wd wp Пошук: ⬜

Формулы Віета

Формулы Віета — формулы, якія выражаюць каэфіцыенты мнагачлена праз яго карані.

Гэтымі формуламі зручна карыстацца для праверкі правільнасці знаходжання каранёў мнагачлена, а таксама для састаўлення мнагачлена па зададзеных каранях.

Фармулёўка

Калі

c

1

,

c

2

, … ,

c

n

{\displaystyle c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n}}

— карані мнагачлена

x

n

a

1

x

n − 1

a

2

x

n − 2

. . . +

a

n

,

{\displaystyle x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+…+a_{n},}

(кожны корань узяты адпаведную яго кратнасці колькасць разоў), то каэфіцыенты

a

1

, … ,

a

n

{\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}

выражаюцца ў выглядзе сіметрычнага мнагачлена ад каранёў, а менавіта:

a

1

=

− (

c

1

c

2

… +

c

n

) ,

a

2

=

c

1

c

2

c

1

c

3

… +

c

1

c

n

c

2

c

3

… +

c

n − 1

c

n

,

a

3

=

− (

c

1

c

2

c

3

c

1

c

2

c

4

… +

c

n − 2

c

n − 1

c

n

) ,

…

a

n − 1

=

( − 1

)

n − 1

(

c

1

c

2

…

c

n − 1

c

1

c

2

…

c

n − 2

c

n

… +

c

2

c

3

. . .

c

n

) ,

a

n

=

( − 1

)

n

c

1

c

2

…

c

n

.

{\displaystyle {\begin{matrix}a_{1}&=&-(c_{1}+c_{2}+\ldots +c_{n}),\a_{2}&=&c_{1}c_{2}+c_{1}c_{3}+\ldots +c_{1}c_{n}+c_{2}c_{3}+\ldots +c_{n-1}c_{n},\a_{3}&=&-(c_{1}c_{2}c_{3}+c_{1}c_{2}c_{4}+\ldots +c_{n-2}c_{n-1}c_{n}),\&&\ldots \a_{n-1}&=&(-1)^{n-1}(c_{1}c_{2}\ldots c_{n-1}+c_{1}c_{2}\ldots c_{n-2}c_{n}+\ldots +c_{2}c_{3}…c_{n}),\a_{n}&=&(-1)^{n}c_{1}c_{2}\ldots c_{n}.\end{matrix}}}

Інакш кажучы,

( − 1

)

k

a

k

{\displaystyle (-1)^{k}a_{k}}

роўнае суме ўсіх магчымых здабыткаў з

k

{\displaystyle k}

каранёў:

a

k

= ( − 1

)

k

∑

1 ≤

i

1

≤ ⋯ ≤

i

k

≤ n

c

i

1

…

c

i

k

.

{\displaystyle a_{k}=(-1)^{k}\sum _{1\leq i_{1}\leq \dots \leq i_{k}\leq n}c_{i_{1}}\dots c_{i_{k}}.}

Калі старшы каэфіцыент мнагачлена

a

0

≠ 1

{\displaystyle a_{0}\neq 1}

, то для прымянення формулы Віета неабходна спачатку падзяліць усе каэфіцыенты на

a

0

{\displaystyle a_{0}}

(гэта не ўплывае на значэнне каранёў мнагачлена). У гэтым выпадку формулы Віета даюць выраз для адносін усіх каэфіцыентаў да старшага. З апошняй формулы Віета вынікае, што калі карані мнагачлена цэлалікавыя, то яны з’яўляюцца дзельнікамі яго свабоднага члена, які пры гэтым таксама цэлалікавы.

Доказ

Доказ вынікае з роўнасці, атрыманай раскладаннем мнагачлена па каранях, улічваючы,

a

0

= 1

{\displaystyle a_{0}=1}

x

n

a

1

x

n − 1

a

2

x

n − 2

. . . +

a

n

= ( x −

c

1

) ( x −

c

2

) ⋯ ( x −

c

n

) .

{\displaystyle x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+…+a_{n}=(x-c_{1})(x-c_{2})\cdots (x-c_{n}).}

Прыраўноўваючы каэфіцыенты пры аднолькавых ступенях

x

{\displaystyle x}

(тэарэма адзінасці), атрымліваем формулы Віета.

Прыклады

Квадратнае ўраўненне

Калі

x

1

{\displaystyle x_{1}}

і

x

2

{\displaystyle x_{2}}

— карані квадратнага ўраўнення

  a

x

2

b x + c

0

{\displaystyle \ ax^{2}+bx+c=0}

,то

{

x

1

x

2

= −

b a

,

x

1

x

2

=

c a

.

{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-{\dfrac {b}{a}},\x_{1}x_{2}={\dfrac {c}{a}}.\end{cases}}}

У асобным выпадку, калі

a

1

{\displaystyle a=1}

(прыведзеная форма

x

2

p x + q

0

{\displaystyle x^{2}+px+q=0}

), то

{

x

1

x

2

= − p ,

x

1

x

2

= q .

{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-p,\x_{1}x_{2}=q.\end{cases}}}

Кубічнае ўраўненне

Калі

x

1

,

x

2

,

x

3

{\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}

— карані кубічнага ўраўнення

p ( x )

a

x

3

b

x

2

c x + d

0 ,

{\displaystyle p(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,}

то

{

x

1

x

2

x

3

= −

b a

,

x

1

x

2

x

1

x

3

x

2

x

3

=

c a

,

x

1

x

2

x

3

= −

d a

.

{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\dfrac {b}{a}},\x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}={\dfrac {c}{a}},\x_{1}x_{2}x_{3}=-{\dfrac {d}{a}}.\end{cases}}}

Гл. таксама

• Тэарэма Безу
• Асноўная тэарэма алгебры

Няма спасылак на крыніцы. Адсутнасць спасылак на крыніцы выклікае недавер да інфармацыі. Калі ласка, калі ведаеце крыніцы змешчанай у артыкуле інфармацыі, пазначце іх.

Тэмы гэтай старонкі (3):
Катэгорыя·Матэматычны аналіз
Катэгорыя·Вікіпедыя·Артыкулы без спасылак на крыніцы
Катэгорыя·Мнагачлены