wd wp Пошук: ⬜

Градыент

У вектарным злічэнні градые́нт скалярнага поля — вектарнае поле, якое ўказвае напрамак найхутчэйшага нарастання скалярнага поля, а амплітуда гэтага поля ёсць хуткасць нарастання. У дэкартавых каардынатах градыент роўны вектару частковых вытворных функцыі па адпаведных каардынатах.

Напрыклад, калі ўзяць у якасці

φ

{\displaystyle \varphi }

вышыню паверхні зямлі над узроўнем мора, то яе градыент у кожным пункце будзе паказваць «напрамак самага крутога пад’ёму», а сваёю велічынёй характарызаваць крутасць схілу.

З матэматычнага пункту гледжання градыент — гэта вытворная скалярнай функцыі, вызначанай на вектарнай прасторы.

Прастора, на якой вызначана функцыя і яе градыент, можа быць, увогуле кажучы, як звычайнай трохмернай прасторай, так і прасторай любой іншай размернасці і любой фізічнай прыроды, ці чыста абстрактнай.

Тэрмін упершыню з’явіўся ў метэаралогіі, а ў матэматыку быў уведзены Максвелам у 1873 г. Абазначэнне grad таксама прапанаваў Максвел.

Стандартныя абазначэнні:

g r a d

φ

{\displaystyle \mathrm {grad} ,\varphi }

або, з выкарыстаннем аператара набла,

∇ φ

{\displaystyle \nabla \varphi }

— замест

φ

{\displaystyle \varphi }

можа быць любое скалярнае поле, абазначанае любою літарай, напрыклад

g r a d

V , ∇ V

{\displaystyle \mathrm {grad} ,V,\nabla V}

 — абазначэнне градыента поля V.

Азначэнне

У выпадку трохмернай прасторы градыентам скалярнай функцыі

φ

φ ( x , y , z )

{\displaystyle \varphi =\varphi (x,y,z)}

каардынат

x

{\displaystyle x}

,

y

{\displaystyle y}

,

z

{\displaystyle z}

называецца вектарная функцыя з кампанентамі

(

∂ φ

∂ x

,

∂ φ

∂ y

,

∂ φ

∂ z

)

.

{\displaystyle \left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}},{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right).}

Абазначыўшы адзінкавыя вектары (орты) па восях прамавугольных дэкартавых каардынат як

e →

x

,

e →

y

,

e →

z

,

{\displaystyle {\vec {e}}_{x},{\vec {e}}_{y},{\vec {e}}_{z},}

градыент можна запісаць у выглядзе:

g r a d

φ

∇ φ

∂ φ

∂ x

e →

x

∂ φ

∂ y

e →

y

∂ φ

∂ z

e →

z

.

{\displaystyle \mathrm {grad} ,\varphi =\nabla \varphi ={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}{\vec {e}}_{x}+{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}{\vec {e}}_{y}+{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}{\vec {e}}_{z}.}

Калі

φ

{\displaystyle \varphi }

 — функцыя

n

{\displaystyle n}

зменных

x

1

, … ,

x

n

,

{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},}

то яе градыентам называецца

n

{\displaystyle n}

-мерны вектар

(

∂ φ

∂

x

1

, … ,

∂ φ

∂

x

n

)

,

{\displaystyle \left({\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n}}}\right),}

кампаненты якога роўныя частковым вытворным

φ

{\displaystyle \varphi }

па яе адпаведных аргументах.

• Размернасць вектара градыента поля вызначаецца, такім чынам, размернасцю прасторы (ці мнагастайнасці), на якой зададзена гэта скалярнае поле.
• Аператарам градыента (які звычайна абазначаюць як

g r a d

{\displaystyle \mathrm {grad} }

або

∇

{\displaystyle \nabla }

) называецца аператар, дзеянне якога на скалярную функцыю (поле) дае яе градыент. Гэты аператар іншы раз называюць проста «градыентам».

Сэнс градыента любой скалярнай функцыі

f

{\displaystyle f}

у тым, што яго скалярны здабытак з бесканечна малым вектарам перамяшчэння

d

x

{\displaystyle d\mathbf {x} }

дае поўны дыферэнцыял гэтай функцыі пры адпаведным змяненні каардынат у прасторы, на якой вызначана

f

{\displaystyle f}

, г. зн. лінейную (у выпадку агульнага становішча яна ж галоўная) частку змянення

f

{\displaystyle f}

пры перамяшчэнні на

d

x

{\displaystyle d\mathbf {x} }

. Прымяняючы адну і тую ж літару для абазначэння функцыі ад вектара і адпаведнай функцыі ад яго каардынат, можна напісаць:

d f

∂ f

∂

x

1

d

x

1

∂ f

∂

x

2

d

x

2

∂ f

∂

x

3

d

x

3

…

∑

i

∂ f

∂

x

i

d

x

i

= (

g r a d

f

⋅ d

x

) .

