Адзі́нкавая акру́жнасць — акружнасць з радыусам 1 і цэнтрам у пачатку каардынат.
Для каардынат (x, y) усіх пунктаў на адзінкавай акружнасці, згодна з тэарэмай Піфагора, выконваецца роўнасць:
x
2
y
2
= 1.
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1.}
Паняцце адзінкавай акружнасці абагульняецца да n-мернай прасторы (
n
2
{\displaystyle n>2}
), у такім выпадку кажуць аб «адзінкавай сферы».
З дапамогай адзінкавай акружнасці могуць быць наглядна апісаны трыганаметрычныя функцыі.
Сінус і косінус могуць быць апісаны наступным чынам: калі злучыць любую кропку
( x , y )
{\displaystyle (x,y)}
на адзінкавай акружнасці з пачаткам каардынат
( 0 , 0 )
{\displaystyle (0,0)}
, атрымліваецца адрэзак, які знаходзіцца пад вуглом
α
{\displaystyle \alpha }
адносна дадатнай паўвосі абсцыс. Тады сапраўды:
x ,
{\displaystyle \cos \alpha =x,}
y .
{\displaystyle \sin \alpha =y.}
Пры падстаноўцы гэтых значэнняў ва ўраўненне акружнасці
x
2
y
2
= 1
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}
атрымліваецца:
cos
2
α +
sin
2
{\displaystyle \cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha =1.}
(Выкарыстоўваецца наступнае агульнапрынятае абазначэнне:
cos
2
( cos x
)
2
{\displaystyle \cos ^{2}x=(\cos x)^{2}}
.)
Тут жа наглядна апісваецца перыядычнасць трыганаметрычных функцый, бо адпаведнае вуглу становішча адрэзка не залежыць ад колькасці «поўных абаротаў»:
sin ( x )
{\displaystyle \sin(x+2\pi k)=\sin(x)}
cos ( x )
{\displaystyle \cos(x+2\pi k)=\cos(x)}
для ўсіх цэлых лікаў
k
{\displaystyle k}
, г.зн. для
k ∈
Z
{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }
.
Гл. таксама: Формула Эйлера і U(1) На камплекснай плоскасці адзінкавая акружнасць — гэта наступнае мноства
G ⊂
C
{\displaystyle G\subset \mathbb {C} }
:
{ z :
|
z
|
{
e
i ϕ
: 0 ≤ ϕ < 2 π } .
{\displaystyle G=\{z:|z|=1\}=\{e^{i\phi }:0\leq \phi <2\pi \}.}
Мноства
G
{\displaystyle G}
з’яўляецца падгрупай групы камплексных лікаў па множанню, яе нейтральны элемент — гэта
e
i 0
= 1
{\displaystyle e^{i0}=1}
.