wd wp Пошук: ⬜

Нуль функцыі

Нуль функцыі (або корань функцыі) у матэматыцы — элемент з вобласці вызначэння функцыі, у якім яна прымае нулявое значэнне.

Напрыклад, для функцыі f, вызначанай формулай

f ( x )

x

2

− 6 x + 9 ,

{\displaystyle f(x)=x^{2}-6x+9,}

x = 3 — нуль, бо

f ( 3 )

3

2

− 6 ( 3 ) + 9

{\displaystyle f(3)=3^{2}-6(3)+9=0.}

Паняцце нулёў функцыі можна разглядаць для любых функцый, вобласць значэнняў якіх утрымлівае нуль ці нулявы элемент адпаведнай алгебраічнай структуры.

Для функцыі рэчаіснай зменнай

f :

R

→

R

{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }

нулямі з’яўляюцца значэнні, у якіх графік функцыі перасякае вось абсцыс.

Пры вылічэнні нулёў функцыі часта выкарыстоўваюцца лікавыя метады (напрыклад, метад Ньютана, градыентныя метады).

Адною з неразвязаных матэматычных праблем з’яўляецца знаходжанне нулёў дзэта-функцыі Рымана.

Корань мнагачлена

Асноўны артыкул: Корань мнагачлена Задача знаходжання нулёў квадратнага трохчлена прывяла да з’яўлення паняцця камплексных лікаў.

Асноўная тэарэма алгебры сцвярджае, што кожны мнагачлен ступені n с камплекснымі каэфіцыентамі мае n камплексных каранёў, улічваючы іх кратнасць. У выпадку мнагачленаў з рэчаіснымі каэфіцыентамі камплексныя карані заўсёды ўваходзяць спалучанымі парамі. Кожны мнагачлен няцотнае ступені з рэчаіснымі каэфіцыентамі мае хоць адзін рэчаісны корань. Сувязь паміж каранямі мнагачлена і яго каэфіцыентамі апісваецца тэарэмаю Віета.

Камплексны аналіз

Просты нуль аналітычнай у некаторай вобласці

G ⊂

C

{\displaystyle G\subset \mathbb {C} }

функцыі

f

{\displaystyle f}

— пункт

z

0

∈ G

{\displaystyle z_{0}\in G}

, у некаторым наваколлі якога справядліва прадстаўленне

f ( z )

( z −

z

0

) g ( z ) ,

{\displaystyle f(z)=(z-z_{0})g(z),}

дзе

g

{\displaystyle g}

аналітычная ў

z

0

{\displaystyle z_{0}}

і мае ненулявое значэнне ў гэтым пункце.

*Нуль парадку

k

{\displaystyle k}

* аналітычнай у некаторай вобласці

G ⊂

C

{\displaystyle G\subset \mathbb {C} }

функцыі

f

{\displaystyle f}

— пункт

z

0

∈ G

{\displaystyle z_{0}\in G}

, у некаторым наваколлі якога справядліва прадстаўленне

f ( z )

( z −

z

0

)

k

g ( z ) ,

{\displaystyle f(z)=(z-z_{0})^{k}g(z),}

дзе

g

{\displaystyle g}

аналітычная ў

z

0

{\displaystyle z_{0}}

і ненулявая ў гэтым пункце.

Нулі аналітычнай функцыі ізаляваныя.

Іншыя адмысловыя ўласцівасці нулёў камплексных функцый апісваюцца ў розных тэарэмах:

• Тэарэма Рушэ,
• Тэарэма Мардэна,
• Тэарэма Гауса — Люка

Літаратура

Нуль функции (руск.) — артыкул з Вялікай савецкай энцыклапедыі

Тэмы гэтай старонкі (1):
Катэгорыя·Функцыі