Тэарэма Эмі Нётэр сцвярджае, што кожнай неперарыўнай сіметрыі фізічнай сістэмы адпавядае некаторы закон захавання.
Так, закон захавання энергіі адпавядае аднароднасці часу,
закон захавання імпульсу — аднароднасці прасторы,
закон захавання моманту імпульсу — ізатрапіі прасторы,
закон захавання электрычнага зараду — калібровачнай сіметрыі і г. д.
Тэарэма звычайна фармулюецца для сістэм, якія валодаюць функцыяналам дзеяння, і выражае сабой інварыянтнасць лагранжыяна адносна некаторай неперарыўнай групы пераўтварэнняў.
Тэарэма ўстаноўлена ў працах навукоўцаў Гётынгенскай школы Д. Гільберта, Ф. Клейна і Э. Нётэр. У найбольш распаўсюджанай фармулёўцы была даказана Эмі Нётэр ў 1918 годзе.
Кожнай аднапараметрычнай групе дыфеамарфізмаў
g
s
(
q
i
)
{\displaystyle g^{s}(q_{i})}
, якія захоўваюць функцыю Лагранжа, адпавядае першы інтэграл сістэмы, роўны
∑
1
n
(
d
d s
g
s
(
q
i
)
)
∂ L
∂
q ˙
i
{\displaystyle I=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {d}{ds}}g^{s}(q_{i})\right){\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}}
У тэрмінах інфінітэзімальных пераўтварэнняў, хай інфінітэзімальнае пераўтварэнне каардынат мае выгляд
g
s
(
q →
q →
0
s
ψ →
(
q →
, t )
{\displaystyle g^{s}({\vec {q}})={\vec {q}}_{0}+s{\vec {\psi }}({\vec {q}},t)}
і функцыя Лагранжа
L ( q ,
q ˙
, t )
{\displaystyle L(q,{\dot {q}},t)}
інварыянтная адносна гэтых пераўтварэнняў, гэта значыць
d
d s
L (
q →
0
s
ψ →
(
q →
, t ) ,
q →
0
˙
s
ψ →
˙
(
q →
0
{\displaystyle {\frac {d}{ds}}L({\vec {q}}_{0}+s{\vec {\psi }}({\vec {q}},t),{\dot {{\vec {q}}_{0}}}+s{\dot {\vec {\psi }}}({\vec {q}},t),t)=0}
Тады ў сістэмы існуе першы інтэграл, роўны
(
ψ →
(
q →
, t ) ;
∂ L
∂
q →
˙
)
=
∑
1
n
ψ
i
(
q →
, t )
∂ L
∂
q ˙
i
.
{\displaystyle I=\left({\vec {\psi }}({\vec {q}},t);{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\vec {q}}}}}\right)=\sum _{i=1}^{n}\psi _{i}({\vec {q}},t){\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}.}
Тэарэму можна абагульніць на выпадак пераўтварэнняў, якія закранаюць таксама і час, калі прадставіць яе рух як працэс, што залежыць ад некаторага параметра
τ
{\displaystyle \tau }
, прычым у працэсе руху
τ
{\displaystyle t=\tau }
. Тады з пераўтварэнняў
g
s
(
q →
q →
0
s
ψ →
(
q →
, t )
{\displaystyle g^{s}({\vec {q}})={\vec {q}}_{0}+s{\vec {\psi }}({\vec {q}},t)}
g
s
t
0
s ξ (
q →
, t )
{\displaystyle g^{s}(t)=t_{0}+s\xi ({\vec {q}},t)}
вынікае першы інтэграл
ξ L +
(
ψ →
− ξ
q →
˙
;
∂ L
∂
q →
˙
)
{\displaystyle I=\xi L+\left({\vec {\psi }}-\xi {\dot {\vec {q}}};{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\vec {q}}}}}\right)}
Тэарэма Нётэр дапускае прамое абагульненне на выпадкі сістэм з бесканечным лікам ступеней свабоды, прыкладам якіх з’яўляюцца гравітацыйнае і электрамагнітнае поле. А менавіта, няхай функцыя Лагранжа сістэмы залежыць ад
n
{\displaystyle n}
патэнцыялаў, якія залежаць, у сваю чаргу, ад
k
{\displaystyle k}
каардынат. Функцыянал дзеяння будзе мець выгляд
∫ L (
A
i
,
∂
μ
A
i
,
x
μ
)
d Ω ,
1 , … ,
n ,
1 ,
… ,
k ,
d
x
1
… d
x
k
.
