wd wp Пошук: ⬜

Тэарэма Безу

Тэарэма Безу сцвярджае, што астача ад дзялення мнагачлена

P ( x )

{\displaystyle P(x)}

$\{\displaystyle P(x)\}$ на мнагачлен

( x − a )

{\displaystyle (x-a)}

$\{\displaystyle (x-a)\}$ роўная

P ( a )

{\displaystyle P(a)}

$\{\displaystyle P(a)\}$ .

Будзем лічыць, што каэфіцыенты мнагачлена змяшчаюцца ў некаторым камутатыўным кальцы з адзінкай (напрыклад, у полі рэчаісных ці камплексных лікаў).

Доказ

Падзелім з астачаю мнагачлен

P ( x )

{\displaystyle P(x)}

$\{\displaystyle P(x)\}$ на мнагачлен

x − a

{\displaystyle x-a}

$\{\displaystyle x-a\}$ :

P ( x )

( x − a ) Q ( x ) + R ( x ) .

{\displaystyle P(x)=(x-a)Q(x)+R(x).}

$\{\displaystyle P(x)=(x-a)Q(x)+R(x).\}$ Паколькі

deg ⁡ R ( x ) < deg ⁡ ( x − a )

{\displaystyle \deg R(x)<\deg(x-a)=1}

$\{\displaystyle \deg R(x)<\deg(x-a)=1\}$ , то

R ( x )

{\displaystyle R(x)}

$\{\displaystyle R(x)\}$ — мнагачлен ступені не вышэй чым 0. Падстаўляючы

x

{\displaystyle x=a}

$\{\displaystyle x=a\}$ , маем

( a − a ) Q ( a )

{\displaystyle (a-a)Q(a)=0}

$\{\displaystyle (a-a)Q(a)=0\}$ , і таму

P ( a )

R ( a )

{\displaystyle P(a)=R(a)}

$\{\displaystyle P(a)=R(a)\}$ .

Вынікі

Лік

{\displaystyle a}

$\{\displaystyle a\}$ з’яўляецца коранем мнагачлена

p ( x )

{\displaystyle p(x)}

$\{\displaystyle p(x)\}$ тады і толькі тады, калі

p ( x )

{\displaystyle p(x)}

$\{\displaystyle p(x)\}$ дзеліцца без астачы на двухчлен

x − a

{\displaystyle x-a}

$\{\displaystyle x-a\}$ (адсюль, сярод іншага вынікае, што мноства каранёў мнагачлена

P ( x )

{\displaystyle P(x)}

$\{\displaystyle P(x)\}$ тоеснае з мноствам каранёў адпаведнага ўраўнення

P ( x )

{\displaystyle P(x)=0}

$\{\displaystyle P(x)=0\}$ ).

Свабодны член мнагачлена з цэлымі каэфіцыентамі дзеліцца на любы цэлы корань мнагачлена (калі старшы каэфіцыент роўны 1, то ўсе рацыянальныя карані з’яўляюцца і цэлымі).
Няхай

{\displaystyle a}

$\{\displaystyle a\}$ — цэлы корань прыведзенага мнагачлена

A ( x )

{\displaystyle A(x)}

$\{\displaystyle A(x)\}$ з цэлымі каэфіцыентамі. Тады для любога цэлага