{\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},dx_{1}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}},dx_{2}+{\frac {\partial f}{\partial x_{3}}},dx_{3}+\ldots =\sum _{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}},dx_{i}=(\mathrm {grad} ,\mathbf {f} \cdot d\mathbf {x} ).}

Варта тут заўважыць, што раз формула поўнага дыферэнцыяла не залежыць ад віду каардынат

x

i

{\displaystyle x_{i}}

, г.зн. ад прыроды параметраў x увогуле, то атрыманы дыферэнцыял з’яўляецца скалярным інварыянтам пры любых пераўтварэннях каардынат, а раз

d

x

{\displaystyle d\mathbf {x} }

 — гэта вектар, то градыент, вылічаны звычайным спосабам, аказваецца каварыянтным вектарам, г.зн. вектарам, прадстаўленым у дуальным базісе, які толькі і можа даць скаляр пры простым складанні здабыткаў каардынат звычайнага (контраварыянтнага), г.зн. вектарам, запісаным у звычайным базісе. Такім чынам, выраз (увогуле кажучы — для адвольных крывалінейных каардынат) можа быць цалкам правільна і інварыянтна запісаны як:

d f

∑

i

(

∂

i

f )

d

x

i

{\displaystyle df=\sum _{i}(\partial _{i}f),dx^{i}}

ці, апускаючы згодна з правілам Эйнштэйна знак сумы,

d f

(

∂

i

f )

d

x

i

{\displaystyle df=(\partial _{i}f),dx^{i}}

(у ортанарміраваным базісе мы можам пісаць усе індэксы ніжнімі, як мы і рабілі вышэй). Аднак градыент аказваецца сапраўдным каварыянтным вектарам у любых крывалінейных каардынатах.

Прыклад

Напрыклад, градыент функцыі

φ ( x , y , z )

2 x + 3

y

2

− sin ⁡ z

{\displaystyle \varphi (x,y,z)=2x+3y^{2}-\sin z}

будзе роўны:

∇ φ

(

∂ φ

∂ x

,

∂ φ

∂ y

,

∂ φ

∂ z

)

= ( 2 , 6 y , − cos ⁡ z )

{\displaystyle \nabla \varphi =\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}},{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)=(2,6y,-\cos z)}

У фізіцы

У розных галінах фізікі выкарыстоўваецца паняцце градыента розных фізічных палёў.

Напрыклад, напружанасць электрастатычнага поля ёсць мінус градыент электрычнага патэнцыялу, напружанасць гравітацыйнага поля (паскарэнне свабоднага падзення) у класічнай тэорыі гравітацыі ёсць мінус градыент гравітацыйнага патэнцыялу. Кансерватыўная сіла ў класічнай механіцы ёсць мінус градыент патэнцыяльнае энергіі.

У прыродазнаўчых навуках

Паняцце градыента прымяняецца не толькі ў фізіцы, але і ў сумежных і нават параўнальна далёкіх ад фізікі навуках (іншы раз гэта прымяненне мае колькасны, а часам і проста якасны характар).

Напрыклад, градыент канцэнтрацыі — нарастанне ці спаданне па якім-небудзь напрамку канцэнтрацыі растворанага рэчыва, градыент тэмпературы — павелічэнне ці памяншэнне па якім-небудзь напрамку тэмпературы асяроддзя і пад.

Градыент такіх велічынь можа быць выкліканы рознымі прычынамі, напрыклад, механічнаю перашкодаю, дзеяннем электрамагнітных, гравітацыйных ці іншых палёў або адрозненнямі ў растваральнай здольнасці пагранічных фаз.

Геаметрычны сэнс

Разгледзім сямейства ліній узроўню функцыі

φ

{\displaystyle \varphi }

:

γ ( h )

{ (

x

1

, … ,

x

n

) : φ (

x

1

, … ,

x

n

)

h } .

{\displaystyle \gamma (h)=\{(x_{1},\ldots ,x_{n}):\varphi (x_{1},\ldots ,x_{n})=h\}.}

Няцяжка паказаць, што градыент функцыі

φ

{\displaystyle \varphi }

у кропцы

x →

0

{\displaystyle {\vec {x}}^{0}}

перпендыкулярны яе лініі ўзроўню, якая праходзіць праз гэту кропку. Модуль градыента паказвае найбольшую скорасць змянення функцыі ў наваколлі

x →

0

{\displaystyle {\vec {x}}^{0}}

, г.зн. частату ліній узроўню. Напрыклад, лініі ўзроўню вышыні рысуюцца на тапаграфічных картах, пры гэтым модуль градыента паказвае крутасць спуску ці пад’ёму ў дадзенай кропцы.

