Гаусавы цэлыя лікі (гаусавы лікі, цэлыя камплексныя лікі) — гэта камплексныя лікі, у якіх і рэчаісная, і ўяўная частка — цэлыя лікі[1]. Упершыню ўведзены Гаусам у манаграфіі «Тэорыя біквадратычных вылікаў»[2] (1828—1832)[3]. Мноства гаусавых цэлых лікаў прынята абазначаць
Z
[ i ] ,
{\displaystyle \mathbb {Z} [i],}
іх уласцівасці падобныя на ўласцівасці мноства звычайных цэлых лікаў
Z
,
{\displaystyle \mathbb {Z} ,}
але ёсць і істотныя адрозненні.
Фармальнае азначэнне:
Z
{ a + b i : a , b ∈
Z
} .
{\displaystyle \mathbb {Z} [i]=\{a+bi:a,b\in \mathbb {Z} \}.}
Мноства
Z
[ i ]
{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}
утрымлівае мноства звычайных цэлых лікаў
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
і з’яўляецца яго пашырэннем[4]. Сума, рознасць і здабытак гаусавых лікаў з’яўляюцца гаусавымі лікамі; такая алгебраічная структура называецца колцам[5]. Увесці ў гэтым камплексным колцы ўпарадкаванасць немагчыма. Адзначым таксама, што спалучаны да гаусавага ліку
a + b i
{\displaystyle a+bi}
ёсть таксама гаусаў лік
a − b i .
{\displaystyle a-bi.}
Кожны лік
a + b i
{\displaystyle z=a+bi}
задавальняе квадратнае ўраўненне:
( z − a
)
2
b
2
= 0.
{\displaystyle (z-a)^{2}+b^{2}=0.}
Таму гаусаў лік ёсць цэлы алгебраічны лік.
Норма для гаусавага ліку
a + b i
{\displaystyle a+bi}
вызначаецца як квадрат яго модуля[6]:
N
(
a + b i
)
=
a
2
b
2
= ( a + b i )
( a + b i )
¯
.
{\displaystyle N\left(a+bi\right)=a^{2}+b^{2}=(a+bi){\overline {(a+bi)}}.}
Уласцівасці нормы[7]:
Норма, як і модуль, мае ўласцівасць мультыплікатыўнасці[7]:
N ( u ) ⋅ N ( v ) .
{\displaystyle N(u\cdot v)=N(u)\cdot N(v).}
Адсюль вынікае[8], што абарачальнымі элементамі колца (дзельнікамі адзінкі) з’яўляюцца тыя элементы, чыя норма роўная 1, г. зн.
{ 1 ; − 1 ; i ; − i } .
{\displaystyle \{1;-1;i;-i\}.}
Два гаусавыя лікі называюцца асацыіраванымі, калі адзін атрымліваецца з другога дамнажэннем на дзельнік адзінкі. Лёгка бачыць, што асацыіраванасць — дачыненне эквівалентнасці[8]. Прыклад: гаусавы лікі 1 + i і 1 − i асацыіраваныя, бо:
i ( 1 − i ) .
{\displaystyle 1+i=i(1-i).}
У кожнага ненулявога гаусавага ліку ёсць тры асацыіраваныя з ім. Нормы ўсіх чатырох асацыіраваных паміж сабою лікаў супадаюць.
Дзяленне цалкам гаусавых лікаў вызначаецца звычайным чынам[7]:
Кажуць, што гаусаў лік Абазначэнне: |
Чытанне: адзін з трох раўназначных варыянтаў,
{\displaystyle u}
дзеліцца на
v ;
{\displaystyle v;}
{\displaystyle v}
дзеліць
u ;
{\displaystyle u;}
{\displaystyle v}
— дзельнік
u .
{\displaystyle u.}
Ужываюцца традыцыйныя тэрміны: дзеліва ці кратнае (
u
{\displaystyle u}
), дзельнік (
v
{\displaystyle v}
) і дзель (
q
{\displaystyle q}
). Колькасць дзельнікаў гаусавага ліку заўсёды канечная, колькасць кратных бесканечная.
Прыклад: лік 2 дзеліцца цалкам на 1 + i, таму што
( 1 + i ) ( 1 − i )
{\displaystyle ~2=(1+i)(1-i)}
.
Усе гаусавы лікі дзеляцца на дзельнікі адзінкі, таму любы гаусаў лік, які не дзеліць адзінку, мае сама менш 8 дзельнікаў: 4 дзельнікі адзінкі і 4 іх здабыткі на сам лік. Гэтыя дзельнікі называюцца трывіяльнымі[9].
Дзяленне цалкам у
Z
[ i ]
{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}
па сваіх уласцівасцях падобнае на дзяленне цалкам цэлых лікаў. Некаторыя асаблівасці дзялімасці гаусавых лікаў[8][7]:
z
{\displaystyle z}
дзеліцца цалкам на звычайны цэлы лік, то на гэты цэлы лік дзеляцца як рэчаісная, так і ўяўная частка
z .