{\displaystyle S=\int L(A^{i},;\partial _{\mu }A^{i},;x^{\mu }),d\Omega ,\quad i=1,\ldots ,;n,\quad \mu =1,;\ldots ,;k,\quad d\Omega =dx^{1}\ldots dx^{k}.}
Няхай аднапараметрычная група
g
s
{\displaystyle g^{s}}
дыфеамарфізмаў прасторы патэнцыялаў захоўвае функцыю Лагранжа, тады захоўваецца вектар
J
μ
=
(
d
d s
g
s
A
i
)
∂ L
∂ (
∂
μ
A
i
)
,
{\displaystyle J^{\mu }=\left({\frac {d}{ds}}g^{s}A^{i}\right){\frac {\partial L}{\partial (\partial _{\mu }A^{i})}},}
званы вектарам патоку Нётэр. Па індэксах, якія паўтараюцца, падразумяваецца падсумоўванне,
∂
μ
=
∂
∂
x
μ
{\displaystyle \partial _{\mu }={\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}}
. Сэнс захавання вектара патоку Нётэр ў тым, што
∂
μ
J
μ
= 0 ,
{\displaystyle \ \partial _{\mu }J^{\mu }=0,}
таму паток
J
{\displaystyle J}
праз любую замкнёную паверхню ў прасторы каардынат роўны 0. У прыватнасці, калі вылучыць сярод каардынат адну, званую часам, і разгледзець гіперплоскасці пастаяннага часу, то паток
J
{\displaystyle J}
праз такую гіперплоскасць пастаянны ў часе, пры ўмове досыць хуткага змяншэння поля на бесканечнасці і некампактнай гіперпаверхні, каб паток вектара праз бакавую мяжу вобласці прасторы паміж дзвюма гіперпаверхнямі быў роўны 0. У класічнай тэорыі поля такой уласцівасцю валодае, напрыклад, тэнзар энергіі-імпульсу для электрамагнітнага поля. У вакууме лагранжыян поля не залежыць яўна ад каардынат, таму паяўляецца велічыня, якая захоўваецца і звязваецца з патокам энергіі-імпульсу.
Хай маецца варыяцыйная задача з функцыяналам дзеяння
∫ L (
u →
,
x →
, … )
d
x
{\displaystyle S=\int L({\vec {u}},{\vec {x}},\dots ),d{\boldsymbol {x}}}
. Тут
L
{\displaystyle L}
— лагранжыян,
x
{\displaystyle x}
— незалежныя зменныя,
u
{\displaystyle u}
— залежныя зменныя, гэта значыць функцыі ад
x
{\displaystyle x}
.
L
{\displaystyle L}
можа залежаць таксама і ад вытворных
u
{\displaystyle u}
па
x
{\displaystyle x}
, не абавязкова толькі першага парадку.