Сувязь з вытворнаю па напрамку

Прымяняючы правіла дыферэнцавання складанай функцыі, няцяжка паказаць, што вытворная функцыі

φ

{\displaystyle \varphi }

па напрамку

e →

= (

e

1

, … ,

e

n

)

{\displaystyle {\vec {e}}=(e_{1},\ldots ,e_{n})}

раўняецца скалярнаму здабытку градыента

φ

{\displaystyle \varphi }

на адзінкавы вектар

e →

{\displaystyle {\vec {e}}}

:

∂ φ

∂

e →

=

∂ φ

∂

x

1

e

1

… +

∂ φ

∂

x

n

e

n

= ( ∇ φ ,

e →

)

{\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial {\vec {e}}}}={\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}}e_{1}+\ldots +{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n}}}e_{n}=(\nabla \varphi ,{\vec {e}})}

Такім чынам, для вылічэння вытворнай па любым напрамку дастаткова знаць градыент функцыі, то бок вектар, кампаненты якога з’яўляюцца яе частковымі вытворнымі.

Градыент у артаганальных крывалінейных каардынатах

grad ⁡ U (

q

1

,

q

2

,

q

3

)

1

H

1

∂ U

∂

q

1

e →

1

1

H

2

∂ U

∂

q

2

e →

2

1

H

3

∂ U

∂

q

3

e →

3

,

{\displaystyle \operatorname {grad} U(q_{1},q_{2},q_{3})={\frac {1}{H_{1}}}{\frac {\partial U}{\partial q_{1}}}{\vec {e}}_{1}+{\frac {1}{H_{2}}}{\frac {\partial U}{\partial q_{2}}}{\vec {e}}_{2}+{\frac {1}{H_{3}}}{\frac {\partial U}{\partial q_{3}}}{\vec {e}}_{3},}

дзе

H

i

{\displaystyle H_{i}}

 — каэфіцыенты Ламе.

Палярныя каардынаты (на плоскасці)

Каэфіцыенты Ламе:

H

1

= 1 ;

H

2

= r .

{\displaystyle {\begin{array}{l}H_{1}=1;\H_{2}=r.\end{array}}}

Адсюль:

grad ⁡ U ( r , θ )

∂ U

∂ r

e

r

→

1 r

∂ U

∂ θ

e

θ

→

.

{\displaystyle \operatorname {grad} U(r,\theta )={\frac {\partial U}{\partial r}}{\vec {e_{r}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U}{\partial \theta }}{\vec {e_{\theta }}}.}

Цыліндрычныя каардынаты

Каэфіцыенты Ламе:

H

1

= 1 ;

H

2

= r ;

H

3

= 1.

{\displaystyle {\begin{array}{l}H_{1}=1;\H_{2}=r;\H_{3}=1.\end{array}}}

Адсюль:

grad ⁡ U ( r , θ , z )

∂ U

∂ r

e

r

→

1 r

∂ U

∂ θ

e

θ

→

∂ U

∂ z

e

z

→

.

{\displaystyle \operatorname {grad} U(r,\theta ,z)={\frac {\partial U}{\partial r}}{\vec {e_{r}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U}{\partial \theta }}{\vec {e_{\theta }}}+{\frac {\partial U}{\partial z}}{\vec {e_{z}}}.}

Сферычныя каардынаты

Каэфіцыенты Ламе:

H

1

= 1 ;

H

2

= r ;

H

3

= r sin ⁡

θ

.

{\displaystyle {\begin{array}{l}H_{1}=1;\H_{2}=r;\H_{3}=r\sin {\theta }.\end{array}}}

Адсюль:

grad ⁡ U ( r , θ , φ )

∂ U

∂ r

e

r

→

1 r

∂ U

∂ θ

e

θ

→

1

r sin ⁡

θ

∂ U

∂ φ

e

φ

→

.

{\displaystyle \operatorname {grad} U(r,\theta ,\varphi )={\frac {\partial U}{\partial r}}{\vec {e_{r}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U}{\partial \theta }}{\vec {e_{\theta }}}+{\frac {1}{r\sin {\theta }}}{\frac {\partial U}{\partial \varphi }}{\vec {e_{\varphi }}}.}

Гл. таксама

• Вектарны аналіз
• Тэарэма Гаўса
• Формулы вектарнага аналізу
• Аператар набла
• Класічная тэорыя поля
• Градыент канцэнтрацыі
• 4-градыент
• Аператар Кэнні

Літаратура

• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Учебное пособие для физико-математических специальностей университетов, 1986. стр.30

Тэмы гэтай старонкі (4):
Катэгорыя·Вектары
Катэгорыя·Вектарны аналіз
Катэгорыя·Матэматычная фізіка
Катэгорыя·Дыферэнцыяльнае злічэнне