wd wp Пошук: ⬜

Спіс граніц

Гэты артыкул змяшчае спіс граніц (лімітаў) для асноўных функцый, а таксама правілы вылічэння граніц.

Агульныя правілы

Граніца непарыўнай функцыі

Асноўны артыкул: Непарыўная функцыя

Калі функцыя f(x) непарыўная ў пункце x0, то яе граніца пры імкненні x да x0 роўная значэнню функцыі ў гэтым пункце:

lim

x →

x

0

f ( x )

f (

x

0

) .

{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0}).}

Арыфметычныя правілы для граніц

Гл. таксама: Граніца паслядоўнасці Гл. таксама: Граніца функцыі Няхай існуюць граніцы

lim

x → c

f ( x )

L

1

{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L_{1}}

і

lim

x → c

g ( x )

L

2

{\displaystyle \lim _{x\to c}g(x)=L_{2}}

. Тады

• граніца сумы роўная суме граніц

lim

x → c

( f ( x ) + g ( x ) )

L

1

L

2

,

{\displaystyle \lim _{x\to c}(f(x)+g(x))=L_{1}+L_{2},}

• граніца рознасці роўная рознасці граніц

lim

x → c

( f ( x ) − g ( x ) )

L

1

−

L

2

,

{\displaystyle \lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=L_{1}-L_{2},}

• граніца здабытку роўная здабытку граніц

lim

x → c

[ f ( x ) g ( x ) ]

L

1

×

L

2

{\displaystyle \lim _{x\to c},[f(x)g(x)]=L_{1}\times L_{2}}

Няхай

lim

x → c

g ( x )

L

2

≠ 0.

{\displaystyle \lim _{x\to c}g(x)=L_{2}\neq 0.}

Тады

• граніца дзелі роўная дзелі граніц

lim

x → c

f ( x )

g ( x )

=

L

1

L

2

.

{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}.}

Няхай

lim

x → c

f ( x )

L

1

{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L_{1}>0.}

Тады

• граніца ступені існуе і раўняецца

lim

x → c

f ( x

)

g ( x )

=

L

1

L

2

.

{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=L_{1}^{L_{2}}.}

Заўвага. Усе гэтыя правілы праўдзяцца і для граніц паслядоўнасцей. Паслядоўнасць можна разглядаць як адмысловы выпадак функцыі, якая вызначана толькі для натуральных значэнняў сваёй зменнай. У гэтым выпадку граніцу паслядоўнасці можна вытлумачыць як граніцу такой функцыі пры імкненні зменнай (натуральнага ліку) да бясконцасці.

Правіла Лапіталя

Асноўны артыкул: Правіла Лапіталя

Калі

lim

x → c

f ( x )

0

{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0}

і

lim

x → c

g ( x )

0 ,

{\displaystyle \lim _{x\to c}g(x)=0,}

і існуе граніца дзелі іх вытворных

lim

x → c

f ′

( x )

g ′

( x )

,

{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f’(x)}{g’(x)}},}

то

lim

x → c

f ( x )

g ( x )

=

lim

x → c

f ′

( x )

g ′

( x )

.

{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f’(x)}{g’(x)}}.}

Граніцы рацыянальных выразаў

• lim

x → ± ∞

a

0

x

k

a

1

x

k − 1

. . . +

a

k

b

0

x

r

b

1

x

r − 1

. . . +

b

r

=

{

sgn ⁡ [

a

0

b

0

] ⋅ ( ± 1

)

( k − r )

⋅ ∞ ,

k

r ,

a

0

b

0

,

k

r ,

0 ,

k < r .

{\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }{\frac {a_{0}x^{k}+a_{1}x^{k-1}+…+a_{k}}{b_{0}x^{r}+b_{1}x^{r-1}+…+b_{r}}}={\begin{cases}\operatorname {sgn}[{a_{0} \over b_{0}}]\cdot (\pm 1)^{(k-r)}\cdot \infty ,&k>r,\{\frac {a_{0}}{b_{0}}},&k=r,\0,&k<r.\end{cases}}}

“Выдатныя” граніцы

Словазлучэнне выдатныя граніцы (руск.: замечательные пределы) замацавалася ў савецкіх і цяперашніх расійскіх падручніках па матэматычным аналізе як назва дзвюх важных граніц, якія маюць шматлікія дастасаванні ў матэматычным аналізе[1].

• Першая выдатная граніца (руск.: первый замечательный предел)

lim

x → 0

sin ⁡ ( x )

x

= 1

{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1}

• Другая выдатная граніца (руск.: второй замечательный предел)

lim

x → ± ∞

(

1 +

1 x

)

x

= e

{\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e}

Заўвага 1. Граніцы многіх выразаў з трыганаметрычнымі функцыямі вынікаюць з першай выдатнай граніцы.

Заўвага 2. Граніцы выразаў з лагарыфмамі і ступенна-паказнікавых выразаў часта можна атрымаць як вынік другой выдатнай граніцы.

