Лорэнц-каварыянтнасць
Лорэнц-каварыянтнасць — уласцівасць фізічных законаў запісвацца аднолькава ва ўсіх інерцыйных сістэмах адліку (з улікам пераўтварэнняў Лорэнца). Прынята лічыць, што гэтай уласцівасцю павінны валодаць усе фізічныя законы, і эксперыментальных адхіленняў ад яго не выяўлена. Аднак некаторыя тэорыі пакуль не ўдаецца пабудаваць так, каб выконвалася Лорэнц-каварыянтнасць [Крыніца?].
Тэрміналогія
Лорэнц-каварыянтнасць фізічных законаў
Лорэнц-каварыянтнасць фізічных законаў — канкрэтызацыя прынцыпу адноснасці (г. зн. пастулюемага патрабавання незалежнасці вынікаў фізічных эксперыментаў і запісу ўраўненняў ад выбару канкрэтнай сістэмы адліку). Гістарычна гэтая канцэпцыя стала вядучай пры ўключэнні ў сферу дзеяння прынцыпу адноснасці (які раней фармуляваўся з ужываннем не пераўтварэнняў Лорэнца, а пераўтварэнняў Галілея) максвелаўскай электрадынамікі, ужо тады Лорэнц-каварыянтную і якая не мела бачных магчымасцяў пераробкі для каварыянтнасці адносна пераўтварэнняў Галілея, што прывяло да распаўсюджвання патрабавання Лорэнц-каварыянтнасці і на механіку і з прычыны гэтага да змены апошняй.
Лорэнц-інварыянтныя велічыні
Лорэнц-інварыянтнасцю называюць уласцівасць якой-небудзь велічыні захоўвацца пры пераўтварэннях Лорэнца (звычайна маецца на ўвазе скалярная велічыня, аднак сустракаецца і прымяненне гэтага тэрміну да 4-вектараў або тэнзараў, маючы на ўвазе не іх канкрэтнае ўяўленне, а «самі геаметрычныя аб’екты»).
Паводле тэорыі уяўленняў групы Лорэнца, Лорэнц-каварыянтныя велічыні, акрамя скаляраў, будуюцца з 4-вектараў, спінараў і іх тэнзарных здабыткаў (тэнзарныя палі).
«Інварыянтнасць» vs «каварыянтнасць»
У апошні час намецілася выцясненне тэрміна Лорэнц-каварыянтнасць тэрмінам Лорэнц-інварыянтнасць, які ўсё часцей ужываецца роўна і да законаў (ураўнанням), і да велічынь[Крыніца?]. Цяжка сказаць, ці з’яўляецца гэта ўжо нормай мовы, ці ўсё ж хутчэй за некаторыя вольнасці ужывання. Аднак у больш старой літаратуры мелася тэндэнцыя строгага размежавання гэтых тэрмінаў: першы (каварыянтнасць) выкарыстоўваўся ў адносінах да ўраўненням і шматкампанентным велічыням (прадстаўленням тэнзараў, у тым ліку вектараў, і самім тэнзарам, т. я. часта не праводзілася тэрміналагічнай грані паміж тэнзарам і наборам яго кампанент), маючы на ўвазе ўзгодненае змяненне кампанент усіх, хто ўваходзіў у роўнасці велічынь або проста узгодненая адзін з адным змена кампанент розных тэнзараў (вектараў); другі ж (інварыянтнасць) прымяняўся, як больш прыватны, да скаляраў (таксама да скалярных выразаў), маючы на ўвазе простую нязменнасць велічыні.
Прыклады
Скаляры
Сінонімам слоў Лорэнц-інварыянтная велічыня ў 4-мерным прасторава-часовым фармалізме з’яўляецца тэрмін скаляр, які для поўнай канкрэтызацыі маецца на ўвазе кантэксту часам называюць Лорэнц-інварыянтным скалярам.
