wd wp Пошук: ⬜

Мера Хаусдорфа

У матэматыцы, меры Хаусдорфа — сямейства вонкавых мер, прапанаваных Феліксам Хаўсдорфам. Меры Хаусдорфа кожнаму падмноству прасторы

{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}

$\{\displaystyle \mathbb \{R\} ^\{n\}\}$ (ці больш агульна, любой метрычнай прасторы) ставяць у адпаведнасць некаторы неадмоўны лік або дадатную бесканечнасць. Нуль-мерная Хаусдорфава мера раўняецца колькасці пунктаў у мностве (калі мноства канечнае) ці +∞ (калі мноства бесканечнае). Аднамерная мера Хаусдорфа простай крывой у

{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}

$\{\displaystyle \mathbb \{R\} ^\{n\}\}$ раўняецца даўжыні гэтай крывой. Гэтак жа двухмерная Хаусдорфава мера вымернага мноства ў

{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}

$\{\displaystyle \mathbb \{R\} ^\{2\}\}$ прапарцыянальная плошчы мноства. Адсюль відаць, што паняцце меры Хаусдорфа абагульняе паняцці колькасці (або магутнасці канечнага мноства), даўжыні, плошчы і аб’ёму. На самай справе існуюць d-мерныя меры Хаусдорфа для любога d ≥ 0 (не абавязкова цэлага). Гэтыя меры ляжаць у аснове геаметрычнай тэорыі меры. Яны таксама натуральным чынам узнікаюць у гарманічным аналізе і тэорыі патэнцыялу.

Азначэнне

Няхай

( X , ρ )

{\displaystyle (X,\rho )}

$\{\displaystyle (X,\rho )\}$ — метрычная прастора. Дыяметр мноства

U ⊂ X

{\displaystyle U\subset X}

$\{\displaystyle U\subset X\}$ абазначым наступным чынам:

diam ⁡ U := sup { ρ ( x , y ) : x , y ∈ U } .

{\displaystyle \operatorname {diam} U:=\sup\{\rho (x,y):x,y\in U\}.}

$\{\displaystyle \operatorname \{diam\} U:=\sup\\{\rho (x,y):x,y\in U\\}.\}$ Прымем па азначэнню:

diam ⁡ ∅ := 0.

{\displaystyle \operatorname {diam} \varnothing :=0.}

$\{\displaystyle \operatorname \{diam\} \varnothing :=0.\}$ Няхай

{\displaystyle S}

$\{\displaystyle S\}$ — адвольнае падмноства

X ,

{\displaystyle X,}

$\{\displaystyle X,\}$ а

{\displaystyle \delta >0}

$\{\displaystyle \delta >0\}$ — рэчаісны лік. Вызначым функцыю

( S ) := inf

{

∑

i

∞

( diam ⁡

)

⋃

i

∞

⊇ S , diam ⁡

< δ

}

{\displaystyle H_{\delta }^{d}(S):=\inf \left\{\sum _{i=1}^{\infty }(\operatorname {diam} U_{i})^{d}:\bigcup _{i=1}^{\infty }U_{i}\supseteq S,\ \operatorname {diam} U_{i}<\delta \right\}.}

$\{\displaystyle H_\{\delta \}^\{d\}(S):=\inf \left\\{\sum \{i=1\}^\{\infty \}(\operatorname \{diam\} U\{i\})^\{d\}:\bigcup \{i=1\}^\{\infty \}U\{i\}\supseteq S,\ \operatorname \{diam\} U_\{i\}<\delta \right\\}.\}$ Тут дакладная ніжняя мяжа бярэцца па ўсіх злічальных пакрыццях мноства

{\displaystyle S}

$\{\displaystyle S\}$ мноствамі

⊂ X

{\displaystyle U_{i}\subset X}

$\{\displaystyle U_\{i\}\subset X\}$ з дыяметрамі, меншымі за δ.

Варта заўважыць, што

( S )

{\displaystyle H_{\delta }^{d}(S)}

$\{\displaystyle H_\{\delta \}^\{d\}(S)\}$ манатонна спадае пры нарастанні δ, бо чым большае δ — тым больш магчымых пакрыццяў мноства, што, відавочна, можа толькі панізіць дакладную ніжнюю мяжу. Адсюль вынікае, што граніца

lim

δ → 0

( S )

{\displaystyle \lim \limits _{\delta \to 0}H_{\delta }^{d}(S)}

$\{\displaystyle \lim \limits \{\delta \to 0\}H\{\delta \}^\{d\}(S)\}$ існуе, але можа раўняцца дадатнай бесканечнасці.

Няхай

( S ) :=

sup

( S )

lim

δ → 0

( S ) .

