wd wp Пошук: ⬜

Магутнасць мноства

Магутнасць мноства, кардынальны лік мноства (лац. cardinalis ← cardo «стрыжань; асяродак») — характарыстыка мностваў (у тым ліку бясконцых), якая абагульняе паняцце колькасці (лічбы) элементаў канечнага мноства.

У аснове гэтага паняцця ляжаць натуральныя прадстаўленні аб параўнанні мностваў:

1. Любыя два мноствы, паміж элементамі якіх можа быць выяўлена ўзаемна-адназначная адпаведнасць (біекцыя), змяшчаюць аднолькавую колькасць элементаў (маюць аднолькавую магутнасць).
2. Наадварот: мноствы, роўныя па магутнасці, павінны мець такую ўзаемна-адназначную адпаведнасць.
3. Частка мноства не перавышае поўнага мноства па магутнасці (гэта значыць па колькасці элементаў).

Да пабудавання тэорыі магутнасці мностваў мноства адрозніваліся па прыкметам: пустое/непустое і канечнае/бясконцае, таксама канечныя мноствы адрозніваліся па колькасці элементаў. Бясконцыя ж мноства нельга было параўновываць.

Магутнасць мностваў дазваляе параўновываць бясконцыя мноствы. Напрыклад, злічальныя мноствы з’яўляюцца самымі «маленькімі» бясконцымі мноствамі.

Магутнасць мноства

A

{\displaystyle A}

 пазначаецца праз

|

A

|

{\displaystyle |A|}

. Часам сустракаюцца абазначэнні 

A ¯

¯

{\displaystyle {\overline {\overline {A}}}}

,

A

{\displaystyle #A}

і

c a r d

( A )

{\displaystyle \mathrm {card} (A)}

.

Азначэнне

Пры выконванні аксіёмы выбару магутнасць мноства фармальна азначаецца як мінімальны парадкавы лік

α

{\displaystyle \alpha }

, пры каторым між

X

{\displaystyle X}

 і

α

{\displaystyle \alpha }

 можна выявіць біектыўную адпаведнасць. Дадзенае азначэнне таксама называецца размеркаваннем кардынальных лікаў па фон Нэйману. 

Фармальны парадак сярод кардынальных лікаў уводзіцца наступным вобразам:

|

X

|

≤

|

Y

|

{\displaystyle |X|\leq |Y|}

 азначае, што мноства

X

{\displaystyle X}

можна ін’ектыўна адлюстраваць на

Y

{\displaystyle Y}

. Згодна з тэарэмай Кантара — Бярнштэйна, з двух няроўнасцей

|

X

|

≤

|

Y

|

{\displaystyle |X|\leq |Y|}

і

|

Y

|

≤

|

X

|

{\displaystyle |Y|\leq |X|}

вынікае, што

|

X

|

=

|

Y

|

{\displaystyle |X|=|Y|}

. Аксіёма выбару эквівалентная сцвярджэнню аб тым, што для любых мностваў

X

{\displaystyle X}

і

Y

{\displaystyle Y}

выконваецца прынамсі адно з няроўнасцей 

|

X

|

≤

|

Y

|

{\displaystyle |X|\leq |Y|}

або

|

Y

|

≤

|

X

|

{\displaystyle |Y|\leq |X|}

.

Звязаныя азначэнні

• Магутнасць мноства натуральных лікаў

N

{\displaystyle {\mathbb {N} }}

пазначаецца сімвалам 

ℵ

0

{\displaystyle \aleph _{0}}

(«алеф-нуль»). Мноства называецца бясконцым, калі яго магутнасць 

⩾

ℵ

0

{\displaystyle \geqslant \aleph _{0}}

(не менш магутнасці мноства натуральных лікаў), такім вобразам, злічальныя мноствы — гэта «самыя маленькія» з бясконцых мностваў. Наступныя кардынальныя лікі ў парадку нарастання пазначаюцца

ℵ

1

,

ℵ

2

, …

ℵ

ω

,

ℵ

ω + 1

, …

ℵ

ω

1

, …

{\displaystyle \aleph _{1},\aleph _{2},\dots \aleph _{\omega },\aleph _{\omega +1},\dots \aleph _{\omega _{1}},\dots }

(дзе індэкс прабягае усё парадкавыя лікі). Сярод кардынальных лікаў няма найбольшага: для любога мноства кардынальных лікаў існуе кардынальны лік, большы за ўсе элементы гэтага мноства.

• Пра мноствы, раўнамагутныя мноству ўсіх рэчаісных лікаў, кажуць, што яны маюць магутнасць кантынуума, і магутнасць такіх мностваў пазначаецца сімвалам

c

{\displaystyle {\mathfrak {c}}}

 . Меркаванне аб тым, што 

c

=

ℵ

1

{\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{1}}

, называецца кантынуум-гіпотэзай.

Прыклады

• Мноства называецца канечным, калі яно раўнамагутна адрэзку натуральнага шэрага

I

n

= { 1 , 2… , n }

{\displaystyle I_{n}=\{1,2…,n\}}

 пры некаторым неадмоўным цэлым

n

{\displaystyle n}

. Лік

n

{\displaystyle n}

 абазначае колькасць элементаў канечнага мноства. Пры

n

0

{\displaystyle n=0}

мноства не змяшчае элементаў (пустое мноства). Калі

n < m

{\displaystyle n<m}

, то не існуе ін’ектыўнага адлюстравання з

I

m

{\displaystyle I_{m}}

у

I

n

{\displaystyle I_{n}}

 (прынцып Дырыхле), а значыць, не існуе і біекцыі між імі. Таму мноства

I

m

{\displaystyle I_{m}}

і

I

n

{\displaystyle I_{n}}

 маюць розную магутнасць.

