wd wp Пошук: ⬜

Палярная сістэма каардынат

Палярная сістэма каардынат — двухмерная сістэма каардынат, у якой кожны пункт на плоскасці вызначаецца двума лікамі — палярным вуглом і палярным радыусам. Палярная сістэма каардынат асабліва карысная ў выпадках, калі адносіны паміж пунктамі прасцей адлюстраваць у выглядзе радыусаў і вуглоў; ў больш распаўсюджанай, дэкартавай або прамавугольнай сістэме каардынат, такія адносіны можна ўсталяваць толькі шляхам прымянення трыганаметрычных ураўненняў.

Палярная сістэма каардынат задаецца прамянём, які называюць нулявым або палярнай воссю. Пункт, з якога выходзіць гэты прамень, называецца пачаткам каардынат альбо полюсам. Любы пункт на плоскасці вызначаецца двума палярнымі каардынатамі: радыяльнай і вуглавой. Радыяльная каардыната (звычайна пазначаецца

{\displaystyle r}

$\{\displaystyle r\}$ ) адпавядае адлегласці ад пункта да пачатку каардынат. Вуглавая каардыната таксама называецца палярным вуглом або азімутам і пазначаецца

{\displaystyle \varphi }

$\{\displaystyle \varphi \}$ , роўная куце, на які трэба павярнуць супраць гадзінны стрэлкі палярную вось для таго, каб патрапіць у гэты пункт.[1]

Вызначаная такім чынам радыяльная каардыната можа прымаць значэнні ад нуля да бясконцасці, а вуглавая каардыната змяняецца ў межах ад 0° да 360°. Аднак, для зручнасці вобласць значэнняў палярнай каардынаты можна пашырыць за межы поўнага вугла, а таксама дазволіць ёй прымаць адмоўныя значэння, што адказвае павароту палярнай восі па гадзіннікавай стрэлцы.

Графічнае прадстаўленне

Кожны пункт у палярнай сістэме каардынат можа быць вызначана двума палярнымі каардынатамі, што звычайна называюцца

{\displaystyle r}

$\{\displaystyle r\}$ (радыяльная каардыната, вуглавая адлегласць, сустракаецца варыянт

{\displaystyle \rho }

$\{\displaystyle \rho \}$ ) і

{\displaystyle \varphi }

$\{\displaystyle \varphi \}$ (вуглавая каардыната, палярны вугал, азімут, пазіцыйны вугал, часам пішуць

{\displaystyle \theta }

$\{\displaystyle \theta \}$ альбо

{\displaystyle t}

$\{\displaystyle t\}$ ). Каардыната

{\displaystyle r}

$\{\displaystyle r\}$ адпавядай адлегласці да полюса, а каардыната

{\displaystyle \varphi }

$\{\displaystyle \varphi \}$ роўная куце ў напрамку супраць гадзінны стрэлкі ад прамяня праз 0° (часам называецца палярнай воссю)[1].

Палярны радыус вызначаны для любога пункта плоскасці і прымае неадмоўныя значэння

r ⩾ 0

{\displaystyle r\geqslant 0}

$\{\displaystyle r\geqslant 0\}$ . Палярны вугал

{\displaystyle \varphi }

$\{\displaystyle \varphi \}$ вызначаны для любога пункта плоскасці, за выключэннем полюса

{\displaystyle O}

$\{\displaystyle O\}$ , і прымае значэння

− π < φ ⩽ π

{\displaystyle -\pi <\varphi \leqslant \pi }

$\{\displaystyle -\pi <\varphi \leqslant \pi \}$ . Палярны вугал вымяраецца ў радыянах і адлічваецца ад палярнай восі:

ў дадатным напрамку (супраць напрамкі руху гадзінны стрэлкі), калі значэнне вугла станоўчае;
у адмоўным кірунку (па кірунку руху гадзіннікавай стрэлкі), калі значэнне вугла адмоўнае.

