wd wp Пошук: ⬜

Асноўная тэарэма алгебры

Асно́ўная тэарэ́ма а́лгебры сцвярджае, што поле камплексных лікаў алгебраічна замкнута, г. зн.

Усякі непастаянны мнагачлен (ад аднае зменнай) з камплекснымі каэфіцыентамі мае па меншай меры адзін корань на полі камплексных лікаў.

Дадзенае сцвярджэнне справядліва і для мнагачленаў з рэчаіснымі каэфіцыентамі, бо ўсякі рэчаісны лік з’яўляецца камплексным, з нулявой уяўнай часткай.

Не існуе строга алгебраічнага доказу тэарэмы — усе наяўныя прыцягваюць неалгебраічныя канцэпцыі, накшталт паўнаты мноства рэчаісных лікаў або тапалогіі камплекснай плоскасці. Да таго ж, тэарэма не з’яўляецца «асноўнай» у сучаснай алгебры — яна атрымала гэту назву ў часы, калі асноўным напрамкам алгебры быў пошук рашэнняў алгебраічных ураўненняў з рэчаіснымі і камплекснымі каэфіцыентамі.

Доказ

Самы просты доказ гэтай тэарэмы даецца метадамі камплекснага аналізу. Выкарыстоўваецца той факт, што функцыя, якая аналітычная на ўсёй камплекснай плоскасці і не мае асаблівасцей на бесканечнасці, ёсць канстанта. Таму функцыя 1/p, дзе p — мнагачлен, павінна мець хоць адзін полюс на камплекснай плоскасці, і адпаведна, мнагачлен мае хоць адзін корань.

Вынік

Прамым вынікам з тэарэмы з’яўляецца тое, што любы мнагачлена ступені n над полем камплексных лікаў мае ў ім роўна n каранёў, з улікам іх кратнасці.

Доказ выніку

У мнагачлена

f ( x )

{\displaystyle f(x)}

$\{\displaystyle f(x)\}$ ёсць корань

{\displaystyle a}

$\{\displaystyle a\}$ , значыць, па тэарэме Безу, яго можна запісаць у выглядзе

( x − a ) g ( x )

{\displaystyle (x-a)g(x)}

$\{\displaystyle (x-a)g(x)\}$ , дзе

g ( x )

{\displaystyle g(x)}

$\{\displaystyle g(x)\}$ — іншы мнагачлен. Прыменім тэарэму да

g ( x )

{\displaystyle g(x)}

$\{\displaystyle g(x)\}$ і будзем прымяняць яе такім жа чынам да таго часу, пакуль на месцы

g ( x )

{\displaystyle g(x)}

$\{\displaystyle g(x)\}$ не апынецца лінейны множнік.

Гісторыя

Як здагадка гэтая тэарэма ўпершыню сустракаецца ў нямецкага матэматыка Пітэра Роўтэ (пам. 1617). Першыя доказы асноўнай тэарэмы алгебры належаць Жырару, 1629 г., і Дэкарту, 1637 г., у фармулёўцы, якая адрозніваецца ад сучаснай. Маклорэн і Эйлер удакладнілі фармулёўку, надаўшы ёй форму, раўназначную сучаснай:

Усякі мнагачлен з рэчаіснымі каэфіцыентамі можна раскласці ў здабытак лінейных і квадратычных множнікаў з рэчаіснымі каэфіцыентамі.

Д’Аламбер першым у 1746 годзе апублікаваў доказ гэтай тэарэмы. Ён грунтаваўся на леме, што для любога пункта, які не з’яўляецца коранем мнагачлена, знойдзецца пункт з меншым модулем мнагачлена ў ім, г.зн.

∀ x : f ( x ) ≠ 0 ⇒ ∃ y :

f ( y )

f ( x )

{\displaystyle \forall x:f(x)\neq 0\ \Rightarrow \exists y:|f(y)|<|f(x)|.}

$\{\displaystyle \forall x:f(x)\neq 0\ \Rightarrow \exists y:|f(y)|<|f(x)|.\}$ Гэты доказ быў бы строгім, калі б Д’Аламбер мог даказаць, што на камплекснай плоскасці значэнне модуля мнагачлена дасягае найменшага значэння. У другой палавіне XVIII стагоддзя з’яўляюцца доказы Эйлера, Лапласа, Лагранжа і іншых. Ва ўсіх гэтых доказах дапускаецца, што нейкія «ідэальныя» карані мнагачлена існуюць, а затым даказваецца, што прынамсі адзін з іх з’яўляецца камплексным лікам.

Гаус першым даў доказ без гэтага дапушчэння, адзіным выкарыстаным ім, але недаказаным сцвярджэннем была тэарэма Бальцана — Кашы для мнагачлена. Яна сцвярджае, што мнагачлен з рэчаіснымі каэфіцыентамі, які прымае як дадатнае, так і адмоўнае значэнне, мае корань. Доказ Гауса, па сутнасці, утрымлівае пабудову поля раскладання мнагачлена.

Гл. таксама

Спасылкі

В.М.Тихомиров, В.В.Успенский Десять доказательств основной теоремы алгебры // Математическое просвещение. — МЦНМО, 1997. — № 1. — С. 50-70.
В.Б. Алексеев Теорема Абеля в задачах и решениях // Математическое просвещение. — МЦНМО, 2001. — С. 192.

Тэмы гэтай старонкі (6):
Катэгорыя·Мнагачлены
Катэгорыя·Абстрактная алгебра
Катэгорыя·Тэорыя палёў
Катэгорыя·Алгебра
Катэгорыя·Тэарэмы алгебры
Катэгорыя·Тэорыя лікаў