wd wp Пошук: ⬜

Бораўская мадэль атама

Бораўская мадэль атама (Мадэль Бора) — паўкласічная мадэль атама, прапанаваная Нільсам Борам у 1913 г. За аснову ён узяў планетарную мадэль атама, прапанаваную Рэзерфордам. Аднак, з пункту гледжання класічнай электрадынамікі, электрон у мадэлі Рэзерфорда, рухаючыся вакол ядра, павінен быў бы выпраменьваць бесперапынна і вельмі скора, страціўшы энергію, упасці на ядро. Каб пераадолець гэту праблему, Бор увёў дапушчэнне, сутнасць якога заключаецца ў тым, што электроны ў атаме могуць рухацца толькі па пэўных (стацыянарных) арбітах, знаходзячыся на якіх яны не выпраменьваюць энергію, а выпраменьванне або паглынанне адбываецца толькі ў момант пераходу з адной арбіты на іншую. Прычым стацыянарнымі з’яўляюцца толькі тыя арбіты, пры руху па якіх момант колькасці руху электрона роўны цэламу ліку пастаянных Планка [1]:

v r

n ℏ .

{\displaystyle m_{e}vr=n\hbar .}

$\{\displaystyle m_\{e\}vr=n\hbar .\}$

Выкарыстоўваючы гэтае дапушчэнне і законы класічнай механікі, а менавіта роўнасць сілы прыцягнення электрона з боку ядра і цэнтрабежнай сілы, якая дзейнічае на электрон пры вярчэнні, ён атрымаў наступныя значэнні для радыуса стацыянарнай арбіты

{\displaystyle R_{n}}

$\{\displaystyle R_\{n\}\}$ і энергіі

{\displaystyle E_{n}}

$\{\displaystyle E_\{n\}\}$ электрона на гэтай арбіце:

ℏ

;

= −

ℏ

⋅

{\displaystyle R_{n}={\frac {4{\pi }\varepsilon _{0}\hbar ^{2}}{Zm_{e}e^{2}}}n^{2};\quad E_{n}=-{\frac {Z^{2}m_{e}e^{4}}{32{\pi }^{2}\varepsilon _{0}^{2}\hbar ^{2}}}\cdot {\frac {1}{n^{2}}}}

$\{\displaystyle R_\{n\}=\{\frac \{4\{\pi \}\varepsilon \{0\}\hbar ^\{2\}\}\{Zm\{e\}e^\{2\}\}\}n^\{2\};\quad E_\{n\}=-\{\frac \{Z^\{2\}m_\{e\}e^\{4\}\}\{32\{\pi \}^\{2\}\varepsilon _\{0\}^\{2\}\hbar ^\{2\}\}\}\cdot \{\frac \{1\}\{n^\{2\}\}\}\}$ Тут

{\displaystyle m_{e}}

$\{\displaystyle m_\{e\}\}$ — маса электрона, Z — колькасць пратонаў у ядры,

{\displaystyle \varepsilon _{0}}

$\{\displaystyle \varepsilon _\{0\}\}$ — дыэлектрычная пастаянная, е — зарад электрона.

Менавіта такі выраз для энергіі можна атрымаць з ураўнення Шродзінгера, рашаючы задачу аб руху электрона ў цэнтральным кулонаўскам поле.

Радыус першай арбіты ў атаме вадароду R0=5,2917720859(36)×10−11 м [2], цяпер называецца бораўскім радыусам, або атамнай адзінкай даўжыні і шырока выкарыстоўваецца ў сучаснай фізіцы. Энергія першай арбіты

= − 13.6

{\displaystyle E_{0}=-13.6}

$\{\displaystyle E_\{0\}=-13.6\}$ эВ уяўляе сабой энергію іанізацыі атама вадароду.