Напрыклад, пункт з каардынатамі

( 3 ,

∘

)

{\displaystyle (3,;60^{\circ })}

$\{\displaystyle (3,\;60^\{\circ \})\}$ будзе выглядаць на графіку як пункт на промні, які ляжыць пад вуглом 60° да палярнай восі, на адлегласці 3 адзінкі ад полюса. Пункт з каардынатамі

( 3 ,

−

300

∘

)

{\displaystyle (3,;-300^{\circ })}

$\{\displaystyle (3,\;-300^\{\circ \})\}$ будзе намаляваная на тым жа месцы.

Камплексныя лікі

Прыклад камплекснага ліку z нанесенага на камплексную плоскасць.

Кожны камплексны лік можа быць прадстаўлены пунктам на камплекснай плоскасці, і, адпаведна, гэты пункт можа вызначацца ў дэкартавых каардынатах (прамавугольная альбо дэкартавая форма), або ў палярных каардынатах (палярная форма). Камплексны лік z можа быць запісаны ў прамавугольнай форме як:

z

x + i y

{\displaystyle z=x+iy,}

$\{\displaystyle z=x+iy\,\}$ дзе i — уяўная адзінка, ці ў палярнай:

z

r ⋅ ( cos ⁡ φ + i sin ⁡ φ )

{\displaystyle z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )}

$\{\displaystyle z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )\}$ і адсюль, як:

z

i φ

{\displaystyle z=re^{i\varphi },}

$\{\displaystyle z=re^\{i\varphi \}\,\}$ дзе e — лік Эйлера. Дзякуючы формуле Эйлера, абодва прадстаўлення эквівалентныя.[2] (Варта адзначыць, што ў гэтай формуле, падобна астатнім формул, якія змяшчаюць узвядзенне ў ступень вуглоў, вугал φ зададзена ў радыянах.)

Для пераходу паміж прамавугольным і палярным прадстаўленнем камплексных лікаў, могуць выкарыстоўвацца прыведзеныя вышэй формулы пераўтварэння паміж сістэмамі каардынат.

Аперацыі множанне, дзяленне і узвядзенне ў ступень з камплекснымі лікамі, як правіла, прасцей праводзіць у палярнай форме. Згодна з правіламі ўзвядзення ў ступень:

Множанне:

⋅

i (

)

{\displaystyle r_{0}e^{i\varphi _{0}}\cdot r_{1}e^{i\varphi _{1}}=r_{0}r_{1}e^{i(\varphi _{0}+\varphi _{1})},}

$\{\displaystyle r_\{0\}e^\{i\varphi \{0\}\}\cdot r\{1\}e^\{i\varphi \{1\}\}=r\{0\}r_\{1\}e^\{i(\varphi _\{0\}+\varphi _\{1\})\}\,\}$

Дзяленне:

i (

−

)

{\displaystyle {\frac {r_{0}e^{i\varphi _{0}}}{r_{1}e^{i\varphi _{1}}}}={\frac {r_{0}}{r_{1}}}e^{i(\varphi _{0}-\varphi _{1})},}

$\{\displaystyle \{\frac \{r_\{0\}e^\{i\varphi \{0\}\}\}\{r\{1\}e^\{i\varphi \{1\}\}\}\}=\{\frac \{r\{0\}\}\{r_\{1\}\}\}e^\{i(\varphi _\{0\}-\varphi _\{1\})\}\,\}$

Узвядзенне ў ступень (формула Муавра):

( r

i φ

)

i n φ

{\displaystyle (re^{i\varphi })^{n}=r^{n}e^{in\varphi },}

$\{\displaystyle (re^\{i\varphi \})^\{n\}=r^\{n\}e^\{in\varphi \}\,\}$ Зноскі

1 2 Brown, Richard G. (1997). Andrew M. Gleason. ed. Advanced Mathematics: Precalculus with Discrete Mathematics and Data Analysis. Evanston, Illinois: McDougal Littell. ISBN 0-395-77114-5. https://archive.org/details/advancedmathemat00rich_0.
↑
Smith, Julius O. (2003). “Euler’s Identity”. Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT). W3K Publishing. ISBN 0-9745607-0-7.

Тэмы гэтай старонкі (1):
Катэгорыя·Сістэмы каардынат