wd wp Пошук: ⬜

Цэнтральная сіметрыя

Цэнтральнай сіметрыяй (часам цэнтральнай інверсіяй) адносна пункта A называюць пераўтварэнне прасторы, якое пераводзіць пункт X у такі пункт X*, што *A* — сярэдзіна адрэзка *XX. Цэнтральная сіметрыя з цэнтрам у пункце A звычайна абазначаецца праз

{\displaystyle Z_{A}}

$\{\displaystyle Z_\{A\}\}$ , у той час як абазначэнне

{\displaystyle S_{A}}

$\{\displaystyle S_\{A\}\}$ можна пераблытаць з восевай сіметрыяй. Фігура называецца сіметрычнай адносна пункта A, калі для кожнага пункта фігуры сіметрычны ёй пункт адносна пункта A таксама належыць гэтай фігуры. Пункт A называецца цэнтрам сіметрыі фігуры. Кажуць таксама, што фігура валодае цэнтральнай сіметрыяй.

Іншыя назвы гэтага пераўтварэння — сіметрыя з цэнтрам A. Цэнтральная сіметрыя ў планіметрыі з’яўляецца асобным выпадкам павароту, дакладней, з’яўляецца паваротам на 180 градусаў.

Фармальны запіс

Няхай G — аператар цэнтральнай сіметрыі, пункт A зададзены радыус-вектарам

→

{\displaystyle {\vec {r_{A}}}}

$\{\displaystyle \{\vec \{r_\{A\}\}\}\}$ , а пункт, які пераўтвараецца, задаецца радыус-вектарам

x →

{\displaystyle {\vec {x}}}

$\{\displaystyle \{\vec \{x\}\}\}$ . Тады мае месца наступная формула:

x →

)

→

−

x →

{\displaystyle G({\vec {x}})=2{\vec {r_{A}}}-{\vec {x}}}

$\{\displaystyle G(\{\vec \{x\}\})=2\{\vec \{r_\{A\}\}\}-\{\vec \{x\}\}\}$

Звязаныя азначэнні

Калі фігура пераходзіць у сябе пры сіметрыі адносна пункта A, то A называюць цэнтрам сіметрыі гэтай фігуры.

Агульныя ўласцівасці

Цэнтральная сіметрыя з’яўляецца рухам (ізаметрыяй).
У n-мернай прасторы калі пераўтварэнне R з’яўляецца паслядоўным адлюстраваннем адносна n ўзаемна перпендыкулярных гіперплоскасцей, то R — цэнтральная сіметрыя адносна агульнага пункта гэтых гіперплоскасцей. Акрамя таго:
У цотнамерных прасторах цэнтральная сіметрыя захоўвае арыентацыю, а ў няцотнамерных — не захоўвае.
Цэнтральную сіметрыю можна прадставіць таксама як гоматэтыю з цэнтрам A і каэфіцыентам −1 (

− 1

{\displaystyle H_{A}^{-1}}

$\{\displaystyle H_\{A\}^\{-1\}\}$ ).

Кампазіцыя дзвюх цэнтральных сіметрый — паралельны перанос на падвоены вектар з першага цэнтра ў другі:
Z

∘

A B

→

{\displaystyle Z_{A}\circ Z_{B}=T_{2{\vec {AB}}}}

$\{\displaystyle Z_\{A\}\circ Z_\{B\}=T_\{2\{\vec \{AB\}\}\}\}$

Сіметрыя на прамой

У аднамернай прасторы (на прамой) цэнтральная сіметрыя з’яўляецца люстраною сіметрыяй.

На плоскасці

На плоскасці (у 2-мернай прасторы) сіметрыя з цэнтрам A ўяўляе сабой паварот на 180° з цэнтрам A (

180

{\displaystyle R_{A}^{180}}

$\{\displaystyle R_\{A\}^\{180\}\}$ ). Цэнтральная сіметрыя на плоскасці, як і паварот, захоўвае арыентацыю.

У трохмернай прасторы

Цэнтральную сіметрыю ў трохмернай прасторы называюць таксама сферычнай сіметрыяй.

Яе можна прадставіць як кампазіцыю адлюстравання адносна плоскасці, якая праходзіць праз цэнтр сіметрыі, з паваротам на 180° адносна прамой, якая праходзіць праз цэнтр сіметрыі і перпендыкулярнай вышэйзгаданай плоскасці адлюстравання.

У чатырохмернай прасторы

У 4-мернай прасторы цэнтральную сіметрыю можна прадставіць як кампазіцыю двух паваротаў на 180° вакол дзвюх узаемна перпендыкулярных плоскасцей (перпендыкулярных ў 4-мерным сэнсе), якія праходзяць праз цэнтр сіметрыі.

Гл. таксама

Тэмы гэтай старонкі (1):
Катэгорыя·Сіметрыя