Паўкласічная тэорыя Бора

Заснавана на двух пастулатах Бора:

Атам можа знаходзіцца толькі ў асобых стацыянарных, або квантавых, станах, кожнаму з якіх адпавядае пэўная энергія. У стацыянарным стане атам не выпраменьвае электрамагнітных хваль.
Выпраменьванне і паглынанне энергіі атамам адбываецца пры скачкападобным пераходзе з аднаго стацыянарнага стану ў іншы, пры гэтым маюць месца два стасункі
1. ε =
E

n 2

−

E

n 1

,

{\displaystyle \varepsilon =E_{n2}-E_{n1},}

$\{\displaystyle \varepsilon =E_\{n2\}-E_\{n1\},\}$ дзе

ε

{\displaystyle \varepsilon }

$\{\displaystyle \varepsilon \}$ — выпрамененая (паглынутая) энергія,

n

1

,

n

2

{\displaystyle \ n_{1},n_{2}}

$\{\displaystyle \ n_\{1\},n_\{2\}\}$ — нумары квантавых станаў. У спектраскапіі

E

n 1

{\displaystyle \ E_{n1}}

$\{\displaystyle \ E_\{n1\}\}$ і

E

n 2

{\displaystyle \ E_{n2}}

$\{\displaystyle \ E_\{n2\}\}$ называюцца тэрмамі. 2. Правіла квантавання моманту імпульсу:

m υ r

n ℏ ,

{\displaystyle \ m\upsilon r=n\hbar ,}

$\{\displaystyle \ m\upsilon r=n\hbar ,\}$

n

1 , 2 , 3…

{\displaystyle \quad n=1,2,3…}

$\{\displaystyle \quad n=1,2,3…\}$

Далей зыходзячы з меркаванняў класічнай фізікі аб кругавым руху электрона вакол нерухомага ядра па стацыянарнай арбіце пад дзеяннем кулонаўскімі сілы прыцягнення, Бор атрымаў выразы для радыусаў стацыянарных арбіт і энергіі электрона на гэтых арбітах:

= a

{\displaystyle \ r_{n}=an^{2},}

$\{\displaystyle \ r_\{n\}=an^\{2\},\}$

a

ℏ

k m

= 5.3 ⋅

− 11

{\displaystyle a={\frac {\hbar ^{2}}{kme^{2}}}=5.3\cdot 10^{-11}}

$\{\displaystyle a=\{\frac \{\hbar ^\{2\}\}\{kme^\{2\}\}\}=5.3\cdot 10^\{-11\}\}$ м — бораўскі радыус.

= −

{\displaystyle \ E_{n}=-R_{y}{\frac {1}{n^{2}}},}

$\{\displaystyle \ E_\{n\}=-R_\{y\}\{\frac \{1\}\{n^\{2\}\}\},\}$

ℏ

{\displaystyle R_{y}={\frac {mk^{2}e^{4}}{2\hbar ^{2}}}}

$\{\displaystyle R_\{y\}=\{\frac \{mk^\{2\}e^\{4\}\}\{2\hbar ^\{2\}\}\}\}$ — энергетычная пастаянная Рыдберга (лікава роўная 13,6 эВ). Формула Зомерфельда - Дзірака

Рух электрона вакол атамнага ядра ў рамках класічнай механікі можна разглядаць як «лінейны асцылятар», які характарызуецца «адыябатычным інварыянтам», што ўяўляе сабой плошчу эліпса (у абагульненых каардынатах):

∮

⋅

W ν

= J ,

{\displaystyle \oint \mathbf {p} \cdot \mathrm {d} \mathbf {q} ={\frac {W}{\nu }}=J,}

$\{\displaystyle \oint \mathbf \{p\} \cdot \mathrm \{d\} \mathbf \{q\} =\{\frac \{W\}\{\nu \}\}=J,\}$ дзе —

{\displaystyle \mathbf {p} ,\mathbf {q} }

$\{\displaystyle \mathbf \{p\} ,\mathbf \{q\} \}$ — абагульнены імпульс і каардынаты электрона,

{\displaystyle W}

$\{\displaystyle W\}$ — энергія,

{\displaystyle \nu }

$\{\displaystyle \nu \}$ — частата.