Трыганаметрычныя выразы

• lim

x → 0

sin ⁡ ( x )

x

= 1

{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1}

• lim

x → 0

sin ⁡ ( a x )

b x

=

a b

{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(ax)}{bx}}={\frac {a}{b}}}

• lim

x → 0

sin ⁡ ( a x )

sin ⁡ ( b x )

=

a b

{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(ax)}{\sin(bx)}}={\frac {a}{b}}}

• lim

x → 0

tg ⁡ ( x )

x

= 1

{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\operatorname {tg} (x)}{x}}=1}

• lim

x → 0

arcsin ⁡ ( x )

x

= 1

{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\arcsin(x)}{x}}=1}

• lim

x → 0

arctg ⁡ ( x )

x

= 1

{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\operatorname {arctg} (x)}{x}}=1}

• lim

x → 0

1 − cos ⁡ ( x )

x

= 0

{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos(x)}{x}}=0}

• lim

x → 0

1 − cos ⁡ ( x )

x

2

=

1 2

{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos(x)}{x^{2}}}={\frac {1}{2}}}

Ступенна-паказнікавыя і лагарыфмічныя выразы

• lim

x → 0

( 1 + x

)

1 x

= e

{\displaystyle \lim _{x\to 0}(1+x)^{\frac {1}{x}}=e}

• lim

x → 0

ln ⁡ ( 1 + x )

x

= 1

{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1}

• lim

x → 0

log

a

⁡ ( 1 + x )

x

=

1

ln ⁡ a

{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\log _{a}(1+x)}{x}}={\frac {1}{\ln a}}}

• lim

x → 0

e

x

− 1

x

= 1

{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x}}=1}

• lim

x → 0

a

x

− 1

x

= ln ⁡ a

{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {a^{x}-1}{x}}=\ln a}

• lim

x → 0

( 1 + x

)

α

− 1

x

= α

{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {(1+x)^{\alpha }-1}{x}}=\alpha }

Граніцы і вядомыя матэматычныя сталыя

Гл. таксама: Лік Ойлера Гл. таксама: Лік Пі

• lim

n → ∞

n

n !

n

= e

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}=e}

• lim

n → ∞

(

2 ⋅ 4 ⋅ ⋯ ⋅ 2 n

1 ⋅ 3 ⋅ ⋯ ⋅ ( 2 n − 1 )

)

2

⋅

1

2 n + 1

=

π 2

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left({\frac {2\cdot 4\cdot \dots \cdot 2n}{1\cdot 3\cdot \dots \cdot (2n-1)}}\right)^{2}\cdot {\frac {1}{2n+1}}={\frac {\pi }{2}}}

 (формула Ўоліса)[2]

• lim

n → ∞

2

n

2 −

2 +

2 + ⋯ +

2

⏟

n

= π

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }2^{n}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2}}}}}}}} _{n}=\pi }

Граніцы-параўнанні функцый

У гэтым падраздзеле прыведзены граніцы выразаў, якія ўяўляюць сабою дзелі дзвюх функцый або выразы ўзору “функцыя ў ступені функцыя”. Гэтыя граніцы адметныя тым, што яны паказваюць, якая з функцый хутчэй набліжаецца да нуля (ці бясконцасці).

• lim

n → ∞

n

α

a

n

= 0 ,

( a

1 )

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n^{\alpha }}{a^{n}}}=0,\qquad (a>1)}

• lim

n → ∞

a

n

n !

= 0

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a^{n}}{n!}}=0}

• lim

n → ∞

ln ⁡ n

n

= 0

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\ln n}{n}}=0}

• lim

n → ∞

( ln ⁡ n

)

q

n

α

= 0 ,

( α

0 )

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {(\ln n)^{q}}{n^{\alpha }}}=0,\qquad (\alpha >0)}

• lim

n → ∞

a

n

= 1 ,

( a

0 )

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a}}=1,\qquad (a>0)}

• lim

n → ∞

n

n

= 1

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}=1}

• lim

x → + 0

x

α

ln ⁡ x

0 ,

( α

0 )

{\displaystyle \lim _{x\to +0}x^{\alpha }\ln x=0,\qquad (\alpha >0)}

• lim

x → + 0

x

x

= 1

{\displaystyle \lim _{x\to +0}x^{x}=1}

Азначэнні функцый праз граніцы

Паказнікавая функцыя

Асноўны артыкул: Паказнікавая функцыя

Для любога камплекснага z паказнікавую функцыю можна вызначыць як

• lim

n → ∞

(

1 +

z n

)

n

=

e

z

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}=e^{z}}

• lim

n → ∞

∑

k

0

n

z

k

k !

=

e

z

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}{\frac {z^{k}}{k!}}=e^{z}}

Гама-функцыя Ойлера

Асноўны артыкул: Гама-функцыя

• Для любых камплексных z праўдзіцца формула Ойлера-Гауса[3]

Γ ( z )

lim

n → ∞

n !

n

z

z ( z + 1 ) … ( z + n )

{\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!,n^{z}}{z(z+1)\dots (z+n)}}}

Дзэта-функцыя Рымана

Асноўны артыкул: Дзэта-функцыя Рымана

• Дзэта-функцыя Рымана на камплекснай плоскасці пры Re z > 1 вызначаецца як граніца[2]

ζ ( z ) :=

lim

n → ∞

∑

k

1

n

1

n

z

{\displaystyle \zeta (z):=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{n^{z}}}}

Крыніцы і спасылкі

1. ↑
   Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. — Москва: Наука, 1971. — Т. 1.
2. 1 2
   Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В.Бернік. — Мінск: Тэхналогія, 2001.
3. ↑
   Воднев В.Т., Наумович А.Ф., Наумович Н.Ф. Основные математические формулы / Под ред. Богданова Ю.С.. — Минск: Вышэйшая школа, 1980.

Тэмы гэтай старонкі (1):
Катэгорыя·Граніцы