wd wp Пошук: ⬜

Вышыня трохвугольніка

Вышыня́ трохвугольніка — перпендыкуляр, праведзены з вяршыні трохвугольніка да прамой, якая ўтрымлівае процілеглую старану. У залежнасці ад віду трохвугольніка вышыня можа праходзіць унутры трохвугольніка (для востравугольнага трохвугольніка), супадаць з яго стараною (катэтам прамавугольнага трохвугольніка) ці праходзіць па-за трохвугольнікам (для тупавугольнага).

Уласцівасці

• Вышыні трохвугольніка перасякаюцца ў адным пункце, так званым артацэнтры. Гэта сцвярджэнне лёгка даказаць, карыстаючыся вектарнаю тоеснасцю, справядліваю для любых пунктаў A, B, C, E (нават калі яны не ляжаць у адной плоскасці):

E A

→

⋅

B C

→

E B

→

⋅

C A

→

E C

→

⋅

A B

→

= 0

{\displaystyle {\overrightarrow {EA}}\cdot {\overrightarrow {BC}}+{\overrightarrow {EB}}\cdot {\overrightarrow {CA}}+{\overrightarrow {EC}}\cdot {\overrightarrow {AB}}=0}

(Каб даказасць тоеснасць, трэба скарыстаць формулы

A B

→

=

E B

→

−

E A

→

,

B C

→

=

E C

→

−

E B

→

,

C A

→

=

E A

→

−

E C

→

{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {EB}}-{\overrightarrow {EA}},,{\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {EC}}-{\overrightarrow {EB}},,{\overrightarrow {CA}}={\overrightarrow {EA}}-{\overrightarrow {EC}}}

У якасці пункта E трэба ўзяць перасячэнне дзвюх вышынь трохвугольніка.)

• У востравугольным трохвугольніку артацэнтр ляжыць унутры трохвугольніка; у тупавугольным — па-за трохвугольнікам; у прамавугольным — у вяршыні прамога вугла.
• У прамавугольным трохвугольніку вышыня, праведзеная з вяршыні прамога вугла, разбівае яго на два трохвугольнікі, падобныя зыходнаму.
• У востравугольным трохвугольніку дзве яго вышыні адсякаюць ад яго падобныя трохвугольнікі.
• Асновы вышынь утвараюць так званы ортатрохвугольнік, які мае свае ўласцівасці.

Найменшая з вышынь трохвугольніка мае экстрэмальныя уласцівасці. Напрыклад:

• Найменшая артаганальная праекцыя трохвугольніка на прамыя, што ляжаць у плоскасці трохвугольніка, мае даўжыню, роўную найменшай з яго вышынь.

• Найменшы прамалінейны разрэз у плоскасці, праз які можна працягнуць незгінальную трохвугольную пласціну, павінен мець даўжыню, роўную найменшай з вышынь гэтай пласціны.

• Пры непарыўным руху двух пунктаў па перыметры трохвугольніка насустрач адзін аднаму, найбольшая адлегласць паміж імі не можа быць меншаю за даўжыню найменшай з вышынь трохвугольніка.

Найменшая вышыня ў трохвугольніку заўсёды праходзіць унутры гэтага трохвугольніка.

Асноўныя суадносіны

• h

a

= b sin ⁡ γ

c sin ⁡ β ,

{\displaystyle h_{a}=b\sin \gamma =c\sin \beta ,}

• h

a

=

2 S

a

,

{\displaystyle h_{a}={\frac {2S}{a}},}

дзе

S

{\displaystyle S}

— плошча трохвугольніка,

a

{\displaystyle a}

— даўжыня стараны трохвугольніка, на якую апушчана вышыня.

• h

a

:

h

b

:

h

c

=

1 a

:

1 b

:

1 c

= b c : a c : a b .

{\displaystyle h_{a}:h_{b}:h_{c}={\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}}=bc:ac:ab.}

• 1

h

a

1

h

b

1

h

c

=

1 r

{\displaystyle {\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}={\frac {1}{r}}}

, дзе r — радыус упісанай акружнасці.

• Вышыня раўнабедранага трохвугольніка, апушчаная на аснову:

h

c

=

1 2

4

a

2

−

c

2

,

{\displaystyle h_{c}={\frac {1}{2}}{\sqrt {4a^{2}-c^{2}}},}

дзе

c

{\displaystyle c}

— аснова.

• h =

a

3

2

{\displaystyle h={\frac {a{\sqrt {3}}}{2}}}

— вышыня ў роўнастароннім трохвугольніку.

Тэарэма аб вышыні прамавугольнага трохвугольніка

Калі вышыня даўжынёю h, праведзеная з вяршыні прамога вугла, дзеліць гіпатэнузу даўжынёю c на адрэзкі m і n, адпаведныя катэтам b і a, то верныя наступныя роўнасці:

• h

2

= n m

{\displaystyle h^{2}=nm}

• a

2

= c n

{\displaystyle a^{2}=cn}

• b

2

= c m

{\displaystyle b^{2}=cm}

• h c = a b

{\displaystyle hc=ab}

Мнеманічны верш

Вышыня Падобна на ката́, Што выгнуў спі́ну І пад прамым вуглом Злучыў вяршыню І старану хвастом. Спасылкі

• Даведнік: Трохвугольнікі (руск.)

Тэмы гэтай старонкі (2):
Катэгорыя·Геаметрыя трохвугольніка
Катэгорыя·Планіметрыя