Δ
s
2
=
η
a b
x
a
x
b
=
c
2
Δ
t
2
− Δ
x
2
− Δ
y
2
− Δ
z
2
{\displaystyle \Delta s^{2}=\eta _{ab}x^{a}x^{b}=c^{2}\Delta t^{2}-\Delta x^{2}-\Delta y^{2}-\Delta z^{2}\ }
Δ τ
Δ
s
2
c
2
,
Δ
s
2
0
{\displaystyle \Delta \tau ={\sqrt {\frac {\Delta s^{2}}{c^{2}}}},,\Delta s^{2}>0}
Δ τ
∫ d τ
1 c
∫
( d s
)
2
= ∫
1 −
v
2
c
2
d t ,
{\displaystyle \Delta \tau =\int d\tau ={\frac {1}{c}}\int {\sqrt {(ds)^{2}}}=\int {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}dt,\ \ }
v
{\displaystyle ~v}
( d s
)
2
0 , v < c
{\displaystyle ~(ds)^{2}>0,v<c}
S
m
c
2
Δ τ
m c ∫
( d s
)
2
= m
c
2
∫
1 −
v
2
c
2
d t
{\displaystyle S=mc^{2}\Delta \tau =mc\int {\sqrt {(ds)^{2}}}=mc^{2}\int {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}dt}
m
2
c
2
=
η
a b
p
a
p
b
=
E
2
c
2
−
p
x
2
−
p
y
2
−
p
z
2
{\displaystyle m^{2}c^{2}=\eta _{ab}p^{a}p^{b}={\frac {E^{2}}{c^{2}}}-p_{x}^{2}-p_{y}^{2}-p_{z}^{2}}
F
a b
F
a b
= 2
(
B
2
−
E
2
c
2
)
{\displaystyle F_{ab}F^{ab}=\ 2\left(B^{2}-{\frac {E^{2}}{c^{2}}}\right)}
G
c d
F
c d
=
ϵ
a b c d
F
a b
F
c d
=
2 c
(
B →
⋅
E →
)
{\displaystyle G_{cd}F^{cd}=\epsilon _{abcd}F^{ab}F^{cd}={\frac {2}{c}}\left({\vec {B}}\cdot {\vec {E}}\right)}
◻
η
μ ν
∂
μ
∂
ν
=
1
c
2
∂
2
∂
t
2
−
∂
2
∂
x
2
−
∂
2
∂
y
2
−
∂
2
∂
z
2
{\displaystyle \Box =\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}}
4-вектары
x
a
= [ c t , x , y , z ]
{\displaystyle x^{a}=[ct,x,y,z]\ }
![\{\displaystyle x^\{a\}=[ct,x,y,z]\ \}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc613a10bd23478609652787f0aa5f092e9b11d4)
∂
a
=
[
1 c
∂
∂ t
,
∂
∂ x
,
∂
∂ y
,
∂
∂ z
]
{\displaystyle \partial _{a}=\left[{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},{\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right]}
![\{\displaystyle \partial _\{a\}=\left[\{\frac \{1\}\{c\}\}\{\frac \{\partial \}\{\partial t\}\},\{\frac \{\partial \}\{\partial x\}\},\{\frac \{\partial \}\{\partial y\}\},\{\frac \{\partial \}\{\partial z\}\}\right]\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d774bd0bb8323e9d9cd53c2bbe5f17ba18b78d17)
U
a
=
d
x
a
d τ
=
1
1 −
v
2
/
c
2
[
c ,
v
x
,
v
y
,
v
z
]
,
{\displaystyle U^{a}={\frac {dx^{a}}{d\tau }}={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\left[c,v_{x},v_{y},v_{z}\right],}
