Квадра́тнае ўраўне́нне, або квадрато́вае раўна́нне[1] — гэта ўраўненне выгляду
a
x
2
0 ,
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,}
дзе a, b, c — вызначаныя лікі, a ≠ 0, x — невядомая велічыня.
Асноўны артыкул: Тэарэма Віета Лікі
x
1
{\displaystyle x_{1}}
і
x
2
{\displaystyle x_{2}}
ёсць каранямі квадратнага ўраўнення
a
x
2
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
тады і толькі тады, калі спраўджваюцца роўнасці (так званыя формулы Віета):
{
x
1
x
2
= −
b a
,
x
1
⋅
x
2
=
c a
.
{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}},\x_{1}\cdot x_{2}={\frac {c}{a}}.\end{cases}}}
Заўвага 1: тэарэма Віета застаецца справядліваю незалежна ад таго, якія гэтыя карані: рэчаісныя ці камплексныя.
Заўвага 2: у выпадку, калі квадратнае ўраўненне мае кратны корань
x
1
=
x
2
,
{\displaystyle x_{1}=x_{2},}
формулы Віета прымаюць выгляд
2
x
1
= −
b a
,
{\displaystyle 2x_{1}=-{\frac {b}{a}},}
x
1
2
=
c a
.
{\displaystyle x_{1}^{2}={\frac {c}{a}}.}
Прыклад
Теарэмай Віета зручна карыстацца, калі каэфіцыенты квадратнага ўраўнення цэлыя, і старшы каэфіцыент a = 1. У такім выпадку, асабліва калі каэфіцыенты малыя, карані можна знайсці вусна, раскладаючы на множнікі свабодны каэфіцыент. Вось напрыклад, у нас ёсць ураўненне
x
2
0
{\displaystyle x^{2}-x-6=0}
(a = 1, b = -1, c = -6).
Неабходна, каб задавальняліся роўнасці
x
1
⋅
x
2
= − 6 ,
{\displaystyle x_{1}\cdot x_{2}=-6,}
x
1
x
2
= 1.
{\displaystyle x_{1}+x_{2}=1.}
Лік 6 мае сваімі дзельнікамі лікі 2 і 3. Адзін з каранёў — адмоўны, бо здабытак каранёў роўны -6. Падбіраючы лікі так, каб іх сума была роўнай 1, атрымліваем, што
карані — гэта лікі 3 і -2.
Асноўны артыкул: Дыскрымінант
Дыскрымінатам квадратнага ўраўнення
a
x
2
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
называецца велічыня
b
2
− 4 a c .
{\displaystyle D=b^{2}-4ac.}
x
1 , 2
=
− b ±
D
2 a
.
{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}.}
x
1
=
x
2
=
− b
2 a
.
{\displaystyle x_{1}=x_{2}={\frac {-b}{2a}}.}
Заўвага: калі D < 0, існуюць два камплексныя карані, якія вылічваюцца па формуле
x
1 , 2
=
− b ± i
|
D
|
2 a
,
{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm i{\sqrt {|D|}}}{2a}},}
дзе i — так званая ўяўная адзінка, якая азначаецца як лік, квадрат якога роўны -1:
i
2
= − 1.
{\displaystyle i^{2}=-1.}
Прыклад
Разгледзім тое ж ураўненне
x
2
0
{\displaystyle x^{2}-x-6=0}
(a = 1, b = -1, c = -6).
Вылічым дыскрымінант
( − 1
)
2
{\displaystyle D=(-1)^{2}-4\cdot 1\cdot (-6)=25.}
Падстаўляем значэнні ў формулы і атрымліваем:
x
1
=
− ( − 1 ) +
25
2 ⋅ 1
=
1 + 5
2
= 3 ,
{\displaystyle x_{1}={\frac {-(-1)+{\sqrt {25}}}{2\cdot 1}}={\frac {1+5}{2}}=3,}
x
2
=
− ( − 1 ) −
25
2 ⋅ 1
=
1 − 5
2
= − 2.
{\displaystyle x_{2}={\frac {-(-1)-{\sqrt {25}}}{2\cdot 1}}={\frac {1-5}{2}}=-2.}