wd wp Пошук: ⬜

Закон Гука

Зако́н Гу́ка — ураўненне тэорыі пругкасці, якое злучае напружанне і дэфармацыю пругкага асяроддзя. Адкрыты ў 1660 годзе англійскім вучоным Робертам Гукам (Хукам) (англ.: Robert Hooke)[1]. Паколькі закон Гука запісваецца для малых напружанняў і дэфармацый, ён мае выгляд простай прапарцыйнасці.

У славеснай форме закон гучыць наступным чынам:

Сіла пругкасці, якая ўзнікае ў целе пры яго дэфармацыі, прама прапарцыйна велічыні гэтай дэфармацыі.

Для тонкага расцяжнага стрыжня закон Гука мае выгляд:

F

k Δ l .

{\displaystyle !F=k\Delta l.}

$\{\displaystyle \!F=k\Delta l.\}$ Тут

{\displaystyle F}

$\{\displaystyle F\}$ — сіла, якой расцягваюць (сціскаюць) стрыжань,

Δ l

{\displaystyle \Delta l}

$\{\displaystyle \Delta l\}$ — абсалютнае падаўжэнне (сціск) стрыжня, а

{\displaystyle k}

$\{\displaystyle k\}$ — каэфіцыент пругкасці (ці цвёрдасці).

Каэфіцыент пругкасці залежыць як ад уласцівасцей матэрыялу, так і ад памераў стрыжня. Можна вылучыць залежнасць ад памераў стрыжня (плошчы папярочнага сячэння

{\displaystyle S}

$\{\displaystyle S\}$ і даўжыні

{\displaystyle L}

$\{\displaystyle L\}$ ) яўна, запісаўшы каэфіцыент пругкасці як

k

E S

{\displaystyle k={\frac {ES}{L}}.}

$\{\displaystyle k=\{\frac \{ES\}\{L\}\}.\}$ Велічыня

{\displaystyle E}

$\{\displaystyle E\}$ завецца модулем пругкасці першага роду ці модулем Юнга і з’яўляецца механічнай характарыстыкай матэрыялу.

Калі ўвесці адноснае падаўжэнне

ε

Δ l

{\displaystyle \varepsilon ={\frac {\Delta l}{L}}}

$\{\displaystyle \varepsilon =\{\frac \{\Delta l\}\{L\}\}\}$ і звычайнае напружанне ў папярочным сячэнні

σ

F S

{\displaystyle \sigma ={\frac {F}{S}},}

$\{\displaystyle \sigma =\{\frac \{F\}\{S\}\},\}$ то закон Гука ў адносных адзінках запішацца як

σ

E ε .

{\displaystyle \sigma =E\varepsilon \ .}

$\{\displaystyle \sigma =E\varepsilon \ .\}$ У такой форме ён справядлівы для любых малых аб’ёмаў матэрыялу.

Таксама пры разліку прамых стрыжняў ужываюць запіс закона Гука ў адноснай форме

Δ l

F L

E S

{\displaystyle \Delta l={\frac {FL}{ES}}.}

$\{\displaystyle \Delta l=\{\frac \{FL\}\{ES\}\}.\}$ Варта мець на ўвазе, што закон Гука выконваецца толькі пры малых дэфармацыях. Пры перавышэнні мяжы прапарцыйнасці сувязь паміж напружаннямі і дэфармацыямі становіцца нелінейнай. Для шматлікіх асяроддзяў закон Гука непрыдатны нават пры малых дэфармацыях.

Абагульнены закон Гука

У агульным выпадку напружання і дэфармацыі апісваюцца тэнзарамі другога рангу ў трохмернай прасторы (маюць па 9 кампанент). Тэнзар пругкіх пастаянных, які злучае іх, з’яўляецца тэнзарам чацвёртага рангу

i j k l

{\displaystyle C_{ijkl}}

$\{\displaystyle C_\{ijkl\}\}$ і ўтрымлівае 81 каэфіцыент. З прычыны сіметрыі тэнзара

i j k l

{\displaystyle C_{ijkl}}

$\{\displaystyle C_\{ijkl\}\}$ , а таксама тэнзараў напружанняў і дэфармацый, незалежнымі з’яўляюцца толькі 21 пастаянная. Закон Гука выглядае наступным чынам:

i j

∑

k l

i j k l

⋅

k l

{\displaystyle \sigma _{ij}=\sum _{kl}C_{ijkl}\cdot \varepsilon _{kl},}

$\{\displaystyle \sigma _\{ij\}=\sum \{kl\}C\{ijkl\}\cdot \varepsilon _\{kl\},\}$ дзе