Аксіёмы Пеана — сістэма аксіём, якія вызначаюць рад натуральных лікаў.
Аксіёмы Пеана дазволілі фармалізаваць арыфметыку. Пасля ўвядзення аксіём сталі магчымы доказы асноўных уласцівасцей натуральных і цэлых лікаў, а таксама выкарыстанне цэлых лікаў для пабудовы рацыянальных і рэчаісных лікаў.
Калі якое-небудзь сцверджанне а) даказана для 1 (база індукцыі), б) і калі з дапушчэння, што яно справядліва для натуральнага ліку n, вынікае, што яно праўдзіцца і для наступнага за n натуральнага ліку (індукцыйнае сцверджанне), то гэта сцверджанне справядліва для ўсіх натуральных лікаў.
Увядзем функцыю
S ( x )
{\displaystyle S(x)}
, якая супастаўляе ліку
x
{\displaystyle x}
наступны за ім лік.
N
{\displaystyle 1\in \mathbb {N} }
; 2. x ∈
N
→ S ( x ) ∈
N
{\displaystyle x\in \mathbb {N} \rightarrow S(x)\in \mathbb {N} }
; 3. ∄ x ∈
N
1 )
{\displaystyle \nexists x\in \mathbb {N} ;(S(x)=1)}
c )
{\displaystyle S(b)=a\rightarrow (S(c)=a\rightarrow b=c)}
; 5. P ( 1 ) → ( ∀ n ( P ( n ) → P ( S ( n ) ) ) → ∀ n ∈
N
( P ( n ) ) )
{\displaystyle P(1)\rightarrow (\forall n(P(n)\rightarrow P(S(n)))\rightarrow \forall n\in \mathbb {N} (P(n)))}
.
Тэкст Пеанавых аксіём, як ён прыведзен у арыгінальным выданні Пеана:
Заўвага: тое, што першы элемент тут 0, а не 1, прынцыповага значэння не мае.
Фармальнае азначэнне натуральных лікаў у XIX стагоддзі сфармуляваў італьянскі матэматык Джузэпэ Пеана.
Аксіёмы Пеана засноўваліся на пабудовах Грасмана, хоць іменна Пеана надаў ім сучасны выгляд.