Варыяцыйная задача для такога функцыянала прыводзіць да дыферэнцыяльных ураўненняў Эйлера — Лагранжа, якія можна запісаць у выглядзе
E
α
1 … q ,
{\displaystyle \mathrm {E_{\alpha }} (L)=0~,~\alpha =1\dots q,}
дзе
E
{\displaystyle \mathrm {E} }
— аператары Эйлера-Лагранжа:
E
α
=
∂
∂
u
α
−
∑
1
p
d
d
x
i
∂
∂
u
x
i
α
… ,
{\displaystyle \mathrm {E_{\alpha }} ={\frac {\partial }{\partial u_{\alpha }}}-\sum _{i=1}^{p}{\frac {d}{dx_{i}}}{\frac {\partial }{\partial u_{x_{i}}^{\alpha }}}+\dots ,}
u
x
i
α
{\displaystyle u_{x_{i}}^{\alpha }}
— вытворная функцыі
u
α
{\displaystyle u^{\alpha }}
па зменнай
x
i
{\displaystyle x_{i}}
. Шматкроп’е азначае, што калі
L
{\displaystyle L}
залежыць ад вытворных парадку вышэй першага, то трэба дадаць адпаведныя складнікі ў
E
{\displaystyle \mathrm {E} }
. У кампактным запісе
E
α
=
∑
J
( − D
)
J
∂
∂
u
J
α
{\displaystyle \mathrm {E_{\alpha }} =\sum _{J}(-D)_{J}{\frac {\partial }{\partial u_{J}^{\alpha }}}}
, дзе
J
{\displaystyle J}
— мультыіндэкс. Сумаванне вядзецца па ўсіх складніках такіх, што вытворная
u
J
α
{\displaystyle u_{J}^{\alpha }}
ўваходзіць у
L
{\displaystyle L}
.
Тэарэма Нётэр звязвае так званыя варыяцыйныя сіметрыі функцыянала
S
{\displaystyle S}
з законамі захавання, якія будуць выконвацца на рашэннях ураўненняў Эйлера — Лагранжа.
Закон захавання для сістэмы дыферэнцыяльных ураўненняў — гэта выраз выгляду
D i v
P →
= 0 ,
{\displaystyle \mathrm {Div} {\vec {P}}=0,}
які справядліў на рашэннях гэтай сістэмы, г. зн. такі, што калі падставіць у яго гэтыя дыферэнцыяльныя ўраўненні, атрымаецца тоеснасць. У дадзеным выпадку разглядаюцца дыферэнцыяльныя ўраўненні Эйлера — Лагранжа. Тут
D i v
{\displaystyle \mathrm {Div} }
— поўная дывергенцыя (дывергенцыя з поўнымі вытворнымі) па
x
{\displaystyle x}
.
P →
{\displaystyle {\vec {P}}}
— гладкія функцыі
u
{\displaystyle u}
,
x
{\displaystyle x}
і вытворных
u
{\displaystyle u}
па
x
{\displaystyle x}
.
Трывіяльнымі законамі захавання называюцца законы захавання,
D i v
P →
= 0
{\displaystyle \mathrm {Div} {\vec {P}}=0}
само па сабе з’яўляецца тоеснасцю без уліку якіх-небудзь дыферэнцыяльных ураўненняў;
P →
{\displaystyle {\vec {P}}}
ператвараецца ў 0 адразу пры падстаноўцы дыферэнцыяльных ураўненняў, без вылічэння дывергенцыі (захоўваецца тоесны нуль на рашэннях);
P →
{\displaystyle {\vec {P}}}
ёсць лінейная камбінацыя папярэдніх тыпаў.
Калі для двух законаў захавання з функцыямі
P →
{\displaystyle {\vec {P}}}
і
R →
{\displaystyle {\vec {R}}}
рознасць
P →
−
R →
{\displaystyle {\vec {P}}-{\vec {R}}}
дае трывіяльны закон захавання, такія два закона захавання называюцца эквівалентнымі.
Кожны закон захавання эквівалентны закону захавання ў характарыстычнай форме — гэта значыць такому, для якога
D i v
P →
=
Q →
⋅
Δ →
,
{\displaystyle \mathrm {Div} {\vec {P}}={\vec {Q}}\cdot {\vec {\Delta }},}
дзе
Δ
{\displaystyle \Delta }
— выразы, якія ўваходзяць у вызначэнне сістэмы дыферэнцыяльных ураўненняў:
Δ →
= 0
{\displaystyle {\vec {\Delta }}=0}
. Для апісанага выпадку
Δ
α
=
E
α
( L )
{\displaystyle \Delta _{\alpha }=E_{\alpha }(L)}
і
D i v
P →
=
∑
α
Q
α
E
α
( L ) .
