wd wp Пошук: ⬜

Мультыплікатыўная функцыя

У тэорыі лікаў, мультыплікатыўная функцыя ― арыфметычная функцыя

f ( m )

{\displaystyle f(m)}

$\{\displaystyle f(m)\}$ , такая што

f (

)

f (

) f (

)

{\displaystyle f(m_{1}m_{2})=f(m_{1})f(m_{2})}

$\{\displaystyle f(m_\{1\}m_\{2\})=f(m_\{1\})f(m_\{2\})\}$ для любых узаемна простых лікаў

{\displaystyle m_{1}}

$\{\displaystyle m_\{1\}\}$ і

{\displaystyle m_{2}}

$\{\displaystyle m_\{2\}\}$ .

Звычайна мяркуецца, што f(m) не роўная тоесна нулю, гэта раўназначна ўмове

f ( 1 )

{\displaystyle f(1)=1.}

$\{\displaystyle f(1)=1.\}$ Мультыплікатыўная функцыя называецца моцна мультыплікатыўнаю, калі

f (

)

f ( p )

{\displaystyle f(p^{\alpha })=f(p)}

$\{\displaystyle f(p^\{\alpha \})=f(p)\}$ для ўсіх простых

{\displaystyle p}

$\{\displaystyle p\}$ і ўсіх натуральных

{\displaystyle \alpha }

$\{\displaystyle \alpha \}$ .

У тэорыі лікаў функцыі

f ( m )

{\displaystyle f(m)}

$\{\displaystyle f(m)\}$ , якія задавальняюць умову мультыплікатыўнасці для ўсіх натуральных

{\displaystyle m_{1},m_{2}}

$\{\displaystyle m_\{1\},m_\{2\}\}$ , называюцца цалкам мультыплікатыўнымі (поўнасцю мультыплікатыўнымі).

Варта адзначыць, што па-за тэорыяй лікаў пад мультыплікатыўнаю функцыяй разумеюць любую функцыю

{\displaystyle f}

$\{\displaystyle f\}$ , вызначаную на некаторым мностве

{\displaystyle X}

$\{\displaystyle X\}$ так, што

f (

)

f (

) f (

)

{\displaystyle f(x_{1}x_{2})=f(x_{1})f(x_{2})}

$\{\displaystyle f(x_\{1\}x_\{2\})=f(x_\{1\})f(x_\{2\})\}$ для любых

∈ X .

{\displaystyle x_{1},x_{2}\in X.}

$\{\displaystyle x_\{1\},x_\{2\}\in X.\}$

Прыклады

[Функцыя

τ ( m )

{\displaystyle \tau (m)}

$\{\displaystyle \tau (m)\}$ ](/Лік_дзельнікаў “Лік дзельнікаў”) ― лік натуральных дзельнікаў натуральнага

{\displaystyle m}

$\{\displaystyle m\}$ .

[Функцыя

σ ( m )

{\displaystyle \sigma (m)}

$\{\displaystyle \sigma (m)\}$ ](/Сума_дзельнікаў “Сума дзельнікаў”) ― сума натуральных дзельнікаў натуральнага

{\displaystyle m}

$\{\displaystyle m\}$ .

Функцыя Эйлера

φ ( m )

{\displaystyle \varphi (m)}

$\{\displaystyle \varphi (m)\}$ .

Функцыя Мёбіуса

μ ( m )

{\displaystyle \mu (m)}

$\{\displaystyle \mu (m)\}$ .

Функцыя

φ ( m )

{\displaystyle {\frac {\varphi (m)}{m}}}

$\{\displaystyle \{\frac \{\varphi (m)\}\{m\}\}\}$ з’яўляецца моцна мультыплікатыўнаю.

Ступенная функцыя

f ( m )

{\displaystyle f(m)=m^{\alpha }}

$\{\displaystyle f(m)=m^\{\alpha \}\}$ з’яўляецца цалкам мультыплікатыўнаю.

Уласцівасці

Калі

f ( m )

{\displaystyle f(m)}

$\{\displaystyle f(m)\}$ — мультыплікатыўная функцыя, то функцыя

g ( m )

∑

f ( d )

{\displaystyle g(m)=\sum _{d|m}f(d)}

$\{\displaystyle g(m)=\sum _\{d|m\}f(d)\}$ таксама будзе мультыплікатыўнаю. Наадварот, калі функцыя

g ( m )

{\displaystyle g(m)}

$\{\displaystyle g(m)\}$ , вызначаная гэтымі суадносінамі, з’яўляецца мультыплікатыўнаю, то і зыходная функцыя

f ( m )

{\displaystyle f(m)}

$\{\displaystyle f(m)\}$ таксама мультыплікатыўная.

Больш таго, калі

f ( m )

{\displaystyle f(m)}

$\{\displaystyle f(m)\}$ і

g ( m )

{\displaystyle g(m)}

$\{\displaystyle g(m)\}$ — мультыплікатыўныя функцыі, то мультыплікатыўнаю будзе і іх згортка Дзірыхле

h ( m )

∑

f ( d ) g

(

m d

)

{\displaystyle h(m)=\sum _{d|m}f(d)g\left({\frac {m}{d}}\right).}

$\{\displaystyle h(m)=\sum _\{d|m\}f(d)g\left(\{\frac \{m\}\{d\}\}\right).\}$ Літаратура

Кубилюс Й. П. Мультипликативная арифметическая функция // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.). — М.: Советская энциклопедия. — Т. 3.
Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — М.: «Мир», 1998. — 703 с. — ISBN 5-03-001793-3.
Paul T. Baterman, Harold G. Diamond. 2.5 Multiplicative functions // Analytic Number Theory. An introductory course. — Singapore: World Scientific Publishing, 2004. — С. 31—38. — ISBN 981-238-938-5.

Гл. таксама

Арыфметычная функцыя

Тэмы гэтай старонкі (1):
Катэгорыя·Арыфметычныя функцыі