$ , выходныя з вяршыні C, дзеляць гіпатэнузу на тры роўныя адрэзкі даўжыні c/3, то:[4]:pp. 216-217

= 5

(

c 3

)

{\displaystyle p^{2}+q^{2}=5\left({\frac {c}{3}}\right)^{2}.}

$\{\displaystyle p^\{2\}+q^\{2\}=5\left(\{\frac \{c\}\{3\}\}\right)^\{2\}.\}$ Прамавугольны трохвугольнік з’яўляецца адзіным трохвугольнікам з двума, а не трыма, упісанымі квадратамі, якія адрозніваюцца адзін ад аднаго.[5]

Хай h і s (h>s) — бакі двух квадратаў, упісаных у прамавугольны трохвугольнік з гіпатэнузай c. Тады:

{\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}+{\frac {1}{h^{2}}}={\frac {1}{s^{2}}}.}

$\{\displaystyle \{\frac \{1\}\{c^\{2\}\}\}+\{\frac \{1\}\{h^\{2\}\}\}=\{\frac \{1\}\{s^\{2\}\}\}.\}$ Перыметр прамавугольнага трохвугольніка роўны суме радыусаў упісанай і трох апісаных акружнасцей.

Зноскі

↑ Wentworth p. 156
↑ Voles, Roger, «Integer solutions of

− 2

{\displaystyle a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}}

$\{\displaystyle a^\{-2\}+b^\{-2\}=d^\{-2\}\}$ ,» Mathematical Gazette 83, July 1999, 269—271. 3. ↑ Richinick, Jennifer, “The upside-down Pythagorean Theorem, " Mathematical Gazette 92, July 2008, 313—317. 4. ↑ Posamentier, Alfred S., and Salkind, Charles T. Challenging Problems in Geometry, Dover, 1996. 5. ↑ Bailey, Herbert, and DeTemple, Duane, «Squares inscribed in angles and triangles», Mathematics Magazine 71(4), 1998, 278—284.

Спасылкі

Calculator for right triangles Архівавана 30 верасня 2017.
Wentworth, G.A. (1895). A Text-Book of Geometry. Ginn & Co.. http://www.archive.org/details/atextbookgeomet10wentgoog.

Тэмы гэтай старонкі (2):
Катэгорыя·Геаметрыя трохвугольніка
Катэгорыя·Вікіпедыя·Спасылка на Вікісховішча непасрэдна ў артыкуле