wd wp Пошук: ⬜

Электрамагнітныя ваганні

Электрамагнітнымі ваганнямі называюцца перыядычныя змены напружанасці Е і індукцыі В.

Электрамагнітнымі ваганнямі з’яўляюцца радыёхвалі, мікрахвалі, інфрачырвонае выпраменьванне, бачнае святло, ультрафіялетавае выпраменьванне, рэнтгенаўскія прамяні, гама-прамяні.

Вывад формулы

Электрамагнітныя хвалі як універсальная з’ява былі прадказана класічнымі законамі электрычнасці і магнетызму, вядомымі як ураўненні Максвела. Калі вы ўважліва паглядзіце на ураўненні Максвела ў адсутнасць крыніц (зарадаў або токаў), то выявіце, што акрамя трывіяльнага рашэння, калі напружанасці электрычнага і магнітнага поля роўныя нулю ў кожнай кропцы прасторы і нічога не мяняецца, існуюць нетрывіяльныя рашэнні, якія ўяўляюць сабой змены абедзвюх напружанасцяў ў прасторы і часу. Пачнем з ураўненняў Максвелла для вакууму

∇ ⋅

E

= 0

    ( 1 )

{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =0\qquad \qquad \qquad \ \ (1)}

∇ ×

E

= −

∂

∂ t

B

( 2 )

{\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {B} \qquad \qquad (2)}

∇ ⋅

B

= 0

    ( 3 )

{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0\qquad \qquad \qquad \ \ (3)}

∇ ×

B

=

μ

0

ϵ

0

∂

∂ t

E

      ( 4 )

{\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {E} \qquad \ \ \ (4)}

дзе

∇

{\displaystyle \nabla }

— вектарны дыферэнцыяльны аператар (набла). Адно з рашэнняў,

E

=

B

=

0

{\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {B} =\mathbf {0} }

, — самае простае.

Каб знайсці іншае, больш цікавае рашэнне, мы скарыстаемся вектарнай тоеснасцю, якая справядліва для любога вектара, у выглядзе:

∇ ×

(

∇ ×

A

)

= ∇

(

∇ ⋅

A

)

−

∇

2

A

{\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)=\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)-\nabla ^{2}\mathbf {A} }

Каб паглядзець як мы можам выкарыстоўваць яго, возьмем аперацыю віхуры ад выказвання (2):

∇ ×

(

∇ ×

E

)

= ∇ ×

(

−

∂

B

∂ t

)

      ( 5 )

{\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {E} \right)=\nabla \times \left(-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right)\qquad \qquad \qquad \quad \ \ \ (5),}

Левая частка эквівалентная:

∇ ×

(

∇ ×

E

)

= ∇

(

∇ ⋅

E

)

−

∇

2

E

= −

∇

2

E

  ( 6 )

{\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {E} \right)=\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {E} \right)-\nabla ^{2}\mathbf {E} =-\nabla ^{2}\mathbf {E} \qquad \quad \ (6),}

дзе мы спрашчаем, выкарыстоўваючы вышэй прыведзенае раўнанне (1). Правая частка эквівалентная:

∇ ×

(

−

∂

B

∂ t

)

= −

∂

∂ t

(

∇ ×

B

)

= −

μ

0

ϵ

0

∂

2

∂

t

2

E

( 7 )

{\displaystyle \nabla \times \left(-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times \mathbf {B} \right)=-\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {E} \qquad (7)}

Ураўненні (6) і (7) роўныя, такім чынам гэтыя вынікі ў вектарназначным дыферэнцыяльным ураўненні для электрычнага поля, а менавіта

$\{\displaystyle \nabla ^\{2\}\mathbf \{E\} =\mu _\{0\}\epsilon _\{0\}\{\frac \{\partial ^\{2\}\}\{\partial t^\{2\}\}\}\mathbf \{E\} \}$

Ужываючы аналагічныя зыходныя вынікі ў аналагічным дыферэнцыяльным ураўненні для магнітнага поля:

$\{\displaystyle \nabla ^\{2\}\mathbf \{B\} =\mu _\{0\}\epsilon _\{0\}\{\frac \{\partial ^\{2\}\}\{\partial t^\{2\}\}\}\mathbf \{B\} \}$.

Гэтыя дыферэнцыяльныя ураўненні эквівалентныя хвалеваму ураўнанню:

∇

2

f

1

c

0

2

∂

2

f

∂

t

2

{\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {1}{{c_{0}}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}},}

дзе c0 — хуткасць хвалі у ваккуме; f — апісвае зрух. Ці яшчэ прасцей:

◻

2

f

0

{\displaystyle \Box ^{2}f=0}

где

◻

2

{\displaystyle \Box ^{2}}

— аператар Д’Аламбера:

◻

2

=

∇

2

−

1

c

0

2

∂

2

∂

t

2

=

∂

2

∂

x

2

∂

2

∂

y

2

∂

2

∂

z

2

−

1

c

0

2

∂

2

∂

t

2

 

{\displaystyle \Box ^{2}=\nabla ^{2}-{\frac {1}{{c_{0}}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{{c_{0}}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\ }

Заўважце, што ў выпадку электрычнага і магнітнага палёў хуткасць:

c

0

=

1

μ

0

ϵ

0

{\displaystyle c_{0}={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\epsilon _{0}}}}}

Якая, як высвятляецца, ёсць хуткасць святла ў вакууме. ураўненні Максвела аб’ядналі дыэлектрычную пранікальнасць вакууму ε0, магнітную пранікальнасць вакууму μ0 і непасрэдна хуткасць святла c0. Да гэтага вываду не было вядома, што была такая строгая сувязь паміж святлом, электрычнасцю і магнетызмам.