{\displaystyle \mathrm {Div} {\vec {P}}=\sum _{\alpha }Q_{\alpha }E_{\alpha }(L).}
Q
α
{\displaystyle Q_{\alpha }}
залежаць ад
u
{\displaystyle u}
,
x
{\displaystyle x}
і вытворных
u
{\displaystyle u}
па
x
{\displaystyle x}
і называюцца характарыстыкамі закона захавання.
Хай маецца абагульненае вектарная поле
v →
=
∑
1
p
ξ
i
∂
∂
x
i
∑
1
q
φ
α
∂
∂
u
α
.
{\displaystyle {\vec {v}}=\sum _{i=1}^{p}\xi ^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\sum _{\alpha =1}^{q}\varphi _{\alpha }{\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}.}
«Абагульненае» разумеецца ў тым сэнсе, што
ξ
{\displaystyle \xi }
і
φ
{\displaystyle \varphi }
могуць залежаць не толькі ад
u
{\displaystyle u}
і
x
{\displaystyle x}
, але і ад вытворных
u
{\displaystyle u}
па
x
{\displaystyle x}
.
Азначэнне:
v →
{\displaystyle {\vec {v}}}
называецца варыяцыйнай сіметрыяй функцыянала
S
{\displaystyle S}
, калі існуе набор функцый
B
→
(
u →
,
x →
, … )
{\displaystyle {\vec {\mathrm {B} }}({\vec {u}},{\vec {x}},\dots )}
такі, што
p r
v →
( L ) + L
D i v
ξ →
=
D i v
B
→
.
{\displaystyle \mathrm {pr} ,{\vec {v}}(L)+L,\mathrm {Div} {\vec {\xi }}=\mathrm {Div} ,{\vec {\mathrm {B} }}.}
p r
v →
{\displaystyle \mathrm {pr} ,{\vec {v}}}
— працяг
v →
{\displaystyle {\vec {v}}}
. Працяг ўлічвае, што дзеянне
v →
{\displaystyle {\vec {v}}}
на
u
{\displaystyle u}
і
x
{\displaystyle x}
выклікае таксама інфінітэзімальную змену вытворных, і задаецца формуламі
p r
v →
=
v →
∑
α , J
φ
α
J
∂
∂
u
J
α
,
φ
α
J
=
D
J
(
φ
α
−
∑
i
ξ
i
u
i
α
)
.
{\displaystyle \mathrm {pr} ,{\vec {v}}={\vec {v}}+\sum _{\alpha ,J}\varphi _{\alpha }^{J}{\frac {\partial }{\partial u_{J}^{\alpha }}}~,~\varphi _{\alpha }^{J}=D_{J}{\bigl (}\varphi _{\alpha }-\sum _{i}\xi ^{i}u_{i}^{\alpha }{\bigr )}.}
У формуле для працягу неабходна браць, акрамя
v →
{\displaystyle {\vec {v}}}
, складнікі з такімі
∂
/
∂
u
J
α
{\displaystyle \partial /\partial u_{J}^{\alpha }}
, для якіх
u
J
α
{\displaystyle u_{J}^{\alpha }}
ўваходзяць у
L
{\displaystyle L}
або, у агульным выпадку, у той выраз, на які працяг дзейнічае.
Сэнс вызначэння варыяцыйнай сіметрыі заключаецца ў тым, што
v →
{\displaystyle {\vec {v}}}
— гэта інфінітэзімальныя пераўтварэнні, якія ў першым парадку мяняюць функцыянал
S
{\displaystyle S}
такім чынам, што ўраўненні Эйлера — Лагранжа пераўтвараюцца ў эквівалентныя. Справядлівая
тэарэма: калі
v →
{\displaystyle {\vec {v}}}
з’яўляецца варыяцыйнай сіметрыяй, то
v →
{\displaystyle {\vec {v}}}
з’яўляецца (абагульненай) сіметрыяй ураўненняў Эйлера — Лагранжа:
p r
v →
E
α
( L )
|
E
→
0
= 0.
