Цэлымі алгебраічнымі лікамі называюцца камплексныя (і ў прыватнасці рэчаісныя) карані мнагачленаў з цэлымі каэфіцыентамі і са старшым каэфіцыентам, роўным адзінцы.
Адносна складання і множання камплексных лікаў, цэлыя алгебраічныя лікі ўтвараюць колца
Ω
{\displaystyle \Omega }
.
Відавочна,
Ω
{\displaystyle \Omega }
з’яўляецца падколцам поля алгебраічных лікаў і ўтрымлівае ўсе звычайныя цэлыя лікі.
Няхай
u
{\displaystyle u}
— некаторы камплексны лік. Разгледзім колца
Z
[ u ]
{\displaystyle \mathbb {Z} [u]}
, спароджанае добаўленнем
u
{\displaystyle u}
да колца звычайных цэлых лікаў
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
. Яно ўтворана ўсімі магчымымі значэннямі
f ( u )
{\displaystyle f(u)}
, дзе
f ( z )
{\displaystyle f(z)}
— мнагачлен з цэлымі каэфіцыентамі. Тады спраўджваецца наступны крытэрый: лік
u
{\displaystyle u}
з’яўляецца цэлым алгебраічным лікам тады і толькі тады, калі
Z
[ u ]
{\displaystyle \mathbb {Z} [u]}
— канечнапароджаная абелева група.
x
n
− 1
{\displaystyle x^{n}-1}
над полем камплексных лікаў.
Ω
{\displaystyle \Omega }
, з’яўляюцца на справе цэлымі лікамі. Інакш кажучы, ні адзін нескарачальны дроб
m
/
n
{\displaystyle m/n}
з назоўнікам, большым за адзінку, цэлым алгебраічным лікам быць не можа.
u
{\displaystyle u}
існуе натуральны лік
n
{\displaystyle n}
такі, што
n u
{\displaystyle nu}
— цэлы алгебраічны лік.
Тэорыю цэлых алгебраічных лікаў стварылі ў XIX стагоддзі Гаус, Якобі, Дэдэкінд, Кумер і іншыя. Цікавасць да яе, сярод іншага, выклікана тым, што гістарычна гэта структура аказалася першай у матэматыцы, дзе было выяўлена неадназначнае раскладанне на простыя множнікі. Класічныя прыклады пабудаваў Кумер; скажам, у падколцы алгебраічных лікаў віду
a + b
− 5
{\displaystyle a+b{\sqrt {-5}}}
маюць месца 2 раскладанні:
( 1 +
− 5
) ⋅ ( 1 −
− 5
) ,
{\displaystyle 6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})\cdot (1-{\sqrt {-5}}),}
прычым у абодвух выпадках усе множнікі — простыя, г. зн. не раскладаюцца ў гэтым падколцы.
Даследаванне гэтае праблемы прывяло да адкрыцця важных паняццяў ідэала і простага ідэала, у структуры якіх раскладанне на простыя множнікі можна вызначыць адназначна.