wd wp Пошук: ⬜

Чатырохімпульс

Чатырохі́мпульс[1][2], 4-і́мпульс — 4-вектар энергіі-імпульсу, рэлятывісцкае абагульненне класічнага трохмернага вектара імпульсу (колькасці руху) на чатырохмерную прастору-час. Тры кампаненты класічнага вектара імпульсу

p →

= (

)

{\displaystyle {\vec {p}}=(p_{x},p_{y},p_{z})}

$\{\displaystyle \{\vec \{p\}\}=(p_\{x\},p_\{y\},p_\{z\})\}$ матэрыяльнай кропкі пры гэтым становяцца трыма прасторавымі кампанентамі вектара чатырохімпульсу. Часавай кампанентай вектара чатырохімпульсу пры гэтым з’яўляецца (з дакладнасцю да множніка) поўная энергія матэрыяльнай кропкі.

(

)

(

)

(

p →

)

{\displaystyle p^{\mu }={\begin{pmatrix}p_{0}\p_{1}\p_{2}\p_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E/c\p_{x}\p_{y}\p_{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E/c\{\vec {p}}\end{pmatrix}}.}

$\{\displaystyle p^\{\mu \}=\{\begin\{pmatrix\}p_\{0\}\\p_\{1\}\\p_\{2\}\\p_\{3\}\end\{pmatrix\}\}=\{\begin\{pmatrix\}E/c\\p_\{x\}\\p_\{y\}\\p_\{z\}\end\{pmatrix\}\}=\{\begin\{pmatrix\}E/c\\\{\vec \{p\}\}\end\{pmatrix\}\}.\}$ Чатырохімпульс карысны пры рэлятывісцкіх разліках, бо ён з’яўляецца каварыянтным вектарам Лорэнца (чатырохвектарам) і таму яго норма (у лорэнцавай метрыцы) інварыянтная пры пераходзе ў іншую інерцыяльную сістэму адліку (яго кампаненты пры гэтым змяняюцца ў адпаведнасці з пераўтварэннямі Лорэнца).

Квадрат чатырохімпульсу

Квадрат вектара чатырохімпульсу кропкавай часціцы з’яўляецца скалярным інварыянтам, роўным (з дакладнасцю да множніка

{\displaystyle !c^{2}}

$\{\displaystyle \!c^\{2\}\}$ ) квадрату масы часціцы:

μ ν

{\displaystyle p^{2}=g_{\mu \nu }p^{\mu }p^{\nu }=m^{2}c^{2},}

$\{\displaystyle p^\{2\}=g_\{\mu \nu \}p^\{\mu \}p^\{\nu \}=m^\{2\}c^\{2\},\}$ дзе c — скорасць святла, індэксы

μ , ν

0 , . . . , 3 ;

{\displaystyle \mu ,\nu =0,…,3;}

$\{\displaystyle \mu ,\nu =0,…,3;\}$ тут выкарыстана пагадненне аб сумаванні па паўторных індэксах.

Матрыца g, якая ўваходзіць у скалярны здабытак 4-вектара p самога на сябе, з’яўляецца метрычным тэнзарам прасторы-часу. У спецыяльнай тэорыі адноснасці выкарыстоўваецца метрыка Мінкоўскага, адмысловы від матрыцы

μ ν

{\displaystyle !g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }}

$\{\displaystyle \!g_\{\mu \nu \}=\eta _\{\mu \nu \}\}$ , які адпавядае плоскай (няскрыўленай) прасторы-часу:

μ ν

(

− 1

)

;

{\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\0&-1&0&0\0&0&-1&0\0&0&0&-1\end{pmatrix}};}

$\{\displaystyle \eta _\{\mu \nu \}=\{\begin\{pmatrix\}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end\{pmatrix\}\};\}$ у гэтым выпадку

−

p →

{\displaystyle m^{2}c^{2}={E^{2} \over c^{2}}-|{\vec {p}}|^{2}.}

$\{\displaystyle m^\{2\}c^\{2\}=\{E^\{2\} \over c^\{2\}\}-|\{\vec \{p\}\}|^\{2\}.\}$ Такім чынам, у СТА маса часціцы не мяняецца пры лорэнавых пераўтварэннях. Модуль чатырохімпульсу

= m c

{\displaystyle |p|={\sqrt {p^{2}}}=mc}

$\{\displaystyle |p|=\{\sqrt \{p^\{2\}\}\}=mc\}$ для рэальных часціц заўсёды неадмоўны (г. зн. 4-імпульс заўсёды часападобен ці светлападобен; ён мог бы быць адмоўным для гіпатэтычных тахіёнаў, рушачых хутчэй за святло). Чатырохімпульс фатонаў і іншых бязмасавых часціц мае нулявы модуль, для масіўных часціц модуль дадатны. У залежнасці ад пагаднення аб сігнатуры, модуль 4-імпульсу можа быць вызначан з процілеглым знакам.