![\{\displaystyle U^\{a\}=\{\frac \{dx^\{a\}\}\{d\tau \}\}=\{\frac \{1\}\{\sqrt \{1-v^\{2\}/c^\{2\}\}\}\}\left[c,v_\{x\},v_\{y\},v_\{z\}\right],\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6e77425caa4ecea3d54bae3655e98f07bac69cb)
v
x
=
d x
d t
,
v
y
=
d y
d t
,
v
z
=
d z
d t
, v
v
x
2
v
y
2
v
z
2
{\displaystyle v_{x}={\frac {dx}{dt}},v_{y}={\frac {dy}{dt}},v_{z}={\frac {dz}{dt}},v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}
p
a
=
m
0
U
a
=
[
E c
,
p
x
,
p
y
,
p
z
]
{\displaystyle p^{a}=m_{0}U^{a}=\left[{\frac {E}{c}},p_{x},p_{y},p_{z}\right]}
![\{\displaystyle p^\{a\}=m_\{0\}U^\{a\}=\left[\{\frac \{E\}\{c\}\},p_\{x\},p_\{y\},p_\{z\}\right]\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6fe72d4b7ca8ae512e7ab9614600dcfbe3ab0b6)
j
a
= [ c ρ ,
j
x
,
j
y
,
j
z
]
{\displaystyle j^{a}=[c\rho ,j_{x},j_{y},j_{z}]\ }
![\{\displaystyle j^\{a\}=[c\rho ,j_\{x\},j_\{y\},j_\{z\}]\ \}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e9bd4c532e78c5995c8706388aa69e37078d1b5)
Тэнзары
δ
b
a
=
{
1
if
a
b ,
0
if
a ≠ b .
{\displaystyle \delta _{b}^{a}={\begin{cases}1&{\mbox{if }}a=b,\0&{\mbox{if }}a\neq b.\end{cases}}}
η
a b
=
η
a b
=
{
1
if
a
b
0 ,
− 1
if
a
b
1 , 2 , 3 ,
0
if
a ≠ b .
{\displaystyle \eta _{ab}=\eta ^{ab}={\begin{cases}1&{\mbox{if }}a=b=0,\-1&{\mbox{if }}a=b=1,2,3,\0&{\mbox{if }}a\neq b.\end{cases}}}
ϵ
a b c d
= −
ϵ
a b c d
=
{
1
if
{ a b c d }
is an even permutation of
{ 0123 } ,
− 1
if
{ a b c d }
is an odd permutation of
{ 0123 } ,
0
otherwise.
{\displaystyle \epsilon _{abcd}=-\epsilon ^{abcd}={\begin{cases}+1&{\mbox{if }}\{abcd\}{\mbox{ is an even permutation of }}\{0123\},\-1&{\mbox{if }}\{abcd\}{\mbox{ is an odd permutation of }}\{0123\},\0&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}
F
a b
=
[
0
E
x
/
c
E
y
/
c
E
z
/
c
−
E
x
/
c
0
−
B
z
B
y
−
E
y
/
c
B
z
0
−
B
x
−
E
z
/
c
−
B
y
B
x
0
]
{\displaystyle F_{ab}={\begin{bmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}}
G
c d
=
1 2
ϵ
a b c d
F
a b
=
[
0
B
x
B
y
B
z
−
B
x
0
−
E
z
/
c
E
y
/
c
−
B
y
E
z
/
c
0
−
E
x
/
c
−
B
z
−
E
y
/
c
E
x
/
c
0
]
{\displaystyle G_{cd}={\frac {1}{2}}\epsilon _{abcd}F^{ab}={\begin{bmatrix}0&B_{x}&B_{y}&B_{z}\-B_{x}&0&-E_{z}/c&E_{y}/c\-B_{y}&E_{z}/c&0&-E_{x}/c\-B_{z}&-E_{y}/c&E_{x}/c&0\end{bmatrix}}}
Гл. таксама
Тэмы гэтай старонкі (2):Катэгорыя·Артыкулы са сцвярджэннямі без крыніц
Катэгорыя·Спецыяльная тэорыя адноснасці