wd wp Пошук: ⬜

Бісектрыса

Бісектры́са (ад лац.: bi- «двайное», і sectio «разразанне») вугла — прамень, які пачынаецца ў вяршыні вугла і дзеліць яго на два роўныя вуглы[1]. Бісектрыса вугла — геаметрычнае месца пунктаў унутры вугла, роўнааддаленых ад старон вугла.

У трохвугольніку пад бісектрысаю вугла разумеюць адрэзак бісектрысы гэтага вугла да яе перасячэння з процілеглаю стараною трохвугольніка.

Уласцівасці

• Тэарэма аб бісектрысе: Бісектрыса ўнутранага вугла трохвугольніка дзеліць процілеглую старану ў адносіне, роўнай дзелі двух прылеглых старон.
• Бісектрысы ўнутраных вуглоў трохвугольніка перасякаюцца ў адным пункце — інцэнтры — цэнтры упісанай у гэты трохвугольнік акружнасці.
• Бісектрысы аднаго ўнутранага і двух вонкавых вуглоў трохвугольніка перасякаюцца ў адным пункце. Гэты пункт — цэнтр аднае з трох пазаўпісаных акружнасцей гэтага трохвугольніка.
• Асновы бісектрыс двух унутраных і аднаго вонкавага вуглоў трохвугольніка ляжаць на адной прамой, калі бісектрыса вонкавага вугла не паралельная процілеглай старане трохвугольніка.
• Калі бісектрысы вонкавых вуглоў трохвугольніка не паралельныя процілеглым старанам, то іх асновы ляжаць на адной прамой.
• Калі ў трохвугольніку дзве бісектрысы роўныя, то трохвугольнік — раўнабедраны (тэарэма Штэйнера — Лемуса).
• Пабудова трохвугольніка па трох вызначаных бісектрысах з дапамогаю цыркуля і лінейкі немагчымая[2], прычым нават пры наяўнасці трысектара[3].
• У раўнабедраным трохвугольніку бісектрыса вугла, процілеглага аснове трохвугольніка, з’яўляецца медыянаю і вышынёю.

Даўжыня бісектрыс у трохвугольніку

Вывесці ніжэйпрыведзеныя формулы можна з дапамогаю тэарэмы Сцюарта.

l

c

=

a b ( a + b + c ) ( a + b − c )

a + b

{\displaystyle l_{c}={{\sqrt {ab(a+b+c)(a+b-c)}} \over {a+b}}}

l

c

=

a b −

a

l

b

l

{\displaystyle l_{c}={\sqrt {ab-a_{l}b_{l}}}}

l

c

=

2 a b cos ⁡

γ 2

a + b

{\displaystyle l_{c}={\frac {2ab\cos {\frac {\gamma }{2}}}{a+b}}}

l

c

=

h

c

cos ⁡

α − β

2

{\displaystyle l_{c}={\frac {h_{c}}{\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}}}

дзе:

• l

c

{\displaystyle l_{c}}

— даўжыня бісектрысы, праведзенай к старане

c

{\displaystyle c}

,

• a , b , c

{\displaystyle a,b,c}

— стораны трохвугольніка насупраць вяршынь

A , B , C

{\displaystyle A,B,C}

адпаведна,

• p

{\displaystyle p}

— паўперыметр трохвугольніка,

• a

l

,

b

l

{\displaystyle a_{l},b_{l}}

— даўжыні адрэзкаў, на якія бісектрыса

l

c

{\displaystyle l_{c}}

дзеліць старану

c

{\displaystyle c}

,

• α , β , γ

{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }

— унутраныя вуглы трохвугольніка пры вяршынях

A , B , C

{\displaystyle A,B,C}

адпаведна,

• h

c

{\displaystyle h_{c}}

— вышыня трохвугольніка, апушчаная на старану

c

{\displaystyle c}

.

Мнеманічнае правіла

Бісектрыса — гэта рыса, што выходзіць з самага вугла і дзеліць вугал роўненька на два.

Зноскі

1. ↑ Биссектриса // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.) (руск.) . — СПб., 1890—1907.
2. ↑ Кто и когда доказал невозможность построения треугольника по трем биссектрисам?. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО.
3. ↑ Можно ли построить треугольник по трем биссектрисам, если кроме циркуля и линейки разрешается использовать трисектор. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО.

Літаратура

	Бісектрыса на Вікісховішчы

• Коган Б. Ю. Приложение механики к геометрии. М.: Наука. 1965. 56 с.
• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 тт. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 30-31. — ISBN 5-94057-170-0

Тэмы гэтай старонкі (5):
Катэгорыя·Вуглы
Катэгорыя·Вікіпедыя·Спасылка на Вікісховішча непасрэдна ў артыкуле
Катэгорыя·Геаметрыя трохвугольніка
Катэгорыя·Класічная геаметрыя
Катэгорыя·Планіметрыя