Але маюцца толькі два ураўненні, а мы пачалі з чатырох, таму маецца яшчэ больш інфармацыі адносна хваляў, схаваных у ураўненнях Максвела. Давайце разгледзім тыповую вектарную хвалю для электрычнага поля.

E

=

E

0

f

(

k

^

⋅

x

−

c

0

t

)

{\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {E} _{0}f\left({\hat {\mathbf {k} }}\cdot \mathbf {x} -c_{0}t\right)}

Тут

E

0

{\displaystyle \mathbf {E} _{0}}

— пастаянная амплітуда ваганняў,

f

{\displaystyle f}

— любая імгненная дыферэнцавальная функцыя,

k

^

{\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}}

— адзінкавы вектар у кірунку распаўсюджвання, а

x

{\displaystyle {\mathbf {x} }}

i- радыус-вектар. Мы заўважаем, што

f

(

k

^

⋅

x

−

c

0

t

)

{\displaystyle f\left({\hat {\mathbf {k} }}\cdot \mathbf {x} -c_{0}t\right)}

— агульнае рашэнне хвалевага ураўнення. Іншымі словамі

∇

2

f

(

k

^

⋅

x

−

c

0

t

)

=

1

c

0

2

∂

2

∂

2

t

f

(

k

^

⋅

x

−

c

0

t

)

{\displaystyle \nabla ^{2}f\left({\hat {\mathbf {k} }}\cdot \mathbf {x} -c_{0}t\right)={\frac {1}{{c_{0}}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial ^{2}t}}f\left({\hat {\mathbf {k} }}\cdot \mathbf {x} -c_{0}t\right)}

, для тыповай хвалі, якая распаўсюджваецца ў

k

^

{\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}}

кірунку.

Гэтая форма будзе задавальняць хвалеваму ураўненні, але ці будзе яна задавальняць усім ураўненням Максвела, і з чым адпаведны магнітнае поле?

∇ ⋅

E

=

k

^

⋅

E

0

f ′

(

k

^

⋅

x

−

c

0

t

)

= 0

{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\hat {\mathbf {k} }}\cdot \mathbf {E} _{0}f’\left({\hat {\mathbf {k} }}\cdot \mathbf {x} -c_{0}t\right)=0}

E

⋅

k

^

= 0

{\displaystyle \mathbf {E} \cdot {\hat {\mathbf {k} }}=0}

Першае ураўненне Максвелла мае на ўвазе, што электрычнае поле артаганальнае (перпендыкулярнае) кірунку распаўсюджванню хвалі.

∇ ×

E

=

k

^

×

E

0

f ′

(

k

^

⋅

x

−

c

0

t

)

= −

∂

∂ t

B

{\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} ={\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {E} _{0}f’\left({\hat {\mathbf {k} }}\cdot \mathbf {x} -c_{0}t\right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {B} }

B

=

1

c

0

k

^

×

E

{\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {1}{c_{0}}}{\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {E} }

Другое ураўненне Максвелла спараджае магнітнае поле. Тыя, што засталіся, ўраўненні будуць задавальняцца выбарам

E

,

B

{\displaystyle \mathbf {E} ,\mathbf {B} }

.

Мала таго, што хвалі электрычнага і магнітнага палёў распаўсюджваюцца з хуткасцю святла, але яны маюць абмежаваную арыентацыю і прапарцыйную велічыню,

E

0

=

c

0

B

0

{\displaystyle E_{0}=c_{0}B_{0}}

, якую можна адразу ж заўважыць з вектара Пойнтынга. Электрычнае поле, магнітнае поле і кірунак распаўсюджвання хвалі, ўсе з’яўляюцца артаганальнымі, і распаўсюд хвалі ў тым жа кірунку як вектар

E

×

B

{\displaystyle \mathbf {E} \times \mathbf {B} }

.

З пункту гледжання электрамагнітнай хвалі, якая перамяшчаецца прамалінейна, электрычнае поле можа вагацца уверх і ўніз, у той час як магнітнае поле можа вагацца направа і налева, але гэтая карціна можа чаргавацца з электрычным полем, рухомым направа і налева, і магнітным полем, якое вагаецца уверх і ўніз. Гэтая адвольнасць ў арыентацыі з перавагай да кірунку распаўсюджвання вядома як палярызацыя.

Гл. таксама

• Ураўненні Максвела
• Вібратар Герца
• Вагальны контур

Тэмы гэтай старонкі (2):
Катэгорыя·Электрамагнетызм
Катэгорыя·Вагальныя з’явы