wd wp Пошук: ⬜

Апісаная акружнасць

Апісаная акружнасць многавугольніка — акружнасць, якая ўтрымлівае ўсе вяршыні многавугольніка. Яе цэнтр ёсць пункт перасячэння сярэдзінных перпендыкуляраў да старон многавугольніка.

Уласцівасці

• Цэнтр апісанае акружнасці выпуклага n-вугольніка ляжыць у пункце перасячэння сярэдзінных перпендыкуляраў да яго старон. Як вынік: калі вакол n-вугольніка апісана акружнасць, то ўсе сярэдзінныя перпендыкуляры да ягоных старон перасякаюцца ў адным пункце (цэнтры акружнасці).
• Каля любога правільнага многавугольніка (усе вуглы роўныя) можна апісаць акружнасць, і прытым толькі адну.

Для трохвугольніка

• Каля трохвугольніка можна апісаць акружнасць, прытым толькі адну. Яе цэнтрам будзе пункт перасячэння сярэдзінных перпендыкуляраў.

• У востравугольнага трохвугольніка цэнтр апісанае акружнасці ляжыць унутры, у тупавугольнага — па-за межамі трохвугольніка, у прамавугольнага — на сярэдзіне гіпатэнузы.

• Востравугольны

• Тупавугольны

• Прамавугольны

Пазначым літарай О пункт перасячэння сярэдзінных перпендыкуляраў да ягоных старон і правядзём адрэзкі ОА, ОВ і ОС. Калі пункт О роўнааддалены ад вяршынь трохвугольніка АВС, то ОА = OB = ОС. Таму акружнасць з цэнтрам О радыуса ОА праходзіць праз усе тры вяршыні трохвугольнік і ў выніку з’яўляецца апісанай каля трохвугольніка ABC.

Радыус

Формулы радыуса апісанае акружнасці

• R =

a b c

4 S

{\displaystyle R={\frac {abc}{4S}}}

• R =

a

2 sin ⁡ α

=

b

2 sin ⁡ β

=

c

2 sin ⁡ γ

{\displaystyle R={\frac {a}{2\sin \alpha }}={\frac {b}{2\sin \beta }}={\frac {c}{2\sin \gamma }}}

• R =

a b c

( a + b + c ) ( − a + b + c ) ( a − b + c ) ( a + b − c )

=

a b c

4

p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c )

,

{\displaystyle R={\frac {abc}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}}={\frac {abc}{4{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}},}

дзе:

a , b , c

{\displaystyle a,b,c}

— бакі трохвугольніка,

α , β , γ

{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }

— вуглы, процілеглыя да старон

a , b , c

{\displaystyle a,b,c}

адпаведна,

S

{\displaystyle S}

— плошча трохвугольніка.

p

{\displaystyle p}

— паўперыметр трохвугольніка. Гл. таксама

• Упісаная акружнасць
• Прыўпісаная акружнасць

Тэмы гэтай старонкі (1):
Катэгорыя·Планіметрыя