{\displaystyle z.}
u
|
v
{\displaystyle u|v}
і
v
|
u
{\displaystyle v|u}
, то гэтыя лікі асацыіраваныя.
u
|
v
{\displaystyle u|v}
, то любы з 3 лікаў, асацыіраваных з
v ,
{\displaystyle v,}
дзеліцца на любы з 3 лікаў, асацыіраваных з
u
{\displaystyle u}
.
u
{\displaystyle u}
дзеліцца на
v
v q )
{\displaystyle v;(u=vq)}
, то спалучаны да дзялімага ліку
u ¯
{\displaystyle {\overline {u}}}
дзеліцца на спалучаны да дзельніка
v ¯
(
u ¯
=
v ¯
q ¯
) .
{\displaystyle {\overline {v}};({\overline {u}}={\overline {v}}{\overline {q}}).}
z
{\displaystyle z}
з’яўляюцца таксама дзельнікамі яго нормы
z ⋅
z ¯
.
{\displaystyle N(z)=z\cdot {\overline {z}}.}
1 + i .
{\displaystyle ~1+i.}
v
|
u
{\displaystyle v|u}
, то і норма дзеліва, па мультыплікатыўнасці, дзеліцца цалкам на норму дзельніка. Пры гэтым:
N
(
u v
)
=
N ( u )
N ( v )
.
{\displaystyle N\left({\frac {u}{v}}\right)={\frac {N(u)}{N(v)}}.}
У кожнага гаусавага ліку
z
{\displaystyle z}
ёсць 4 кратныя з тою ж нормаю (і, адпаведна, тым жа модулем) — гэта сам
z
{\displaystyle z}
і асацыіраваныя з ім 3 лікі, атрыманыя паслядоўным дамнажэннем
z
{\displaystyle z}
на
i
{\displaystyle i}
:
z , i z , − z , − i z .
{\displaystyle z,\ iz,\ -z,\ -iz.}
Але дамнажэнне на
i
{\displaystyle i}
геаметрычна на камплекснай плоскасці адпавядае павароту радыус-вектара ліку на 90° супраць гадзіннікавай стрэлкі, прычым модуль здабытку будзе той жа. Такім чынам, усе 4 лікі ўтвараюць роўнастаронні крыж (выдзелены чырвоным на рысунку), цэнтр і вяршыні якога кратныя
z
{\displaystyle z}
. Паслядоўна ссоўваючы гэты крыж ва ўсе бакі на адну з 4 велічынь, асацыіраваных з
z
{\displaystyle z}
, атрымліваем на ўсёй плоскасці квадратную рашотку, усе вузлы якой (вяршыні квадратаў) кратныя
z .
{\displaystyle z.}
Напрыклад, на рысунку
− 2 i ( 1 + 2 i ) .
{\displaystyle ~4-2i=-2i(1+2i).}
Наадварот, любое кратнае
z
{\displaystyle z}
супадае з адным з вузлоў рашоткі.
Просты гаусаў лік — гэта ненулявы лік, які не мае іншых дзельнікаў, акрамя трывіяльных. Лік, які не з’яўляецца простым, называецца састаўным. Пры гэтым дзельнікі адзінкі, як і натуральная адзінка, не лічацца ні простымі, ні састаўнымі лікамі[10].
Некаторыя ўласцівасці простых гаусавых лікаў:
a + b i
{\displaystyle a+bi}
— просты гаусаў лік, то і спалучаны з ім гаусаў лік
a − b i
{\displaystyle a-bi}
таксама просты.
1 + i
{\displaystyle 1+i}
, заўсёды няцотная і таму мае від
4 n + 1.
{\displaystyle 4n+1.}
Натуральны просты лік можа не быць гаусавым простым лікам. Напрыклад, лікі 2 і 5 у
Z
[ i ]
{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}
ужо не простыя:
( 1 + i ) ( 1 − i ) ;
( 2 + i ) ( 2 − i ) .
{\displaystyle 2=(1+i)(1-i);\quad 5=(2+i)(2-i).}
Калі гаусаў лік
w
{\displaystyle w}
з’яўляецца дзельнікам для двух гаусавых лікаў
u
{\displaystyle u}
і
v
{\displaystyle v}
, ён называецца іх агульным дзельнікам. Мноства агульных дзельнікаў двух лікаў заўсёды ўтрымлівае 4 дзельнікі адзінкі; калі іншых агульных дзельнікаў няма, гэтыя лікі называюцца ўзаемна простымі[11].
Адзначым, што калі нормы гаусавых лікаў
u , v
{\displaystyle ~u,v}
узаемна простыя як цэлыя лікі, то і самі лікі
u , v
{\displaystyle ~u,v}
узаемна простыя як гаусавы лікі. Адваротнае несправядліва: нормы ўзаемна простых гаусавых лікаў могуць мець агульныя дзельнікі — напрыклад,
5 + 2 i
{\displaystyle 5+2i}
і
5 − 2 i
{\displaystyle 5-2i}
узаемна простыя, але іх нормы супадаюць і таму не ўзаемна простыя.