А квантавы пастулат сцвярджае, што плошча замкнёнай крывой у фазавай

p q

{\displaystyle pq}

$\{\displaystyle pq\}$ — плоскасці за адзін перыяд руху, роўная цэламу ліку, памножанаму на пастаянную Планка

{\displaystyle h}

$\{\displaystyle h\}$ (Дэбай, 1913 г.). У сувязі з пастаяннай тонкай структуры найбольш цікавым з’яўляецца рух рэлятывісцкага электрона ў поле ядра атама, калі яго маса залежыць ад хуткасці руху. У гэтым выпадку мы маем дзве квантавыя умовы:

= n h ,

= k h ,

{\displaystyle J_{1}=nh,\qquad J_{2}=kh,}

$\{\displaystyle J_\{1\}=nh,\qquad J_\{2\}=kh,\}$ дзе

{\displaystyle n}

$\{\displaystyle n\}$ вызначае галоўную паўвось эліптычнай арбіты электрона (

{\displaystyle a}

$\{\displaystyle a\}$ ), а

{\displaystyle k}

$\{\displaystyle k\}$ — яго факальны параметр

{\displaystyle q}

$\{\displaystyle q\}$ :

a

q

{\displaystyle a=a_{0}n^{2},\qquad q=a_{0}k^{2}.}

$\{\displaystyle a=a_\{0\}n^\{2\},\qquad q=a_\{0\}k^\{2\}.\}$ У гэтым выпадку Зомерфельд атрымаў выраз для энергіі ў выглядзе

E

−

ϵ ( n , k ) ,

{\displaystyle E=-{\frac {RZ^{2}}{n^{2}}}+\epsilon (n,k),}

$\{\displaystyle E=-\{\frac \{RZ^\{2\}\}\{n^\{2\}\}\}+\epsilon (n,k),\}$ дзе

{\displaystyle R}

$\{\displaystyle R\}$ — пастаянная Рыдберга, а

{\displaystyle Z}

$\{\displaystyle Z\}$ — парадкавы нумар атама (для вадароду

Z

{\displaystyle Z=1}

$\{\displaystyle Z=1\}$ ).

Дадатковы член

ϵ ( n , k )

{\displaystyle \epsilon (n,k)}

$\{\displaystyle \epsilon (n,k)\}$ адлюстроўвае больш тонкія дэталі расшчаплення спектральных тэрмаў вадародападобных атамаў, а іх колькасць вызначаецца квантавым лікам

{\displaystyle k}

$\{\displaystyle k\}$ . Такім чынам, самі спектральныя лініі ўяўляюць сабой сістэмы больш тонкіх ліній, якія адпавядаюць пераходам паміж узроўнямі вышэйшага стану (

n

, k

1 , 2 , . . . ,

{\displaystyle n=n_{1},k=1,2,…,n_{1}}

$\{\displaystyle n=n_\{1\},k=1,2,…,n_\{1\}\}$ ) і ніжэйшага стану (

n

, k

1 , 2 , . . . ,

{\displaystyle n=n_{2},k=1,2,…,n_{2}}

$\{\displaystyle n=n_\{2\},k=1,2,…,n_\{2\}\}$ ). Гэта і ёсць т. зв. тонкая структура спектральных ліній. Зомерфельд распрацаваў тэорыю тонкай структуры для вадародападобных атамаў (H,

{\displaystyle He^{+}}

$\{\displaystyle He^\{+\}\}$ ,

2 +

{\displaystyle Li^{2+}}

$\{\displaystyle Li^\{2+\}\}$ ), а Фаулер з Пашэнам на прыкладзе спектра аднаразова іанізаванага гелія

{\displaystyle He^{+}}

$\{\displaystyle He^\{+\}\}$ ўстанавілі поўную адпаведнасць тэорыі з эксперыментам.

Зомерфельд (1916) яшчэ задоўга да ўзнікнення квантавай механікі Шродзінгера атрымаў формулу для апісання вадародных тэрмаў у выглядзе:

E +

(

1 +

(

−

)

− 1

{\displaystyle E+E_{0}=E_{0}\left(1+{\frac {\alpha ^{2}Z^{2}}{\left(n_{r}+{\sqrt {n_{\phi }^{2}-\alpha ^{2}Z^{2}}}\right)^{2}}}\right)^{-1/2},}

$\{\displaystyle E+E_\{0\}=E_\{0\}\left(1+\{\frac \{\alpha ^\{2\}Z^\{2\}\}\{\left(n_\{r\}+\{\sqrt \{n_\{\phi \}^\{2\}-\alpha ^\{2\}Z^\{2\}\}\}\right)^\{2\}\}\}\right)^\{-1/2\},\}$ дзе

