wd wp Пошук: ⬜

Ураўненне Лапласа

Ураўне́нне Лапла́са — дыферэнцыяльнае ўраўненне з частковымі вытворнымі

Δ u

0 ,

{\displaystyle \Delta u=0,}

$\{\displaystyle \Delta u=0,\}$ дзе Δ — аператар Лапласа, u — шуканая функцыя, вызначаная на некаторай вобласці Ω ⊂ Rn.

У трохмерных прамавугольных дэкартавых каардынатах яно мае выгляд

∂

= 0 ,

{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=0,}

$\{\displaystyle \{\frac \{\partial ^\{2\}u\}\{\partial x^\{2\}\}\}+\{\frac \{\partial ^\{2\}u\}\{\partial y^\{2\}\}\}+\{\frac \{\partial ^\{2\}u\}\{\partial z^\{2\}\}\}=0,\}$ дзе x, y, z — незалежныя пераменныя.

Уведзена П. Лапласам (1782) у працах па нябеснай механіцы і тэорыі гравітацыйнага патэнцыялу.

Да ўраўнення Лапласа зводзіцца шэраг задач фізікі і тэхнікі, напрыклад, яго задавальняе тэмпература пры стацыянарных працэсах, патэнцыял электрастатычнага поля па-за межамі зарадаў, гравітацыйны патэнцыял па-за межамі прыцягальных мас.

Рашэнні ўраўнення Лапласа, якія маюць неперарыўныя частковыя вытворныя да 2-га парадку ўключна, называюцца гарманічнымі функцыямі.

Гл. таксама

Ураўненне Пуасона

Літаратура

Лапласа ўраўненне // Беларуская энцыклапедыя: У 18 т. / Рэдкал.: Г. П. Пашкоў і інш.. — Мн.: БелЭн, 1999. — Т. 9: Кулібін — Малаіта. С. 134.
Лапласа уравнение // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.). — М.: Советская энциклопедия, 1982. — Т. 3. — 592 с. — 150 000 экз. Стл. 202—203.

Спасылкі

Hazewinkel, Michiel, ed (2001). “Laplace equation”. Encyclopedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric W. Laplace’s Equation(англ.) на старонцы Wolfram MathWorld.