Прывядзём дзве ўласцівасці, падобныя на ўласцівасці цэлых лікаў.
u , v
{\displaystyle u,v}
узаемна просты з гаусавым лікам
w ,
{\displaystyle w,}
то і іх здабытак
u v
{\displaystyle uv}
узаемна просты[11] з
w .
{\displaystyle w.}
z
|
u v
{\displaystyle z|uv}
і пры гэтым
z
{\displaystyle z}
узаемна просты з
u
{\displaystyle u}
, то[12]
z
|
v .
{\displaystyle z|v.}
Гаус указаў вызначальныя прыкметы простага ліку ў
Z
[ i ]
{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}
[13].
Гаусаў лік
|
Прывядзём прыклады простых гаусавых лікаў.
± 3 ; ± 7 ; ± 3 i .
{\displaystyle \pm 3;\ \pm 7;\ \pm 3i.}
1 ± i ; 1 ± 2 i ; 1 ± 4 i ; 4 + 5 i ; 2 − 3 i ; 15 + 22 i .
{\displaystyle 1\pm i;\ 1\pm 2i;\ 1\pm 4i;\ 4+5i;\ 2-3i;\ 15+22i.}
Некаторыя крыніцы дзеля большае яснасці раздзяляюць другую частку крытэрыя на дзве[14]:
1 + i .
{\displaystyle 1+i.}
Іх норма роўная 2.
2. Лікі, чыя норма ёсць просты натуральны лік віду
4 n + 1.
{\displaystyle 4n+1.}
Сам Гаус такога раздзялення не рабіў[15].
Вынікі.
4 n + 1
{\displaystyle 4n+1}
не можа быць простым гаусавым лікам. Простыя натуральныя лікі віду
4 n + 3
{\displaystyle 4n+3}
з’яўляюцца і простымі гаусавымі лікамі.
4 n + 1
{\displaystyle 4n+1}
можна прадставіць як здабытак спалучаных простых гаусавых лікаў
( a + b i ) ( a − b i )
{\displaystyle (a+bi)(a-bi)}
ці, што тое самае, як суму квадратаў
a
2
b
2
{\displaystyle a^{2}+b^{2}}
. Гэты факт вядомы як Тэарэма Ферма — Эйлера. Іменна пры даследаванні гэтай тэмы, а таксама тэорыі біквадратычных рэшт, Гаус з поспехам прымяніў цэлыя камплексныя лікі. Наадварот, калі просты лік можна прадставіць як суму натуральных квадратаў, то ў
Z
[ i ]
{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}
ён састаўны і раскладваецца на два спалучаныя гаусавыя простыя[17].
У
Z
[ i ]
{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}
спраўджваецца аналаг асноўнай тэарэмы арыфметыкі: кожны гаусаў лік, не роўны нулю ці дзельніку адзінкі, раскладаецца на простыя множнікі, прычым гэта раскладанне адназначнае з дакладнасцю да парадку і асацыіраванасці множнікаў[1][18].
Прыклад:
( 2 − i ) ( 2 + i ) .
{\displaystyle 5=(1+2i)(1-2i)=(2-i)(2+i).}
Множнікі гэтых двух, з выгляду розных, раскладанняў папарна асацыіраваныя:
( − i ) ( 2 + i ) ,
{\displaystyle 1+2i=i(2-i);\ 1-2i=(-i)(2+i),}
так што адназначнасць не парушаецца.
Каб практычна раскласці гаусаў лік
z
{\displaystyle z}
на простыя множнікі, можно выкарыстаць прыведзеную вышэй уласцівасць: усе дзельнікі гаусавага ліку з’яўляюцца таксама дзельнікамі яго нормы. Пры гэтым норма ўтрымлівае таксама «лішнія» простыя множнікі, якія адпавядаюць спалучанаму з
z
{\displaystyle z}
ліку.
Такім чынам, пачаць трэба з раскладвання нормы ліку
z
{\displaystyle z}
на простыя натуральныя множнікі[19].
( 1 + i ) ( 1 − i )
{\displaystyle (1+i)(1-i)}
. Трэба ўключыць у выніковае раскладанне тыя з гэтых множнікаў (у адпаведнай ступені), на якія
z
{\displaystyle z}
дзеліцца цалкам.
2. Акрамя 2, астатнія множнікі нормы — няцотныя. Множнік віду
4 n + 3
{\displaystyle 4n+3}
з’яўляецца простым гаусавым лікам, таму ён дзеліць не толькі норму
z
z ¯
{\displaystyle N(z)=~z{\overline {z}}}
, але і сам
z .
