wd wp Пошук: ⬜

Сярэднеквадратычнае адхіленне

Сярэднеквадраты́чнае адхіле́нне (таксама квадраты́чнае адхіле́нне, квадраты́чная памы́лка, станда́ртнае адхіле́нне) — у тэорыі імавернасцей і матэматычнай статыстыцы найбольш распаўсюджаны паказнік рассейвання значэнняў выпадковай велічыні адносна яе матэматычнага спадзявання.

Квадратычнае адхіленне велічынь x1, x2, …, x**n ад велічыні a вызначаецца як

σ

1 n

∑

i

(

− a

)

{\displaystyle \sigma ={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-a\right)^{2}}}.}

$\{\displaystyle \sigma =\{\sqrt \{\{\frac \{1\}\{n\}\}\sum \{i=1\}^\{n\}\left(x\{i\}-a\right)^\{2\}\}\}.\}$ Найменшае значэнне квадратычнае адхіленне мае, калі a роўнае сярэдняму арыфметычнаму x1, x2, …, x**n:

a

x ¯

1 n

∑

i

{\displaystyle a={\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}.}

$\{\displaystyle a=\{\bar \{x\}\}=\{\frac \{1\}\{n\}\}\sum \{i=1\}^\{n\}x\{i\}.\}$ У гэтым выпадку квадратычнае адхіленне служыць паказчыкам рассеянасці мноства значэнняў.

У тэорыі імавернасцей, сярэднім квадратычным адхіленнем (або стандартным адхіленнем) выпадковай велічыні называецца квадратны корань з яе дысперсіі:

σ [ X ]

D [ X ]

{\displaystyle \sigma [X]={\sqrt {D[X]}}.}

$\{\displaystyle \sigma [X]=\{\sqrt \{D[X]\}\}.\}$ На практыцы сярэднеквадратычнае адхіленне дазваляе ацаніць, наколькі значэнні ў мностве могуць адрознівацца ад сярэдняга значэння.

Асноўныя звесткі

Квадратычнае адхіленне вымяраецца ў адзінках вымярэння самой выпадковай велічыні і выкарыстоўваецца пры разліку стандартнай памылкі сярэдняга арыфметычнага, пры пабудове давяральных інтэрвалаў, пры статыстычнай праверцы гіпотэз, пры вымярэнні лінейнай узаемасувязі паміж выпадковымі велічынямі. Вызначаецца квадратычнае адхіленне як квадратны корань з дысперсіі выпадковай велічыні.

Сярэднеквадратычнае адхіленне:

σ

1 n

∑

i

(

−

x ¯

)

{\displaystyle \sigma ={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}}.}

$\{\displaystyle \sigma =\{\sqrt \{\{\frac \{1\}\{n\}\}\sum \{i=1\}^\{n\}\left(x\{i\}-\{\bar \{x\}\}\right)^\{2\}\}\}.\}$ Статыстычнае стандартнае адхіленне — ацэнка сярэднеквадратычнага адхілення выпадковай велічыні x адносна яе матэматычнага спадзявання на аснове нязрушанай ацэнкі яе дысперсіі:

s

n − 1

∑

i

(

−

x ¯

)

{\displaystyle s={\sqrt {{\frac {n}{n-1}}\sigma ^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}},}

$\{\displaystyle s=\{\sqrt \{\{\frac \{n\}\{n-1\}\}\sigma ^\{2\}\}\}=\{\sqrt \{\{\frac \{1\}\{n-1\}\}\sum \{i=1\}^\{n\}\left(x\{i\}-\{\bar \{x\}\}\right)^\{2\}\}\},\}$ дзе

{\displaystyle \sigma ^{2}}

$\{\displaystyle \sigma ^\{2\}\}$ — дысперсія;

{\displaystyle x_{i}}

$\{\displaystyle x_\{i\}\}$ — i-ы элемент выбаркі;

{\displaystyle n}

$\{\displaystyle n\}$ — аб’ём выбаркі;

x ¯

{\displaystyle {\bar {x}}}

$\{\displaystyle \{\bar \{x\}\}\}$ — сярэдняе арыфметычнае выбаркі:

x ¯

1 n

∑

i

1 n

(

… +

) .

{\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}={\frac {1}{n}}(x_{1}+\ldots +x_{n}).}

$\{\displaystyle \{\bar \{x\}\}=\{\frac \{1\}\{n\}\}\sum \{i=1\}^\{n\}x\{i\}=\{\frac \{1\}\{n\}\}(x_\{1\}+\ldots +x_\{n\}).\}$ Варта адзначыць, што абедзве ацэнкі з’яўляюцца зрушанымі. У агульным выпадку нязрушаную ацэнку пабудаваць немагчыма. Але ацэнка на аснове ацэнкі нязрушанай дысперсіі з’яўляецца слушнаю.

Правіла трох сігм

Правіла трох сігм (3σ) — практычна ўсе значэнні нармальна размеркаванай выпадковай велічыні ляжаць у прамежку

(

x ¯

− 3 σ ;

x ¯

3 σ

)

{\displaystyle \left({\bar {x}}-3\sigma ;{\bar {x}}+3\sigma \right)}

$\{\displaystyle \left(\{\bar \{x\}\}-3\sigma ;\{\bar \{x\}\}+3\sigma \right)\}$ . Больш строга — прыблізна з 99,73 %-най імавернасцю значэнне нармальна размеркаванай выпадковай велічыні ляжыць у згаданым прамежку (пры ўмове, што велічыня

x ¯

{\displaystyle {\bar {x}}}

$\{\displaystyle \{\bar \{x\}\}\}$ сапраўдная, а не атрыманая ў выніку апрацоўкі выбаркі).

Калі ж сапраўдная велічыня

x ¯

{\displaystyle {\bar {x}}}

$\{\displaystyle \{\bar \{x\}\}\}$ невядома, то трэба карыстацца не

{\displaystyle \sigma }

$\{\displaystyle \sigma \}$ , а s. Такім чынам, правіла трох сігм ператвараецца ў правіла трох s.

Вытлумачэнне велічыні квадратычнага адхілення

Вялікае значэнне квадратычнага адхілення паказвае вялікі роскід значэнняў у мностве адносна сярэдняга значэння; маленькае значэнне, адпаведна, паказвае, што значэнні ў мностве групуюцца вакол сярэдняга значэння.

У агульным сэнсе квадратычнае адхіленне можна лічыць мераю нявызначанасці. Напрыклад, у фізіцы квадратычнае адхіленне прымяняецца для вызначэння хібнасці паслядоўнасці вымярэнняў якой-небудзь велічыні.

Гл. таксама

Літаратура

Квадратичное отклонение // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.). — М.: Советская энциклопедия. — Т. 2.
Вентцель Е. С. Глава 14. Обработка опытов // Теория вероятностей. — М.: Наука, 1969. — 576 с.
Боровиков, В. STATISTICA. Искусство анализа данных на компьютере: Для профессионалов / В. Боровиков. — СПб.: Питер, 2003. — 688 с. — ISBN 5-272-00078-1..

Спасылкі

Weisstein, Eric W. Standard Deviation(англ.) на старонцы Wolfram MathWorld.

Тэмы гэтай старонкі (5):
Катэгорыя·Тэорыя імавернасцей
Катэгорыя·Вікіпедыя·Запыты на пераклад з рускай
Катэгорыя·Сярэднія велічыні
Катэгорыя·Статыстыка
Катэгорыя·Матэматычная статыстыка