wd wp Пошук: ⬜

Перасячэнне мностваў

Перасячэ́нне мно́стваў — бінарная аперацыя над мноствамі, вынікам якой ёсць мноства, складзенае з элементаў, што ўваходзяць у абодва гэтыя мноствы. Перасячэннем мностваў называюць як саму аперацыю, так і мноства, што з’яўляецца яе вынікам.

Аперацыя перасячэння мностваў абазначаецца знакам

∩

{\displaystyle \cap }

.

  ⊢

∀ x   ( x ∈ A ∩ B   ↔   x ∈ A   ∧   x ∈ B )

{\displaystyle ~\vdash \quad \forall x\ (x\in A\cap B\ \leftrightarrow \ x\in A\ \land \ x\in B)}

Уласцівасці перасячэння мностваў

• камутатыўнасць:

∀ A , B : A ∩ B

B ∩ A

{\displaystyle \forall A,B:A\cap B=B\cap A}

• асацыятыўнасць:

∀ A , B : ( A ∩ B ) ∩ C

A ∩ ( B ∩ C )

{\displaystyle \forall A,B:(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)}

• перасячэннем мноства са сваім падмноствам ёсць гэтае падмноства:

B ⊆ A ⇔ A ∩ B

B

{\displaystyle B\subseteq A\Leftrightarrow A\cap B=B}

У прыватнасці,

• перасячэннем мноства з самім сабой ёсць самое гэтае мноства:

∀ A : A ∩ A

A

{\displaystyle \forall A:A\cap A=A}

• перасячэннем мноства з пустым мноствам ёсць пустое мноства:

∀ A : A ∩ ∅

∅

{\displaystyle \forall A:A\cap \varnothing =\varnothing }

• перасячэннем мноства з універсальным мноствам ёсць самое гэтае мноства:

∀ A : A ∩ U

A

{\displaystyle \forall A:A\cap U=A}

Асацыятыўнасць аперацыі перасячэння мностваў дае магчымасць разглядаць перасячэнне больш чым двух мностваў як адзіную аперацыю:

⋂

i

1

n

A

i

=

A

1

∩

A

2

∩ . . . ∩

A

n

{\displaystyle \bigcap \limits _{i=1}^{n}A_{i}=A_{1}\cap A_{2}\cap …\cap A_{n}}

Тэмы гэтай старонкі (1):
Катэгорыя·Тэорыя мностваў