wd wp Пошук: ⬜

Цотнасць функцыі

Цотнымі ці няцотнымі называюцца функцыі, чые графікі маюць пэўны тып сіметрыю адносна змянення знака аргумента. Гэта паняцце важнае ў многіх галінах матэматычнага аналізу, такіх як тэорыя ступенных радоў і радоў Фур’е.

• Няцотная функцыя — функцыя, якая мяняе значэнне на процілеглае пры змене знака незалежнай зменнай (сіметрычная адносна цэнтра каардынат).
• Цотная функцыя — функцыя, якая не мяняе свайго значэння пры змене знака незалежнай зменнай (сіметрычная адносна восі ардынат).
• Ні цотная, ні няцотная функцыя (функцыя агульнага віду) — функцыя, якая не мае сіметрыі. Сюды адносяцца функцыі, якія не падыходзяць ні пад адно з папярэдніх двух азначэнняў.

Строгае азначэнне

Азначэнні ўводзяцца для любой сіметрычнай адносна нуля вобласці вызначэння

X ⊂

R

{\displaystyle X\subset \mathbb {R} }

, напрыклад, адрэзка ці прамежка.

• Функцыя

f

{\displaystyle f}

называецца цотнаю, калі справядліва роўнасць

f ( − x )

f ( x ) ,

∀ x ∈ X .

{\displaystyle f(-x)=f(x),\quad \forall x\in X.}

• Функцыя

f : X →

R

{\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }

называецца няцотнаю, калі справядліва роўнасць

f ( − x )

− f ( x ) ,

∀ x ∈ X .

{\displaystyle f(-x)=-f(x),\quad \forall x\in X.}

• Функцыі, якія не належаць ні адной з вышэйназваных катэгорый, называюцца ні цотнымі ні няцотнымі (ці функцыямі агульнага віду).

Уласцівасці

• Графік няцотнае функцыі сіметрычны адносна пачатку каардынат

O

{\displaystyle O}

.

• Графік цотнае функцыі сіметрычны адносна восі ардынат

O y

{\displaystyle Oy}

.

• Адвольную функцыю

f : [ − X , X ] ⊂

R

→

R

{\displaystyle f:[-X,X]\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} }

можна адназначна прадставіць як суму цотнай і няцотнай функцый:

f ( x )

g ( x ) + h ( x ) ,

{\displaystyle f(x)=g(x)+h(x),}

дзе

g ( x )

f ( x ) − f ( − x )

2

,

h ( x )

f ( x ) + f ( − x )

2

.

{\displaystyle g(x)={\frac {f(x)-f(-x)}{2}},;h(x)={\frac {f(x)+f(-x)}{2}}.}

• Функцыя

f ( x )

0

{\displaystyle f(x)=0}

— адзіная функцыі, цотная і няцотная адначасова.

• Сума, рознасць і ўвогуле любая лінейная камбінацыя цотных функцый цотная, а няцотных — няцотная.
• Здабытак дзвюх функцый аднолькавае цотнасці цотны.
• Здабытак дзвюх функцый рознае цотнасці няцотны.
• Кампазіцыя дзвюх няцотных функцый няцотная.
• Кампазіцыя цотнае функцыі з цотнаю ці няцотнаю функцыяй цотная.
• Кампазіцыя любое функцыі з цотнаю цотная (але не наадварот!).
• Вытворная цотнае функцыі няцотная, а няцотнай — цотная.
• Інтэграл ад цотнае функцыі па сіметрычным адносна нуля прамежку роўны падвоенаму інтэгралу па палавіне прамежка:

∫

− a

a

f ( x )

d x

2

∫

0

a

f ( x )

d x

2

∫

− a

0

f ( x )

d x .

{\displaystyle \int \limits _{-a}^{a}f(x),dx=2\int \limits _{0}^{a}f(x),dx=2\int \limits _{-a}^{0}f(x),dx.}

• Інтэграл ад няцотнае функцыі па сіметрычным адносна нуля прамежку роўны нулю:

∫

− a

a

f ( x )

d x

{\displaystyle \int \limits _{-a}^{a}f(x),dx=0.}

Прыклады

Няцотныя функцыі

• Няцотная ступень

f ( x )

x

2 k + 1

,

x ∈

R

,

{\displaystyle f(x)=x^{2k+1},\quad x\in \mathbb {R} ,}

дзе

k ∈

Z

{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }

— адвольны цэлы лік.

• Сінус

f ( x )

sin ⁡ x ,

x ∈

R

{\displaystyle f(x)=\sin x,\quad x\in \mathbb {R} }

.

• Тангенс

f ( x )

tg ⁡ x ,

x ∈ ( −

π 2

;

π 2

)

{\displaystyle f(x)=\operatorname {tg} x,\quad x\in (-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}})}

.

Цотныя функцыі

• Цотная ступень

f ( x )

x

2 k

,

x ∈

R

,

{\displaystyle f(x)=x^{2k},\quad x\in \mathbb {R} ,}

дзе

k ∈

Z

{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }

— адвольны цэлы лік.

• Косінус

f ( x )

cos ⁡ x ,

x ∈

R

{\displaystyle f(x)=\cos x,\quad x\in \mathbb {R} }

.

• Абсалютная велічыня (модуль)

f ( x )

|

x

|

{\displaystyle f(x)=|x|}

.

Спасылкі

• Weisstein, Eric W. Even Function(англ.)  на старонцы Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Odd Function(англ.)  на старонцы Wolfram MathWorld.

Тэмы гэтай старонкі (2):
Катэгорыя·Элементарная матэматыка
Катэгорыя·Тыпы функцый