{\displaystyle z.}
Але тады гэты множнік дзеліць і спалучаны лік
z ¯
{\displaystyle {\overline {z}}}
. Адсюль выцякае, што множнік віду
4 n + 3
{\displaystyle 4n+3}
уваходзіць у раскладанне нормы заўсёды ў цотнай ступені, а ў раскладанне самога
z
{\displaystyle z}
— у ступені, удвая меншай.
3. Множнік віду
4 n + 1
{\displaystyle 4n+1}
можна раскласці на здабытак спалучаных простых гаусавых лікаў (ці, што тое самае, на суму квадратаў натуральных лікаў). І тут трэба дзяленнем высветліць, які з сумножнікаў адносіцца да зыходнага ліку, а які — да спалучанага.
Прыклад. Раскладзём на простыя множнікі
9 + 12 i .
{\displaystyle 9+12i.}
Норма гэтага ліку роўная 225, раскладзём яе на простыя натуральныя множнікі:
3
2
⋅
5
2
.
{\displaystyle ~225=3^{2}\cdot 5^{2}.}
Згодна з вышэйсказаным,
( 2 − i ) ( 2 + i ) .
{\displaystyle ~5=(2-i)(2+i).}
Праверкаю пераконваемся, што
9 + 12 i
{\displaystyle 9+12i}
дзеліцца толькі на
2 + i
{\displaystyle ~2+i}
і не дзеліцца на
2 − i .
{\displaystyle ~2-i.}
Дзель
9 + 12 i
{\displaystyle 9+12i}
на
3 ( 2 + i )
{\displaystyle ~3(2+i)}
роўная
2 + i ,
{\displaystyle ~2+i,}
таму канчаткова атрымліваем:
3 ⋅ ( 2 + i
)
2
.
{\displaystyle 9+12i=3\cdot (2+i)^{2}.}
Паняцце параўнання па модулю вызначаецца ў
Z
[ i ]
{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}
аналагічна таму, як гэта робіцца для цэлых лікаў[20]:
Няхай Гэта запісваецца так: |
Уласцівасці параўнанняў у
Z
[ i ]
{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}
у асноўным такія ж, як у цэлых лікаў. Дачыненне параўнальнасці ёсць дачыненне эквівалентнасці, таму
Z
[ i ]
{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}
разбіваецца на неперасечныя класы вылікаў — кожны такі клас утрымлівае ўсе параўнальныя адзін з адным (па вызначанаму модулю) гаусавы лікі. Для класаў, як і ў выпадку цэлых лікаў, можна вызначыць складанне і множанне, так што атрымліваецца колца вылікаў па гаусаваму модулю.
Прыклад. Возьмем у якасці модуля параўнання
1 + i
{\displaystyle 1+i}
. Тады
Z
[ i ]
{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}
разбіваецца на два класы вылікаў: лікі
a + b i
{\displaystyle a+bi}
, у якіх
a , b
{\displaystyle a,b}
аднолькавай цотнасці, трапяць у адзін клас (які ўтрымлівае кратныя для модуля), а лікі з рознай цотнасцю
a , b
{\displaystyle a,b}
— у другі.
У гаусавага параўнання ёсць некаторыя асаблівасці. Напрыклад, калі для цэлых лікаў па модулю 3 існуе 3 класы вылікаў з прадстаўнікамі
0 ; 1 ; 2 ,
{\displaystyle 0;\ 1;\ 2,}
то для гаусавых лікаў па таму ж модулю колькасць класаў значна большая. Іх прадстаўнікі:
0 ; 1 ; 2 ; i ; 1 + i ; 2 + i ; 2 i ; 1 + 2 i ; 2 + 2 i .
{\displaystyle 0;\ 1;\ 2;\ i;\ 1+i;\ 2+i;\ 2i;\ 1+2i;\ 2+2i.}
Як устанавіў Гаус, колца вылікаў па модулю
a + b i
{\displaystyle a+bi}
утрымлівае
a
2
b
2
{\displaystyle ~N(a+bi)=a^{2}+b^{2}}
элементаў[20]. З гэтае прычыны прыходзіцца змяняць фармулёўкі некаторых класічных тэарэм, каб яны заставаліся справядлівымі і для гаусавых лікаў. Напрыклад, малая тэарэма Ферма для цэлых лікаў сцвярджае, што
(
a
p
− a )
{\displaystyle (a^{p}-a)}
дзеліцца на
p
{\displaystyle p}
для любога простага
p
{\displaystyle p}
і натуральнага
a
{\displaystyle a}
. Для гаусавых лікаў гэта несправядліва, нават калі абмежавацца натуральнымі значэннямі
p
{\displaystyle p}
; напрыклад, для цэлых лікаў
a
3
− a
{\displaystyle a^{3}-a}
заўсёды дзеліцца на 3, а для гаусавых
i
3
− 2 i
{\displaystyle i^{3}-i=-2i}
, і гэта значэнне на 3 не дзеліцца. Адпаведнік малой тэарэмы Ферма для гаусавых лікаў фармулюецца наступным чынам[20]:
|
Праверым на тым жа прыкладзе з
i .