{\displaystyle \mathrm {pr} ,{\vec {v}},\mathrm {E} _{\alpha }(L)\vert _{{\vec {\mathrm {E} }}(L)=0}=0.}
Гэта формула азначае, што інфінітэзімальныя змены выразаў
E
α
( L )
{\displaystyle \mathrm {E} _{\alpha }(L)}
, запісаныя тут у выглядзе
p r
v →
E
α
( L )
{\displaystyle \mathrm {pr} ,{\vec {v}},\mathrm {E} _{\alpha }(L)}
, ператвараюцца ў 0 на рашэннях.
Набор функцый
Q
α
=
φ
α
−
∑
i
ξ
i
u
i
α
{\displaystyle Q_{\alpha }=\varphi _{\alpha }-\sum _{i}\xi ^{i}u_{i}^{\alpha }}
(у абазначэннях, дадзеных вышэй) завецца характарыстыкай вектарнага поля
v →
{\displaystyle {\vec {v}}}
. Замест
v →
{\displaystyle {\vec {v}}}
можна браць вектарнае поле
v →
Q
=
∑
α
Q
α
∂
∂
u
α
,
{\displaystyle {\vec {v}}_{Q}=\sum _{\alpha }Q_{\alpha }{\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}},}
якое называецца эвалюцыйным прадстаўніком
v →
{\displaystyle {\vec {v}}}
.
v →
{\displaystyle {\vec {v}}}
і
v →
Q
{\displaystyle {\vec {v}}_{Q}}
вызначаюць па сутнасці адну і тую ж сіметрыю, таму, калі вядомыя характарыстыкі
Q
α
{\displaystyle Q_{\alpha }}
, можна лічыць, што тым самым зададзена і сіметрыя. Працяг
v →
Q
{\displaystyle {\vec {v}}_{Q}}
вызначаецца аналагічна працягу
v →
{\displaystyle {\vec {v}}}
, але фармальна прасцей, бо не трэба асобна ўлічваць ўклад ад
ξ
{\displaystyle \xi }
.
Тэарэма Нётэр ўстанаўлівае сувязь паміж характарыстыкамі законаў захавання і характарыстыкамі вектарных палёў.
Абагульненае вектарнае поле
v →
{\displaystyle {\vec {v}}}
вызначае групу сіметрыі функцыянала
S
{\displaystyle S}
у тым і толькі ў тым выпадку, калі яго характарыстыка
Q →
{\displaystyle {\vec {Q}}}
з’яўляецца характарыстыкай закона захавання
D i v
P →
= 0
{\displaystyle \mathrm {Div} {\vec {P}}=0}
для адпаведных ураўненняў Эйлера — Лагранжа.
У класічнай механіцы законы захавання энергіі, імпульсу і моманту імпульсу выводзяцца з аднароднасці/ізатропнасці лагранжыяна сістэмы — лагранжыян (функцыя Лагранжа) не мяняецца з часам сам па сабе і не змяняецца пераносам або паваротам сістэмы ў прасторы. Па сутнасці, гэта азначае тое, што пры разглядзе нейкай замкнёнай у лабараторыі сістэмы будуць атрыманы адны і тыя ж вынікі незалежна ад размяшчэння лабараторыі і часу правядзення эксперыменту. Іншыя сіметрыі лагранжыяна сістэмы, калі яны ёсць, ці адпавядаюць іншым велічыням, што захоўваюцца ў дадзенай сістэме (інтэграле руху); напрыклад, сіметрыя лагранжыяна гравітацыйнай і кулонаўскай задачы двух цел прыводзіць да захавання не толькі энергіі, імпульсу і моманту імпульсу, але і вектара Лапласа — Рунге — Ленца.