{\displaystyle \alpha }

$\{\displaystyle \alpha \}$ — пастаянная тонкай структуры,

{\displaystyle Z}

$\{\displaystyle Z\}$ — парадкавы нумар атама,

= m

{\displaystyle E_{0}=mc^{2}}

$\{\displaystyle E_\{0\}=mc^\{2\}\}$ — энергія спакою,

{\displaystyle n_{r}}

$\{\displaystyle n_\{r\}\}$ — радыяльны квантавы лік, а

{\displaystyle n_{\phi }}

$\{\displaystyle n_\{\phi \}\}$ — азімутальны квантавы лік. Пазней гэту формулу, карыстаючыся рэлятывісцкім ураўненнем Шродзінгера, атрымаў Дзірак. Таму цяпер гэта формула і носіць імя Зомерфельда — Дзірака.

З’яўленне тонкай структуры тэрм звязана з прэцэсіяй электронаў вакол ядра атама. Таму з’яўленне тонкай структуры можна выявіць па рэзананснаму эфекту ў вобласці ўльтракароткіх электрамагнітных хваль. У выпадку Z = 1 (атам вадароду) велічыня расшчаплення блізкая да

h ≈ R

{\displaystyle E/h\approx R\alpha ^{2}/n^{2}.}

$\{\displaystyle E/h\approx R\alpha ^\{2\}/n^\{2\}.\}$ Даўжыня электрамагнітнай хвалі роўная

λ

ν

c h

E

≈ 0 , 17 c m

{\displaystyle \lambda =c/\nu =ch/E=cn^{2}/R\alpha ^{2}\approx 0,17cm}

$\{\displaystyle \lambda =c/\nu =ch/E=cn^\{2\}/R\alpha ^\{2\}\approx 0,17cm\}$ Таму для

n

{\displaystyle n=2}

$\{\displaystyle n=2\}$ гэта будзе амаль 1 см.

Перавагі тэорыі Бора

Ратлумачыла дыскрэтнасць энергетычных станаў вадародападобных атамаў.
Тэорыя Бора падышла да тлумачэння ўнутрыатамных працэсаў з прынцыпова новых пазіцый, стала першай паўквантавай тэорыяй атама.
Эўрыстычнае значэнне тэорыі Бора заключаецца ў смелым дапушчэнні існавання стацыянарных станаў і скачкападобнага пераходу паміж імі. Гэтыя палажэнні пазней былі распаўсюджаны і на іншыя мікрасістэмы.

Недахопы тэорыі Бора

Не змагла растлумачыць інтэнсіўнасць спектральных ліній.
Справядлівая толькі для вадародападобных атамаў і не працуе для атамаў, якія ідуць за ім у табліцы Мендзялеева.
Тэорыя Бора лагічна супярэчлівая: не з’яўляецца ні класічнай, ні квантавай. У сістэме двух ураўненняў, якія ляжаць у яе аснове, адно — ўраўненне руху электрона — класічнае, іншае — ўраўненне квантавання арбіт — квантавае.

Тэорыя Бора з’яўлялася недастаткова паслядоўнай і агульнай. Таму яна ў далейшым была заменена сучаснай квантавай механікай, заснаванай на больш агульных і несупярэчных зыходных палажэннях. Цяпер вядома, што пастулаты Бора з’яўляюцца вынікам больш агульных квантавых законаў. Але правілы квантавання шырока выкарыстоўваюцца і ў нашы дні як прыбліжаныя суадносіны: іх дакладнасць часта бывае вельмі высокай.

Зноскі

↑ Планетарная мадэль атама. Пастулаты Бора Архівавана 21 лютага 2009. на Партале прыродазнаўчых наук
↑ Бораўскі радыус згодна з CODATA

Літаратура

Макс Борн Атомная физика, 2-е изд., М.:Мир,1967.- 493с.

Тэмы гэтай старонкі (4):
Катэгорыя·Квантавая фізіка
Катэгорыя·Нільс Бор
Катэгорыя·Гісторыя фізікі
Катэгорыя·Атамная фізіка