Стужка Мёбіуса (ліст Мёбіуса, пятля Мёбіуса) — тапалагічны аб’ект, найпростая неарыентаваная паверхня з краем, аднабаковая пры ўкладанні ў звычайную трохмерную Эўклідаву прастору
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
. Патрапіць з аднаго пункту гэтай паверхні ў любы іншы можна, не перасякаючы край.
Стужка Мёбіуса была адкрытая незалежна нямецкімі матэматыкамі Аўгустам Фердынандам Мёбіусам і Ёганам Бенедыктам Лістынгам у 1858 годзе. Мадэль стужкі Мёбіуса можа быць лёгка зроблена. Для гэтага дастаткова ўзяць выцягнутую папяровую стужку і злучыць яе канцы, папярэдне перавярнуўшы адзін з іх. У Эўклідавай прасторы існуюць два тыпы стужак Мёбіуса ў залежнасці ад кірунку закручвання: правыя і левыя (тапалагічна, аднак, яны не адрозніваюцца).
Адным са спосабаў прадстаўлення стужкі Мёбіуса як падмноства
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
з’яўляецца параметрызацыя:
(
1 +
v 2
cos
u 2
)
cos u ,
{\displaystyle x(u,v)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\cos u,}
(
1 +
v 2
cos
u 2
)
sin u ,
{\displaystyle y(u,v)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\sin u,}
v 2
sin
u 2
,
{\displaystyle z(u,v)={\frac {v}{2}}\sin {\frac {u}{2}},}
дзе
0 ⩽ u < 2 π
{\displaystyle 0\leqslant u<2\pi }
і
− 1 ⩽ v ⩽ 1
{\displaystyle -1\leqslant v\leqslant 1}
. Гэтыя формулы задаюць стужку Мёбіуса шырыні 1, чый цэнтральны круг мае радыус 1, ляжыць у плоскасці
x − y
{\displaystyle x-y}
з цэнтрам у
( 0 ,
0 ,
0 )
{\displaystyle (0,;0,;0)}
. Параметр
u
{\displaystyle u}
прабягае ўздоўж стужкі, у той час як
v
{\displaystyle v}
задае адлегласць ад краю.
( r ,
θ ,
z )
{\displaystyle (r,;\theta ,;z)}
, неабмежаваная версія ліста Мёбіуса можа быць прадстаўлена ўраўненнем:
log r sin ( θ
/
z cos ( θ
/
2 ) ,
{\displaystyle ~\log r\sin(\theta /2)=z\cos(\theta /2),}
Дзе функцыя лагарыфма мае адвольнае аснаванне.
[ 0 ,
1 ] × [ 0 ,
1 ]
{\displaystyle [0,;1]\times [0,;1]}
( x ,
0 ) ∼ ( 1 − x ,
1 )
{\displaystyle (x,;0)\sim (1-x,;1)}
для
0 ⩽ x ⩽ 1
{\displaystyle 0\leqslant x\leqslant 1}
.
Стужка Мёбіуса — неарыентуемая паверхня з краем.
Стужку Мёбіуса магчыма змясціць у
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
з граніцай, якая з’яўляецца ідэальным кругам. Ідэя палягае ў наступным: няхай
C
{\displaystyle C}
будзе адзінкавым кругам у плоскасці
x y
{\displaystyle xy}
у
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
. Злучыўшы антыподныя пункты на
C
{\displaystyle C}
, гэта значыць, пункты пад вугламі
θ
{\displaystyle \theta }
і
θ + π
{\displaystyle \theta +\pi }
дугой круга, атрымаем, што для
θ
{\displaystyle \theta }
паміж
0
{\displaystyle 0}
і
π
/
2
{\displaystyle \pi /2}
дугі ляжаць вышэй за плоскасць
x y
{\displaystyle xy}
, а для іншых
θ
{\displaystyle \theta }
ніжэй (прычым у двух месцах дугі ляжаць у плоскасці
x y
{\displaystyle xy}
).
+ Тым не менш, любы дыск, які прыклейваецца да гранічнай акружнасці, непазбежна перасячэ стужку Мёбіуса.
Стужка Мёбіуса служыла натхненнем для скульптур і для графічнага мастацтва. Эшэр быў адным з мастакоў, хто асабліва любіў яго і прысвяціў некалькі сваіх літаграфій гэтаму матэматычнаму аб’екту. Адна з вядомых — стужка Мёбіуса II[1], паказвае мурашак, якія паўзуць па паверхні стужкі Мёбіуса.
Стужка Мёбіуса пастаянна сустракаецца ў навуковай фантастыцы, напрыклад, у апавяданні Артура Кларка «Сцяна Цемры». У апавяданні «Стужка Мёбіуса» аўтара Арміна Дэйча, бостанскае метро будуе новую лінію, маршрут якой становіцца настолькі заблытаным, што пераўтвараецца ў стужку Мёбіуса, пасля чаго на гэтай лініі пачынаюць знікаць цягнікі. Па матывах апавядання быў зняты фантастычны фільм «Мёбіус» рэжысёра Густава Мэскера.
Стужка Мёбіуса выкарытоўваецца як спосаб перамяшчэння ў прасторы і часе Гары Кіфа, галоўнага героя рамана Браяна Ламлі «Некраскоп».
Стужка Мёбіуса таксама сустракаецца ў эсэ Харукі Муракамі «Аблады Аблада», дзе Стужка Мёбіуса вобразна параўноўваецца з бясконцасцю.
У 1987 годзе савецкі джазавы піяніст Леанід Чыжык запісаў Альбом «Стужка Мёбіуса».
Гоначны трэк у адным з эпізодаў мульсерыяла “Футурама” ўяўляе стужку Мёбіуса.
Існуюць варыянты тэхнічнага выкарыстання стужкі Мёбіуса. Стужка стужкавага канвеера выконваецца ў выглядзе стужкі Мёбіуса, што дазваляе яму працаваць даўжэй, таму што ўся паверхня стужкі зношваецца раўнамерна. Таксама ў сістэмах запісу на на бесперапынную стужку выкарыстоўваюцца стужкі Мёбіуса каб падвоіць час запісу. У многіх матрычных прынтарах фарбаносная стужка мае від стужкі Мёбіуса для павелічэння яго рэсурсу.