wd wp Пошук: ⬜

Рэлятывісцкая механіка

Рэлятыві́сцкая меха́ніка — раздзел фізікі, які разглядае законы механікі (законы руху цел і часціц) пры скарасцях, параўнальных са скорасцю святла. Пры скарасцях, значна меншых за скорасць святла, пераходзіць у класічную (ньютанаўскую) механіку.

Агульныя прынцыпы

У класічнай механіцы прасторавыя каардынаты і час з’яўляюцца незалежнымі (пры адсутнасці сувязей, якія залежаць ад часу), час з’яўляецца абсалютным, гэта значыць, што ён цячэ аднолькава ва ўсіх сістэмах адліку, і дзейнічаюць пераўтварэнні Галілея. У рэлятывісцкай жа механіцы падзеі адбываюцца ў чатырохмернай прасторы (т.зв. «прасторы Мінкоўскага»), якая аб’ядноўвае фізічную трохмерную прастору і час. У прасторы Мінкоўскага пераход ад адной інерцыяльнай сістэмы адліку да другой адпавядае пераўтварэнням Лорэнца. Такім чынам, у адрозненне ад класічнай механікі, адначасовасць падзей залежыць ад выбару сістэмы адліку.

Асноўныя законы рэлятывісцкай механікі — рэлятывісцкае абагульненне другога закона Ньютана і рэлятывісцкі закон захавання энергіі-імпульсу — з’яўляюцца вынікам такога «змяшэння» прасторавых і часавых каардынат пры пераўтварэннях Лорэнца.

Другі закон Ньютана ў рэлятывісцкай механіцы

Сіла вызначаецца як

F →

p →

d t

{\displaystyle {\vec {F}}={\frac {d{\vec {p}}}{dt}},}

$\{\displaystyle \{\vec \{F\}\}=\{\frac \{d\{\vec \{p\}\}\}\{dt\}\},\}$ дзе

p →

{\displaystyle {\vec {p}}}

$\{\displaystyle \{\vec \{p\}\}\}$ — рэлятывісцкі імпульс, вызначаны па формуле:

p →

v →

1 −

{\displaystyle {\vec {p}}={\frac {m{\vec {v}}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}.}

$\{\displaystyle \{\vec \{p\}\}=\{\frac \{m\{\vec \{v\}\}\}\{\sqrt \{1-v^\{2\}/c^\{2\}\}\}\}.\}$ Каб вызначыць сілу, возьмем вытворную па часу ад апошняга выразу і атрымаем:

p →

d t

= m γ

a →

β →

(

β →

a →

) ,

{\displaystyle {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}=m\gamma {\vec {a}}+m\gamma ^{3}{\vec {\beta }}({\vec {\beta }}{\vec {a}}),}

$\{\displaystyle \{\frac \{d\{\vec \{p\}\}\}\{dt\}\}=m\gamma \{\vec \{a\}\}+m\gamma ^\{3\}\{\vec \{\beta \}\}(\{\vec \{\beta \}\}\{\vec \{a\}\}),\}$ дзе

β →

v →

;

{\displaystyle {\vec {\beta }}:={\frac {\vec {v}}{c}};}

$\{\displaystyle \{\vec \{\beta \}\}:=\{\frac \{\vec \{v\}\}\{c\}\};\}$

γ :=

1 −

{\displaystyle \gamma :={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}.}

$\{\displaystyle \gamma :=\{\frac \{1\}\{\sqrt \{1-v^\{2\}/c^\{2\}\}\}\}.\}$ У выніку выраз для сілы набывае выгляд:

F →

= m γ

a →

β →

(

β →

a →

) .

{\displaystyle {\vec {F}}=m\gamma {\vec {a}}+m\gamma ^{3}{\vec {\beta }}({\vec {\beta }}{\vec {a}}).}

$\{\displaystyle \{\vec \{F\}\}=m\gamma \{\vec \{a\}\}+m\gamma ^\{3\}\{\vec \{\beta \}\}(\{\vec \{\beta \}\}\{\vec \{a\}\}).\}$ Адсюль відаць, што ў рэлятывісцкай механіцы, у адрозненне ад нерэлятывісцкага выпадку, паскарэнне не абавязкова накіраванае па сіле, у агульным выпадку паскарэнне мае таксама і складнік, накіраваны па скорасці.