{\displaystyle w=3;u=i.}
Атрымаем:
(
i
9
0
{\displaystyle ~(i^{9}-i)=0}
— дзеліцца на 3.
Назавём клас вылікаў па модулю
w ,
{\displaystyle w,}
у якім утрымліваецца лік
u ,
{\displaystyle u,}
абарачальным, калі параўнанне
u x ≡ 1
( mod
w )
{\displaystyle ~ux\equiv 1{\pmod {w}}}
мае рашэнне адносна
x .
{\displaystyle x.}
Клас абарачальны тады і толькі тады, калі гаусавы лікі
u
{\displaystyle u}
і
w
{\displaystyle w}
узаемна простыя[20]. У прыватнасці, калі модуль параўнанняў
w
{\displaystyle w}
— гаусаў просты лік, то кожны ненулявы клас вылікаў мае адваротны элемент, а гэта значыць, што класы вылікаў па простаму модулю ў
Z
[ i ]
{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}
, як і ў
Z
,
{\displaystyle \mathbb {Z} ,}
утвараюць поле.
Увядзём аналаг функцыі Эйлера для гаусавых лікаў. Азначэнне для цэлых лікаў не падыходзіць хаця б таму, што выраз «ад 1 да n», які ўваходзіць у гэта азначэнне, не мае сэнсу для камплексных лікаў. Новае азначэнне[20]:
Функцыя Эйлера |
Вызначаная такім чынам функцыя, як і яе прататып для цэлых лікаў, мультыплікатыўная, таму дастаткова знаць яе значэнні для простых лікаў і іх натуральных ступеней. Калі
z
{\displaystyle z}
— просты гаусаў лік, то[20]:
N ( z ) − 1 ;
φ (
z
k
N ( z
)
k − 1
( N ( z ) − 1 ) .
{\displaystyle \varphi (z)=N(z)-1;\quad \varphi (z^{k})=N(z)^{k-1}(N(z)-1).}
Прыклад:
φ ( ( 2 + i
)
2
{\displaystyle \varphi (3+4i)=\varphi ((2+i)^{2})=N(2+i)(N(2+i)-1)=5\cdot 4=20.}
Цяпер можна абагульніць прыведзеную ў папярэднім раздзеле малую тэарэму Ферма на выпадак адвольнага (не абавязкова простага) модуля параўнання, г. зн. прывесці аналаг тэарэмы Эйлера[20]:
Калі гаусаў лік |
Разгледзім для прыкладу параўнанне па модулю
1 + 2 i .
{\displaystyle w=1+2i.}
Як сказана ў раздзеле аб геаметрычным прадстаўленні дзялімасці, можна разбіць камплексную плоскасць на квадраты так, што вузлы гэтай рашоткі (вяршыні квадратаў) прадстаўляюць усе магчымыя камплексныя кратныя
1 + 2 i .
{\displaystyle ~1+2i.}
Тады, па азначэнню, лікі параўнальныя па модулю
w
{\displaystyle w}
, калі іх рознасць супадае з адным з вузлоў рашоткі кратных.
Кожны квадрат рашоткі атрымліваецца з любога іншага квадрата зрушэннем (пераносам) на велічыню, кратную
w ,
{\displaystyle w,}
таму рознасць любой кропкі квадрата і выніку яе зрушэння таксама кратная
w .
{\displaystyle w.}
Адсюль вынікае канчатковы вывад[20]:
Гаусавы лікі параўнальныя па модулю |
Напрыклад, параўнальныя ўсе цэнтры квадратаў, ці ўсе сярэдзіны іх адпаведных старон і пад.
У колцы
Z
[ i ]
{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}
можна вызначыць дзяленне з астачаю (на любы ненулявы гаусаў лік), увёўшы патрабаванне, каб норма астачы была меншая за норму дзельніка[21]:
Любы гаусаў лік тут дзель |
Нескладана паказаць, што ў якасці дзелі ад дзялення з астачаю можна ўзяць гаусаў лік, найбліжэйшы да дзелі звычайнага дзялення камплексных лікаў[22].
Неабходна адзначыць, што ўмова «норма астачы меншая за норму дзельніка» недастатковая, каб гарантаваць адназначнасць астачы ад дзялення цалкам. У
Z
[ i ] ,
{\displaystyle \mathbb {Z} [i],}
у адрозненне ад
Z
,
{\displaystyle \mathbb {Z} ,}
астача неадназначная. Напрыклад,
7 + 2 i
{\displaystyle ~7+2i}
можна раздзяліць на
3 − i
{\displaystyle ~3-i}
двума спосабамі:
( 3 − i ) ( 1 + i ) + 3.
{\displaystyle 7+2i=(3-i)(2+i)+i=(3-i)(1+i)+3.}
Можна гарантаваць толькі тое, што ўсе астачы пападаюць у адзін клас вылікаў па модулю дзельніка.
