wd wp Пошук: ⬜

Тэарэма сінусаў

Тэарэма сінусаў — тэарэма пра сувязь паміж старанамі трохвугольніка і процілеглымі да іх вугламі.

Тэарэма сцвярджае:

Для адвольнага трохвугольніка са старанамі a, b, c і адпаведнымі ім процілеглымі вугламі α, β, γ справядліва роўнасць $\{\displaystyle \{\frac \{a\}\{\sin \alpha \}\}=\{\frac \{b\}\{\sin \beta \}\}=\{\frac \{c\}\{\sin \gamma \}\}=2R,\}$ дзе R — радыус акружнасці, апісанай вакол трохвугольніка.

Доказ  

Дастаткова даказать, што

a

sin ⁡ α

= 2 R .

{\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}=2R.}

Правядзём дыяметр BG апісанай акружнасці. Па ўласцівасці вуглоў, упісаных у акружнасць, вугал GCB прамы, а вугал CGB роўны або

α

{\displaystyle \alpha }

, калі пункты A і G ляжаць па адзін бок ад прамой BC, або

π − α

{\displaystyle \pi -\alpha }

ў процілеглым выпадку. А раз

sin ⁡ ( π − α )

sin ⁡ α ,

{\displaystyle \sin(\pi -\alpha )=\sin \alpha ,}

у абодвух выпадках атрымліваем

a

2 R sin ⁡ α .

{\displaystyle a=2R\sin \alpha .}

Даслоўна паўтарыўшы тое ж разважанне для дзвюх другіх старон трохвугольніка, атрымліваем:

a

sin ⁡ α

=

b

sin ⁡ β

=

c

sin ⁡ γ

= 2 R .

{\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R.}

Гл. таксама

• Тэарэма косінусаў

Тэмы гэтай старонкі (3):
Катэгорыя·Геаметрыя трохвугольніка
Катэгорыя·Трыганаметрыя
Катэгорыя·Тэарэмы