• Мноства называецца злічальным, калі яно раўнамагутна мноству ўсіх натуральных лікаў

N

{\displaystyle \mathbb {N} }

. Злічальнымі мноствамі з’яўляюцца: + Мноства

N

∖

I

k




\{\displaystyle \mathbb \{N\} \setminus I\_\{k\}\}

![\{\displaystyle \mathbb \{N\} \setminus I_\{k\}\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6b6c641b5a0d5758059362ccb04eadd5673ed5f) пры любым натуральным 



k


\{\displaystyle k\}

![\{\displaystyle k\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40). Адпаведнасць: 



n
→
n
+
k


\{\displaystyle n\rightarrow n+k\}

![\{\displaystyle n\rightarrow n+k\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/722b32a235aace7713c7c13801ac9d8a2a95b3cf).
+ Мноства 




N

∪
\{
0
\}


\{\displaystyle \mathbb \{N\} \cup \\{0\\}\}

![\{\displaystyle \mathbb \{N\} \cup \\{0\\}\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc48c7f4b68077eefe8ed39fb17e06ae15e3eccf). Адпаведнасць: 



n
→
n
−
1


\{\displaystyle n\rightarrow n-1\}

![\{\displaystyle n\rightarrow n-1\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c74f9dc81fa9284b28083a91f49f7ab1b873b265).
+ Мноства цэлых лікаў 




Z



\{\displaystyle \mathbb \{Z\} \}

![\{\displaystyle \mathbb \{Z\} \}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/449494a083e0a1fda2b61c62b2f09b6bee4633dc). Адпаведнасць атрымоўваецца пры супастаўленні складнікаў шэрага 



0
+
1
−
2
+
3
−
4
+
5
−
6
+
.
.
.


\{\displaystyle 0+1-2+3-4+5-6+...\}

![\{\displaystyle 0+1-2+3-4+5-6+...\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edd6bb1c1ee78f3e27bedbcbecf2b788b4f241ae)  яго частковымі сумам (складнікі шэрага бяруцца без учоту знака).
+ Мноства пар натуральных лікаў 




N

×

N



\{\displaystyle \mathbb \{N\} \times \mathbb \{N\} \}

![\{\displaystyle \mathbb \{N\} \times \mathbb \{N\} \}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b25f8c4219e47350185be7ebdc5250c8d59ab35).
+ Мноства рацыянальных лікаў 




Q



\{\displaystyle \mathbb \{Q\} \}

![\{\displaystyle \mathbb \{Q\} \}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5909f0b54e4718fa24d5fd34d54189d24a66e9a) ін'ектыўна адлюстроўваецца у мноства 




Z

×

N



\{\displaystyle \mathbb \{Z\} \times \mathbb \{N\} \}

![\{\displaystyle \mathbb \{Z\} \times \mathbb \{N\} \}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cff7b6617a096331a1c52725721446161412007) (нескарачальнаму дробу 



p

/

q


\{\displaystyle p/q\}

![\{\displaystyle p/q\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fa5bd4cf049744deac0ac4a04c07998bd6befa9) выгляду адпавядае пара лікаў 



(
p
,
q
)
∈

Z

×

N



\{\displaystyle (p,q)\in \mathbb \{Z\} \times \mathbb \{N\} \}

![\{\displaystyle (p,q)\in \mathbb \{Z\} \times \mathbb \{N\} \}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff8e5d7a9c15c5de5bc8f087b7679dfa8b2184e5). Таму мноства рацыянальных лікаў не больш, за злічальнае. Але паколькі яно змяшчае мноства натуральных лікаў, то яно і не менш, за злічальнае. Па тэарэме Кантара-Бярнштэйна яно злічальнае.

• Бясконцыя мноствы, нераўнамагутныя мноству

N

{\displaystyle \mathbb {N} }

, называюцца незлічальнымі. Па тэарэме Кантара незлічальным з’яўляецца мноства бясконцых паслядоўнасцей, састаўленых з лічб 0 і 1. Магутнасць гэтага мноства называется кантынуум.

• Магутнасць мноства

R

{\displaystyle \mathbb {R} }

рэчаісных лікаў роўна кантынууму.

Уласцівасці

• Два канечных мноства раўнамагутныя тады і толькі тады, калі яны складаюцца з аднолькавай лічбы элементаў. Гэта значыць што для канечнага мноства паняцце магутнасці супадае з звычайным паняццем колькасці.
• Для бясконцых мностваў магутнасць мноства можа супадаць з магутнасцю свайго ўласнага падмноства, напрыклад

|

N

|

=

|

Z

|

{\displaystyle |{\mathbb {N} }|=|\mathbb {Z} |}

.

• Больш таго, мноства бясконца тады і толькі тады, калі яно змяшчае раўнамагутнае ўласнае (гэта значыць яно не супадае з асноўным мноствам) падмноства.
• Тэарэма Кантара гарантуе існаванне больш магутнага мноства за любое дадзенае: Мноства ўсіх падмноств мностваA мае большую моцнасць, чым А*, іначай кажучы 

|

2

A

|

|

A

|

{\displaystyle |2^{A}|>|A|}

.*

• З дапамогай кантарава квадрата можна таксама даказаць наступнае прыдатнае сцвярджэнне: дэкартаў  здабытак бясконцага мноства A з самім сабой раўнамагутны A.

Літаратура

• Ефимов Б. А. Множеств теория // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.). — М.: Советская энциклопедия, 1982. — Т. 3. — 592 с. — 150 000 экз. Стл. 758-760.
• Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М.—Л., 1948.

Тэмы гэтай старонкі (1):
Катэгорыя·Тэорыя мностваў