Тэарэма Безу сцвярджае, што астача ад дзялення мнагачлена
P ( x )
{\displaystyle P(x)}
на мнагачлен
( x − a )
{\displaystyle (x-a)}
роўная
P ( a )
{\displaystyle P(a)}
.
Будзем лічыць, што каэфіцыенты мнагачлена змяшчаюцца ў некаторым камутатыўным кальцы з адзінкай (напрыклад, у полі рэчаісных ці камплексных лікаў).
Падзелім з астачаю мнагачлен
P ( x )
{\displaystyle P(x)}
на мнагачлен
x − a
{\displaystyle x-a}
:
( x − a ) Q ( x ) + R ( x ) .
{\displaystyle P(x)=(x-a)Q(x)+R(x).}
Паколькі
1
{\displaystyle \deg R(x)<\deg(x-a)=1}
, то
R ( x )
{\displaystyle R(x)}
— мнагачлен ступені не вышэй чым 0. Падстаўляючы
a
{\displaystyle x=a}
, маем
0
{\displaystyle (a-a)Q(a)=0}
, і таму
R ( a )
{\displaystyle P(a)=R(a)}
.
a
{\displaystyle a}
з’яўляецца коранем мнагачлена
p ( x )
{\displaystyle p(x)}
тады і толькі тады, калі
p ( x )
{\displaystyle p(x)}
дзеліцца без астачы на двухчлен
x − a
{\displaystyle x-a}
(адсюль, сярод іншага вынікае, што мноства каранёў мнагачлена
P ( x )
{\displaystyle P(x)}
тоеснае з мноствам каранёў адпаведнага ўраўнення
0
{\displaystyle P(x)=0}
).
a
{\displaystyle a}
— цэлы корань прыведзенага мнагачлена
A ( x )
{\displaystyle A(x)}
з цэлымі каэфіцыентамі. Тады для любога цэлага
k
{\displaystyle k}
лік
A ( k )
{\displaystyle A(k)}
дзеліцца на
a − k
{\displaystyle a-k}
.
Тэарэма Безу і вынікі з яе дазваляюць лёгка знаходзіць рацыянальныя карані алгебраічных ураўненняў з рацыянальнымі каэфіцыентамі.