Прыклад. Раздзелім з астачаю
11 + 10 i
{\displaystyle 11+10i}
на
4 + i
{\displaystyle 4+i}
. Спачатку знойдзем дзель ад звычайнага камплекснага дзялення:
11 + 10 i
4 + i
=
( 11 + 10 i ) ( 4 − i )
( 4 + i ) ( 4 − i )
=
54 + 29 i
17
≈ 3
,
17 + 1
,
7 i
{\displaystyle {\frac {11+10i}{4+i}}={\frac {(11+10i)(4-i)}{(4+i)(4-i)}}={\frac {54+29i}{17}}\approx 3{,}17+1{,}7i}
Найбліжэйшы да выніку гаусаў лік ровен
3 + 2 i ,
{\displaystyle 3+2i,}
тады астача роўная
1 − i .
{\displaystyle ~11+10i-(4+i)(3+2i)=1-i.}
У выніку атрымліваем:
( 4 + i ) ( 3 + 2 i ) + 1 − i .
{\displaystyle 11+10i=(4+i)(3+2i)+1-i.}
Колца гаусавых лікаў з’яўляецца еўклідавым, і ў ім заўсёды можна вызначыць найбольшы агульны дзельнік, прычым адназначна з дакладнасцю да дзельнікаў адзінкі[23].
Найбольшым агульным дзельнікам НАД |
Эквівалентнае азначэнне: НАД
( u , v )
{\displaystyle (u,v)}
ёсць той агульны дзельнік
u , v
{\displaystyle u,v}
, у якога норма найбольшая[24].
Уласцівасці НАД
Няхай
|
Іншымі словамі, найбольшы агульны дзельнік двух гаусавых лікаў можна заўсёды прадставіць як лінейную камбінацыю гэтых лікаў з гаусавымі каэфіцыентамі.
u , v
{\displaystyle u,v}
узаемна простыя, то ўраўненне
1
{\displaystyle ~xu+yv=1}
адносна
x , y
{\displaystyle x,y}
мае рашэнне ў
Z
[ i ] .
{\displaystyle \mathbb {Z} [i].}
Замест 1 ў прыведзеным ураўненні можа стаяць любы іншы дзельнік адзінкі, тэарэма пры гэтым застанецца вернаю.
Для вызначэння НАД ў
Z
[ i ]
{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}
зручна карыстацца алгарытмам Еўкліда, цалкам аналагічным таму, які прымяняецца для цэлых лікаў. НАД атрымліваецца ў гэтай схеме як апошняя ненулявая астатача[26]. Алгарытм Еўкліда можна таксама выкарыстоўваць для знаходжання каэфіцыентаў
x , y
{\displaystyle x,y}
у суадносінах Безу[20].
Прыклад 1. Знойдзем НАД для
32 + 9 i
{\displaystyle 32+9i}
і
4 + 11 i .
{\displaystyle 4+11i.}
Крок 1:
( 4 + 11 i ) ( 2 − 2 i ) + 2 − 5 i
{\displaystyle 32+9i=(4+11i)(2-2i)+2-5i}
(падзялілі з астачаю першы лік на другі)
Крок 2:
( 2 − 5 i ) ( − 2 + i ) + 3 − i
{\displaystyle 4+11i=(2-5i)(-2+i)+3-i}
(падзялілі з астачаю папярэдні дзельнік на астачу папярэдняга кроку)
Крок 3:
( 3 − i ) ( 1 − i ) − i
{\displaystyle 2-5i=(3-i)(1-i)-i}
(тое ж дзеянне)
Крок 4:
( − i ) ( 1 + 3 i )
{\displaystyle 3-i=(-i)(1+3i)}
(тое ж дзеянне, лік падзяліўся цалкам)
Адзначым, што на кожным кроку норма астачы манатонна памяншаецца. Апошняя ненулявая астача роўная
− i
{\displaystyle -i}
, гэта дзельнік адзінкі, таму робім вывад, што зыходныя лікі ўзаемна простыя.
Прыклад 2. Знойдзем НАД для
11 + 3 i
{\displaystyle 11+3i}
і
1 + 8 i .
{\displaystyle 1+8i.}
Крок 1:
( 1 + 8 i ) ( 1 − i ) + 2 − 4 i
{\displaystyle 11+3i=(1+8i)(1-i)+2-4i}
Крок 2:
( 2 − 4 i ) ( − 1 + i ) + ( − 1 + 2 i )
{\displaystyle 1+8i=(2-4i)(-1+i)+(-1+2i)}
Крок 3:
( − 1 + 2 i ) ( − 2 )
{\displaystyle 2-4i=(-1+2i)(-2)}
(лік падзяліўся цалкам)
Апошняя ненулявая астача роўная
− 1 + 2 i
{\displaystyle -1+2i}
, гэта і ёсць шукаемы НАД. Паслядоўна падстаўляючы замест левых частак роўнасцей правыя (пачынаючы з прадапошняе роўнасці, знізу ўверх), атрымаем суадносіны Безу для НАД:
( 11 + 3 i ) ( 1 − i ) + ( 1 + 8 i ) ( 1 + 2 i ) .
