Тэорыя Галуа — раздзел алгебры, які дазваляе перафармуляваць пэўныя пытанні тэорыі палёў на мове тэорыі груп, робячы іх у пэўным сэнсе больш простымі. Эварыст Галуа сфармуляваў асноўныя сцвярджэнні гэтай тэорыі ў тэрмінах перастановак каранёў зададзенага мнагачлена (з рацыянальнымі каэфіцыентамі); ён быў першым, хто выкарыстаў тэрмін «група» для апісання мноства перастановак, якое замкнута адносна кампазіцыі і змяшчае тоесную перастаноўку. Больш сучасны падыход да тэорыі Галуа заключаецца ў вывучэнні аўтамарфізмаў пашырэння адвольнага поля пры дапамозе групы Галуа, якая адпавядае гэтаму пашырэнню.
Тэорыя Галуа дае адзіны элегантны падыход да рашэння такіх класічных задач як
Сіметрыі каранёў — такія перастаноўкі на мностве каранёў мнагачлена, для якіх любому алгебраічнаму ўраўненню з рацыянальнымі каэфіцыентамі (з некалькімі зменнымі), якому задавальняюць карані, задавальняюць і перастаўленныя карані.
У мнагачлена другой ступені a x² + b x + c ёсць два карані x1 і x2, сіметрычныя адносна кропкі x=-b/2a. Магчымыя два варыянты:
Z
/
2
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }
.
Разгледзім цяпер мнагачлен (x²−5)²−24.
Яго карані:
2
3
2
−
3
−
2
3
−
2
−
3
{\displaystyle a={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}},b={\sqrt {2}}-{\sqrt {3}},c=-{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}},d=-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}
.
Існуе 4! = 24 розныя перастаноўкі каранёў гэтага ўраўнення, але не ўсе яны з’яўляюцца сіметрыямі. Элементы групы Галуа павінны захоўваць любыя алгебраічныя ўраўненні з рацыянальнымі каэфіцыентамі.
Адно з такіх ураўненняў — a+d=0. Паколькі a+c≠0, перастаноўка a→a, b→b, c→d, d→c не ўваходзіць у групу Галуа.
Акрамя таго, можна заўважыць, што (a+b)²=8, але (a+c)²=12. Таму перастаноўка a→a, b→c, c→b, d→d не ўваходзіць у групу.
Канчаткова можна атрымаць, што група Галуа мнагачлена складаецца з чатырох перастановак:
(a, b, c, d) → (a, b, c, d) (a, b, c, d) → (c, d, a, b) (a, b, c, d) → (b, a, d, c) (a, b, c, d) → (d, c, b, a) і з’яўляецца чацвярной групай Клейна, ізаморфнай
(
Z
/
2
Z
) × (
Z
/
2
Z
)
{\displaystyle (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\times (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}
.
Тэорыя палёў дае больш агульнае вызначэнне групы Галуа як групы аўтамарфізмаў адвольнага пашырэння Галуа. Сярод іншага, на гэтай мове можна сфармуляваць усе сцвярджэнні адносна «сіметрыі» каранёў мнагачлена. А іменна, няхай каэфіцыенты дадзенага мнагачлена належаць полю K. Разгледзім алгебраічнае пашырэнне L поля K каранямі мнагачлена. Тады група Галуа мнагачлена — гэта група аўтамарфізмаў поля L, якія пакідаюць элементы поля K на месцы, г.зн. група Галуа пашырэння
L ⊃ K
{\displaystyle L\supset K}
. Напрыклад, у папярэднім прыкладзе была разгледжана група Галуа пашырэння
Q
(
2
,
3
) ⊃
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\supset \mathbb {Q} }
.
Яшчэ больш абстрактны падыход да тэорыі Галуа быў распрацаваны Аляксандрам Гротэндзікам у 1960 годзе. Гэты падыход дазваляе прымяніць асноўныя вынікі тэорыі Галуа да любой катэгорыі, якая валодае зададзенымі ўласцівасцямі (напрыклад, існаваннем каздабыткаў і дэкартавых квадратаў). У прыватнасці, гэта дазваляе перанесці вынікі тэорыі Галуа ў тэорыю накрыццяў. Для таго, каб прымяніць гэтую тэорыю да катэгорыі пашырэнняў палёў, патрабуецца вывучэнне ўласцівасцей тэнзарных здабыткаў палёў[en].
Рашэнні полінаміяльнага ўраўнення P(x)=0 выражаюцца ў радыкалах тады і толькі тады, калі група Галуа дадзенага ўраўнення вырашальная.
Для любога n існуе ўраўненне n-й ступені, група Галуа якога ізаморфная сіметрычнай групе S**n, г.зн. складаецца з усіх магчымых перастановак. Паколькі групы S**n пры n> 4 не з’яўляюцца вырашальнымі, існуюць мнагачлены ступені n, карані якіх нельга прадставіць пры дапамозе радыкалаў — тэарэма Абеля-Руфіні.
Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.) Математика XIX века. М.: Наука.
Том 1 Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей. 1978.(недаступная спасылка)
Постников М. М. Теория Галуа.(недаступная спасылка) М.: Физматгиз, 1963.
Grothendieck, Alexander; Raynaud, Michèle (2003) [1971], Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1), Documents Mathématiques (Paris) [Mathematical Documents (Paris)] 3, Paris: Société Mathématique de France, arXiv: math/0206203 — ISBN 978-2-85629-141-2
Скопенков А. Б. Some more proofs from the Book: solvability and insolvability of equations in radicals.
Lerner L. Galois Theory without abstract algebra.
Эмиль Артин. Теория Галуа. / Пер. с англ. А. В. Самохина. — 2-е изд. стереотипное. — М.: МЦНМО, 2008. — 66 с. — (Классические монографии: математика). — ISBN 978-5-94057-062-2.