wd wp Пошук: ⬜

Біекцыя

Біекцыя — гэта адлюстраванне, якое з’яўляецца адначасова і сюр’ектыўным, і ін’ектыўным. Пры біектыўным адлюстраванні кожнаму элементу аднаго мноства адпавядае роўна адзін элемент іншага мноства, пры гэтым азначана адваротнае адлюстраванне, якое мае тыя самыя ўласцівасці. Таму біектыўнае адлюстраванне яшчэ называюць ўзаемна-адназначным адлюстраваннем (адпаведнасцю), адна-адназначным адлюстраваннем.

Калі між двума мноствамі можна выявіць ўзаемна-адназначную адпаведнасць (біекцыю), то такія мноства называюцца роўнамагутнымі. З пункта погляду тэорыі мностваў, роўнамагутныя мноствы не адрозніваюцца.

Узаемна-адназначнае адлюстраванне канечнага мноства ў сябе называецца перастаноўкай (або падстаноўкай) элементаў гэтага мноства.

Азначэнне

Функцыя

f : X → Y

{\displaystyle f\colon X\to Y}

$\{\displaystyle f\colon X\to Y\}$ называецца біекцыяй (і пазначаецца

f : X ↔ Y

{\displaystyle f\colon X\leftrightarrow Y}

$\{\displaystyle f\colon X\leftrightarrow Y\}$ ), калі яна:

Пераводзіць розныя элементы мноства

{\displaystyle X}

$\{\displaystyle X\}$ у розныя элементы мноства

{\displaystyle Y}

$\{\displaystyle Y\}$ (ін’ектыўнасць). Іначай кажучы, * ∀

x

1


∈
X
,

∀

x

2


∈
X


x

1


≠

x

2


⇒
f
(

x

1


)
≠
f
(

x

2


)


\{\displaystyle \forall x\_\{1\}\in X,\;\forall x\_\{2\}\in X\;x\_\{1\}\neq x\_\{2\}\Rightarrow f(x\_\{1\})\neq f(x\_\{2\})\}

![\{\displaystyle \forall x_\{1\}\in X,\;\forall x_\{2\}\in X\;x_\{1\}\neq x_\{2\}\Rightarrow f(x_\{1\})\neq f(x_\{2\})\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2113e12a2bc034eab3c2f28c8a8e18d11c10b37b).

Кожны элемент з

{\displaystyle Y}

$\{\displaystyle Y\}$ мае свой правобраз (сюр’ектыўнасць). Іначай кажучы, * ∀ y ∈ Y ,

∃
x
∈
X

f
(
x
)
=
y


\{\displaystyle \forall y\in Y,\;\exists x\in X\;f(x)=y\}

![\{\displaystyle \forall y\in Y,\;\exists x\in X\;f(x)=y\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/333b90babf4cfd769e33244d5fab4a6e26b68d6d).

Прыклады

Тоеснае адлюстраванне

i d

: X → X

{\displaystyle \mathrm {id} \colon X\to X}

$\{\displaystyle \mathrm \{id\} \colon X\to X\}$ на мностве

{\displaystyle X}

$\{\displaystyle X\}$ біектыўнае.

f ( x ) = x ,

f ( x )

{\displaystyle f(x)=x,;f(x)=x^{3}}

$\{\displaystyle f(x)=x,\;f(x)=x^\{3\}\}$ — біектыўныя функцыі з

{\displaystyle \mathbb {R} }

$\{\displaystyle \mathbb \{R\} \}$ у сябе. Наогул, любы маном адной пераменнай няцотнай ступені з’яўляецца біекцыяй з

{\displaystyle \mathbb {R} }

$\{\displaystyle \mathbb \{R\} \}$ у сябе.

f ( x ) =

{\displaystyle f(x)=e^{x}}

$\{\displaystyle f(x)=e^\{x\}\}$ — біектыўная функцыя з

{\displaystyle \mathbb {R} }

$\{\displaystyle \mathbb \{R\} \}$ у

= ( 0 ,

∞ )

{\displaystyle \mathbb {R} _{+}=(0,;+\infty )}

$\{\displaystyle \mathbb \{R\} _\{+\}=(0,\;+\infty )\}$ .

f ( x ) = sin ⁡ x

{\displaystyle f(x)=\sin x}

$\{\displaystyle f(x)=\sin x\}$ не з’яўляеца біектыўнай функцыяй, калі лічыць яе акрэсленай на ўсім

{\displaystyle \mathbb {R} }

$\{\displaystyle \mathbb \{R\} \}$ .

Строга манатонная і непрарыўнаяя функцыя

f ( x )

{\displaystyle f(x)}

$\{\displaystyle f(x)\}$ з’яўляецца біекцыяй з адрэзка

[ a , b ]

{\displaystyle [a,b]}

$\{\displaystyle [a,b]\}$ на адрэзак

[ f ( a ) , f ( b ) ]

{\displaystyle [f(a),f(b)]}

$\{\displaystyle [f(a),f(b)]\}$ .

Уласцівасці

Функцыя

f : X → Y

{\displaystyle f\colon X\to Y}

$\{\displaystyle f\colon X\to Y\}$ з’яўуляецца біектыўнай тады і толькі тады, калі існуе адваротная функцыя

− 1

: Y → X

{\displaystyle f^{-1}\colon Y\to X}

$\{\displaystyle f^\{-1\}\colon Y\to X\}$ такая, што

∀ x ∈ X

− 1

( f ( x ) )

{\displaystyle \forall x\in X;f^{-1}(f(x))=x}

$\{\displaystyle \forall x\in X\;f^\{-1\}(f(x))=x\}$ и

∀ y ∈ Y

f (

− 1

( y ) )

y .

{\displaystyle \forall y\in Y;f(f^{-1}(y))=y.}

$\{\displaystyle \forall y\in Y\;f(f^\{-1\}(y))=y.\}$

Калі функцыі

{\displaystyle f}

$\{\displaystyle f\}$ і

{\displaystyle g}

$\{\displaystyle g\}$ біектыўныя, то і кампазіцыя функцый

g ∘ f

{\displaystyle g\circ f}

$\{\displaystyle g\circ f\}$ біектыўная, у гэтым выпадку

( g ∘ f

)

− 1

∘

− 1

{\displaystyle (g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}}

$\{\displaystyle (g\circ f)^\{-1\}=f^\{-1\}\circ g^\{-1\}\}$ . Коратка: кампазіцыя біекцый з’яўляецца біекцыяй. Адваротнае, аднак, няверна: калі

g ∘ f

{\displaystyle g\circ f}

$\{\displaystyle g\circ f\}$ біектыўная, то мы можам казаць толькі, што

{\displaystyle f}

$\{\displaystyle f\}$ ін’ектыўная, а

{\displaystyle g}

$\{\displaystyle g\}$ сюр’ектыўная.

Крыніцы

Н. К. Верещагин, А. Шень. Часть 1. Начала теории множеств // Лекции по математической логике и теории алгоритмов. — 2-е изд., испр. — 128 с.

Тэмы гэтай старонкі (1):
Катэгорыя·Тыпы функцый