{\displaystyle -1+2i=(11+3i)(1-i)+(1+8i)(1+2i).}
Гаус выкарыстаў адкрытую ім алгебраічную структуру для глыбокага даследавання біквадратычных вылікаў. Можна назваць і іншыя вобласці паспяховага прымянення гаусавых лікаў[27]. Паказальна, што значная іх частка адносіцца да тэорыі не камплексных, а натуральных лікаў.
З крытэрыя Гауса выцякае, што просты натуральны лік віду
4 n + 1
{\displaystyle 4n+1}
можна прадставіць у выглядзе сумы квадратаў натуральных лікаў, прычым толькі адным спосабам. Прыклад:
2
2
5
2
.
{\displaystyle ~29=(2+5i)(2-5i)=2^{2}+5^{2}.}
Раскладанне натуральных лікаў іншага віду не заўсёды магчымае — напрыклад,
15 ; 19 ; 27 ; 103
{\displaystyle 15;19;27;103}
і іншыя лікі віду
4 n + 3
{\displaystyle 4n+3}
нельга прадставіць у выглядзе сумы квадратаў натуральных лікаў. Састаўныя лікі могуць таксама мець больш чым адзін спосаб раскладання, напрыклад[27]:
4
2
7
2
=
1
2
8
2
.
{\displaystyle ~65=4^{2}+7^{2}=1^{2}+8^{2}.}
Агульная тэарэма[17]:
|
Прыклад:
5 ⋅ 7
{\displaystyle 35=5\cdot 7}
нельга прадставіць як суму квадратаў, бо лік
4 ⋅ 1 + 3
{\displaystyle 7=4\cdot 1+3}
мае няцотную ступень. Але
5 ⋅
7
2
{\displaystyle 35\cdot 7=5\cdot 7^{2}}
прадставіць можна:
7
2
14
2
.
{\displaystyle 245=7^{2}+14^{2}.}
Лік прадстаўленняў
ρ ( m )
{\displaystyle \rho (m)}
натуральнага ліку
m
{\displaystyle m}
у выглядзе сумы квадратаў можна вызначыць наступным чынам[28]. Раскладзём
m
{\displaystyle m}
на простыя натуральныя множнікі:
2
λ
p
1
λ
1
p
2
λ
2
…
p
r
λ
r
q
1
μ
1
q
2
μ
2
…
q
s
μ
s
,
{\displaystyle m=2^{\lambda }p_{1}^{\lambda _{1}}p_{2}^{\lambda _{2}}\dots p_{r}^{\lambda _{r}}q_{1}^{\mu _{1}}q_{2}^{\mu _{2}}\dots q_{s}^{\mu _{s}},}
тут
p
i
{\displaystyle p_{i}}
— множнікі віду
4 n + 1 ,
{\displaystyle 4n+1,}
а
q
j
{\displaystyle q_{j}}
— множнікі віду
4 n + 3.
{\displaystyle 4n+3.}
Тады магчымыя 3 выпадкі.
μ
j
{\displaystyle \mu _{j}}
няцотны, лік
m
{\displaystyle m}
нельга прадставіць у выглядзе сумы квадратаў.
2. Няхай усе
μ
j
{\displaystyle \mu _{j}}
цотныя. Канчатковая формула залежыць ад цотнасці
λ
i
.
{\displaystyle \lambda _{i}.}
Калі ўсе яны таксама цотныя, формула выглядае так:
1 2
[ (
λ
1
1 ) (
λ
2
1 ) ⋯ (
λ
r
1 ) + 1 ] .
{\displaystyle \rho (m)={\frac {1}{2}}[(\lambda _{1}+1)(\lambda _{2}+1)\cdots (\lambda _{r}+1)+1].}
1.
2. Калі не ўсе
λ
i
{\displaystyle \lambda _{i}}
цотныя, то формула трохі адрозніваецца:
1 2
(
λ
1
1 ) (
λ
2
1 ) ⋯ (
λ
r
1 ) .
{\displaystyle \rho (m)={\frac {1}{2}}(\lambda _{1}+1)(\lambda _{2}+1)\cdots (\lambda _{r}+1).}
Піфагорава тройка — гэта адно з цэлалікавых рашэнняў ураўнення:
x
2
y
2
=
z
2
.
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}.}
Агульнае рашэнне ўраўнення залежыць ад двух цэлых параметраў
m , n
{\displaystyle m,n}
:
m
2
−
n
2
;
2 m n ;
m
2
n
2
.
{\displaystyle x=m^{2}-n^{2};;y=2mn;;z=m^{2}+n^{2}.}
Для генерацыі піфагоравых троек можна скарыстаць такі прыём. Няхай
a + b i
{\displaystyle a+bi}
— адвольны гаусаў лік, у якога абедзве кампаненты
a , b
{\displaystyle a,b}
ненулявыя. Узводзячы гэты лік у квадрат, атрымаем некаторы гаусаў лік
c + d i .