Функцыя Лагранжа свабоднай часціцы ў рэлятывісцкай механіцы

Запішам інтэграл дзеяння, зыходзячы з прынцыпу найменшага дзеяння:

S

−

∫

α d s ,

{\displaystyle S=-\int \limits _{a}^{b}\alpha ds,}

$\{\displaystyle S=-\int \limits _\{a\}^\{b\}\alpha ds,\}$ дзе

{\displaystyle \alpha }

$\{\displaystyle \alpha \}$ — дадатны лік. Як вядома са спецыяльнай тэорыі адноснасці

d s

1 −

d t ,

{\displaystyle ds=c{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}dt,}

$\{\displaystyle ds=c\{\sqrt \{1-v^\{2\}/c^\{2\}\}\}dt,\}$ падстаўляючы ў інтэграл руху, знаходзім:

S

−

∫

α c

1 −

d t .

{\displaystyle S=-\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}\alpha c{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}dt.}

$\{\displaystyle S=-\int \limits \{t\{1\}\}^\{t_\{2\}\}\alpha c\{\sqrt \{1-v^\{2\}/c^\{2\}\}\}dt.\}$ Але, з іншага боку, інтэграл руху, можна выразіць праз функцыю Лагранжа:

S

∫

d t .

{\displaystyle S=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {L}}dt.}

$\{\displaystyle S=\int \limits \{t\{1\}\}^\{t_\{2\}\}\{\mathcal \{L\}\}dt.\}$ Параўноўваючы апошнія два выразы, няцяжка зразумець, што падынтэгральныя выразы павінны быць роўныя, гэта значыць:

= − α c

1 −

{\displaystyle {\mathcal {L}}=-\alpha c{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}.}

$\{\displaystyle \{\mathcal \{L\}\}=-\alpha c\{\sqrt \{1-v^\{2\}/c^\{2\}\}\}.\}$ Далей, раскладзём апошні выраз па ступенях

v c

{\displaystyle {\frac {v}{c}},}

$\{\displaystyle \{\frac \{v\}\{c\}\},\}$ атрымаем:

≃ α c +

2 c

{\displaystyle {\mathcal {L}}\simeq \alpha c+{\frac {\alpha v^{2}}{2c}},}

$\{\displaystyle \{\mathcal \{L\}\}\simeq \alpha c+\{\frac \{\alpha v^\{2\}\}\{2c\}\},\}$ першы член раскладання не залежыць ад скорасці, а значыць не ўносіць ніякіх змен ва ўраўненні руху. Тады, параўноўваючы з класічным выразам функцыі Лагранжа:

{\displaystyle {\frac {mv^{2}}{2}}}

$\{\displaystyle \{\frac \{mv^\{2\}\}\{2\}\}\}$ , няцяжка вызначыць пастаянную

{\displaystyle \alpha }

$\{\displaystyle \alpha \}$ :

α

m c .

{\displaystyle \alpha =mc.}

$\{\displaystyle \alpha =mc.\}$ Такім чынам, канчаткова атрымліваем выгляд функцыі Лагранжа свабоднай часціцы:

= − m

1 −

{\displaystyle {\mathcal {L}}=-mc^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}.}

$\{\displaystyle \{\mathcal \{L\}\}=-mc^\{2\}\{\sqrt \{1-v^\{2\}/c^\{2\}\}\}.\}$ Меркаванні, прыведзеныя вышэй, можна разглядаць не толькі для часціцы, але і для адвольнага цела, галоўнае, каб яго часткі рухаліся як адно цэлае.

Гл. таксама

Зноскі

Літаратура

Рэлятывісцкая механіка // Беларуская энцыклапедыя: У 18 т. / Рэдкал.: Г. П. Пашкоў і інш.. — Мн.: БелЭн, 2002. — Т. 14: Рэле — Слаявіна. С. 9.
Паули В. Теория относительности. М.: Наука, 1991. 328 с.
Принцип относительности. Сборник работ по специальной теории относительности. М.: Атомиздат, 1973.
Уиттекер Э. История теории эфира и электричества. Современные теории 1900—1926. Пер с англ. Москва, Ижевск: ИКИ, 2004. 464с. ISBN 5-93972-304-7 (Глава 2)

Спасылкі

Релятивистская механика // Физическая энциклопедия.

Тэмы гэтай старонкі (6):
Катэгорыя·Тэарэтычная механіка
Катэгорыя·Вікіпедыя·Спасылкі на Беларускую энцыклапедыю з назвай артыкула
Катэгорыя·Вікіпедыя·Спасылкі на Беларускую энцыклапедыю без аўтара
Катэгорыя·Спецыяльная тэорыя адноснасці
Катэгорыя·Вікіпедыя·Спасылкі на Беларускую энцыклапедыю без нумароў старонак
Катэгорыя·Рэлятывісцкая механіка