Сувязь з 4-скорасцю

Для масіўнае часціцы 4-імпульс ровен здабытку яе масы на чатырохскорасць

= m

{\displaystyle p^{\mu }=m,U^{\mu }!,}

$\{\displaystyle p^\{\mu \}=m\,U^\{\mu \}\!,\}$ дзе 4-скорасць ёсць вектар

d τ

(

)

(

γ c

)

{\displaystyle U^{\mu }={\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}={\begin{pmatrix}U^{0}\U^{1}\U^{2}\U^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma c\\gamma v^{x}\\gamma v^{y}\\gamma v^{z}\end{pmatrix}},}

$\{\displaystyle U^\{\mu \}=\{\frac \{dx^\{\mu \}\}\{d\tau \}\}=\{\begin\{pmatrix\}U^\{0\}\\U^\{1\}\\U^\{2\}\\U^\{3\}\end\{pmatrix\}\}=\{\begin\{pmatrix\}\gamma c\\\gamma v^\{x\}\\\gamma v^\{y\}\\\gamma v^\{z\}\end\{pmatrix\}\},\}$ а велічыня

γ

1 − (

v c

)

{\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {v}{c}})^{2}}}}}

$\{\displaystyle \gamma =\{\frac \{1\}\{\sqrt \{1-(\{\frac \{v\}\{c\}\})^\{2\}\}\}\}\}$ — гэта множнік Лорэнца і

d τ

{\displaystyle d\tau }

$\{\displaystyle d\tau \}$ — уласны час часціцы.

Кананічны імпульс у прасторы ў прысутнасці электрамагнітнага патэнцыялу

Для прымянення ў рэлятывісцкай квантавай механіцы мэтазгодна вызначыць «кананічны» чатырохімпульс Pμ, які прадстаўляе сабою суму чатырохімпульсу часціцы і здабытку яе электрычнага патэнцыялу на чатырохвектарны патэнцыял электрамагнітнага поля:

{\displaystyle P_{\mu }=p_{\mu }+qA_{\mu },}

$\{\displaystyle P_\{\mu \}=p_\{\mu \}+qA_\{\mu \},\}$ дзе 4-патэнцыял ёсць вектар, састаўлены са скалярнага патэнцыялу

{\displaystyle \varphi }

$\{\displaystyle \varphi \}$ (часавая кампанента) і 3-вектарнага патэнцыялу

A →

{\displaystyle {\vec {A}}}

$\{\displaystyle \{\vec \{A\}\}\}$ (прасторавая кампанента):

(

)

(

−

)

{\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{0}\A_{1}\A_{2}\A_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\varphi \-A_{x}\-A_{y}\-A_{z}\end{pmatrix}}.}

$\{\displaystyle \{\begin\{pmatrix\}A_\{0\}\\A_\{1\}\\A_\{2\}\\A_\{3\}\end\{pmatrix\}\}=\{\begin\{pmatrix\}\varphi \\-A_\{x\}\\-A_\{y\}\\-A_\{z\}\end\{pmatrix\}\}.\}$ Тым самым улічваюцца патэнцыяльная энергія зараджаных часціц у электрастатычным патэнцыяле і сіла Лорэнца, якая дзейнічае на рушачыя зараджаныя часціцы ў магнітным полі. Гэта дае магчымасць уключыць уздзеянне электрамагнітнага поля ва ўраўненне Шродзінгера.

Гл. таксама

Зноскі

↑ Фейнмановские лекции по физике. Т. 2. Гл. 17. Пространство-время. Алгебра четырехвекторов.
↑ ПРОГРАММА-МИНИМУМ кандидатского экзамена Архівавана 1 студзеня 2008. по специальности 01.04.23 «Физика высоких энергий» по техническим и физико-математическим наукам.

Літаратура

Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.

Тэмы гэтай старонкі (1):
Катэгорыя·Спецыяльная тэорыя адноснасці