{\displaystyle ~c+di.}
Тады тройка
{
|
c
|
;
|
d
|
; N ( c + d i ) }
{\displaystyle ~\{|c|;|d|;N(c+di)\}}
будзе піфагоравай[27].
Прыклад: для зыходнага ліку
17 + 12 i
{\displaystyle ~17+12i}
атрымліваем піфагораву тройку:
( 145 ; 408 ; 433 ) .
{\displaystyle ~(145;408;433).}
Рашэнне многіх дыяфантавых ураўненняў удаецца знайсці, калі скарыстаць апарат гаусавых лікаў. Напрыклад, для ўраўнення
x
2
y
2
= 2
z
2
{\displaystyle ~x^{2}+y^{2}=2z^{2}}
нескладаныя пераўтварэнні даюць два тыпы цэлых узаемна простых рашэнняў[29], залежных ад цэлых параметраў
a , b
{\displaystyle a,b}
:
a
2
− 2 a b −
b
2
,
a
2
2 a b −
b
2
;
{\displaystyle x=a^{2}-2ab-b^{2},;y=a^{2}+2ab-b^{2};}
−
a
2
− 2 a b +
b
2
,
a
2
− 2 a b −
b
2
.
{\displaystyle x=-a^{2}-2ab+b^{2},;y=a^{2}-2ab-b^{2}.}
У 1850 годзе Віктор Лебег, выкарыстоўваючы гаусавы лікі, даследаваў ураўненне
x
2
y
n
{\displaystyle ~x^{2}+1=y^{n}}
і даказаў яго невырашальнасць у натуральных ліках. Іншымі словамі, сярод натуральных лікаў віду
n
2
1
{\displaystyle ~n^{2}+1}
няма ні аднаго поўнага куба ці іншае ступені, вышэйшай за другую[27].
Яшчэ адным гістарычна важным еўклідавым колцам, падобным па ўласцівасцях на цэлыя лікі, сталі «цэлыя лікі Эйзенштэйна».
Гаусавы рацыянальныя лікі, якія абазначаюцца
Q
( i ) ,
{\displaystyle \mathbb {Q} (i),}
— гэта камплексныя лікі віду
a + b i
{\displaystyle a+bi}
, дзе
a , b
{\displaystyle a,b}
— рацыянальныя лікі. Гэта мноства замкнута адносна ўсіх 4 арыфметычных аперацый, уключаючы дзяленне, і таму з’яўляецца полем, якое пашырае колца гаусавых лікаў.
У 1820-х гадах Карл Фрыдрых Гаус даследаваў біквадратычны закон узаемнасці, вынікам стала манаграфія «Тэорыя біквадратычных вылікаў» (1828—1832). Іменна ў гэтай працы праявілася карысць цэлых камплексных лікаў для рашэння задач тэорыі лікаў, хоць фармулёўка гэтых задач ніяк не звязана з камплекснымі лікамі. Гаус пісаў, што «натуральную крыніцу агульнай тэорыі трэба шукаць у пашырэнні вобласці арыфметыкі»[3].
У кнізе Гауса было паказана, што новыя лікі па сваіх уласцівасцях шмат у чым напамінаюць звычайныя цэлыя лікі. Аўтар апісаў чатыры дзельнікі адзінкі, вызначыў дачыненне асацыіраванасці, паняцце простага ліку, даў крытэрый прастаты і даказаў аналагі асноўнай тэарэмы арыфметыкі, малой тэарэмы Ферма. Далей Гаус падрабязна разгледзеў рэшты па камплекснаму модулю, індэксы і першаісныя карані. Галоўным дасягненнем пабудаванай тэорыі стаў біквадратычны закон узаемнасці, які Гаус абяцаў даказаць у наступным томе; гэты том так і не быў апублікаваны, але ў Гаусавых рукапісах была знойдзена падрабязная схема строгага доказу[3].
Гаус выкарыстоўваў уведзеныя ім лікі таксама і ў іншых сваіх працах, напрыклад, па алгебраічных ураўненнях[33]. Ідэі Гауса былі развіты ў працах Карла Густава Якаба Якобі і Фердынанда Готхальда Эйзенштэйна. У сярэдзіне XIX стагоддзя Эйзенштэйн, Дзірыхле і Эрміт увялі і даследавалі абагульненае паняцце цэлага алгебраічнага ліку.
Колца гаусавых цэлых лікаў было адным з першых прыкладаў алгебраічнай структуры з непрывычнымі ўласцівасцямі. З часам была адкрыта вялікая колькасць структур такога тыпу, а ў канцы XIX стагоддзя зарадзілася абстрактная алгебра, якая вывучае алгебраічныя ўласцівасці асобна ад аб’ектаў-носьбітаў гэтых уласцівасцей.