{\displaystyle H^{d}(S):=\sup _{\delta >0}H_{\delta }^{d}(S)=\lim _{\delta \to 0}H_{\delta }^{d}(S).}

$\{\displaystyle H^\{d\}(S):=\sup \{\delta >0\}H\{\delta \}^\{d\}(S)=\lim \{\delta \to 0\}H\{\delta \}^\{d\}(S).\}$ Функцыя

( S )

{\displaystyle H^{d}(S)}

$\{\displaystyle H^\{d\}(S)\}$ з’яўляецца вонкаваю мерай (а дакладней, метрычнай вонкавай мерай) і называецца d-мернаю мерай Хаусдорфа мноства S.

Па агульнай тэорыі, яе абмежаванне на σ-алгебру вымерных па Каратэадоры мностваў з’яўляецца мерай. Дзякуючы ўласцівасцям метрычнай вонкавае меры, усе барэлеўскія падмноствы прасторы X вымерныя адносна меры H**d.

У вышэйпрыведзеным азначэнні мноствы ў пакрыццях могуць быць адвольнымі. Нягледзячы на гэта, можна разглядаць пакрыцці ці аднымі толькі адкрытымі мноствамі, ці толькі замкнутымі, у выніку гэта ўсё роўна прывядзе да той жа меры, хоць прыбліжэнні

( S )

{\displaystyle H_{\delta }^{d}(S)}

$\{\displaystyle H_\{\delta \}^\{d\}(S)\}$ пры гэтым могуць адрознівацца[1]. Калі

{\displaystyle X}

$\{\displaystyle X\}$ — унармаваная прастора, можна разглядаць пакрыцці толькі выпуклымі мноствамі. Але калі браць пакрыцці толькі шарамі, у выніку атрымаецца іншая мера.[2]

Уласцівасці Хаусдорфавых мер

Варта заўважыць, што калі d — дадатны цэлы лік, d-мерная Хаусдорфава мера на

{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}

$\{\displaystyle \mathbb \{R\} ^\{d\}\}$ ёсць проста змененая ў маштабе d-мерная мера Лебега

{\displaystyle \lambda _{d}}

$\{\displaystyle \lambda _\{d\}\}$ , якая ўнармавана так, што Лебегава мера адзінкавага куба [0,1]d роўная 1. На самай справе, для любога Барэлеўскага мноства E:

( E )

− d

( E )

{\displaystyle \lambda _{d}(E)=2^{-d}\alpha _{d}H^{d}(E),}

$\{\displaystyle \lambda _\{d\}(E)=2^\{-d\}\alpha _\{d\}H^\{d\}(E)\,\}$ дзе α**d — аб’ём адзінкавага d-шара; яго можна вылічыць праз гама-функцыю Эйлера

Γ (

1 2

)

Γ (

d 2

1 )

Γ (

d 2

1 )

{\displaystyle \alpha _{d}={\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}})^{d}}{\Gamma ({\frac {d}{2}}+1)}}={\frac {\pi ^{d/2}}{\Gamma ({\frac {d}{2}}+1)}}.}

$\{\displaystyle \alpha _\{d\}=\{\frac \{\Gamma (\{\frac \{1\}\{2\}\})^\{d\}\}\{\Gamma (\{\frac \{d\}\{2\}\}+1)\}\}=\{\frac \{\pi ^\{d/2\}\}\{\Gamma (\{\frac \{d\}\{2\}\}+1)\}\}.\}$ Заўвага. Некаторыя аўтары ў якасці азначэння меры Хаусдорфа прымаюць іншае, якое трохі адрозніваецца ад прыведзенага вышэй, розніца заключаецца ў том, што яе нармуюць так, каб Хаусдорфава d-мерная мера ў выпадку еўклідавай прасторы дакладна супадала з Лебегавай мерай.

Сувязь з размернасцю Хаусдорфа

Існуе шэраг раўназначных азначэнняў размернасці Хаусдорфа. Напрыклад, такое:

dim

H a u s

⁡ ( S )

inf { d ≥ 0 :

( S )

0 }

sup { d ≥ 0 :

( S )

0 } ,

{\displaystyle \operatorname {dim} _{\mathrm {Haus} }(S)=\inf\{d\geq 0:H^{d}(S)=0\}=\sup\{d\geq 0:H^{d}(S)>0\},}

$\{\displaystyle \operatorname \{dim\} _\{\mathrm \{Haus\} \}(S)=\inf\\{d\geq 0:H^\{d\}(S)=0\\}=\sup\\{d\geq 0:H^\{d\}(S)>0\\},\}$ дзе прынята па азначэнню

inf ∅ := ∞ .

{\displaystyle \inf \varnothing :=\infty .}

$\{\displaystyle \inf \varnothing :=\infty .\}$ Абагульненні

У геаметрычнай тэорыі меры і сумежных раздзелах для вымярэння памеру падмноства метрычнай прасторы з мерай часта выкарыстоўваецца т.зв. аб’ём Мінкоўскага. Для зручных (г.зн. не вельмі складаных і мудрагелістых) абсягаў у еўклідавай прасторы гэтыя два паняцці памеру супадаюць з дакладнасцю да пастаяннага множніка, які залежыць ад дамоўленасцей. А іменна, кажуць, што падмноства прасторы

{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}

$\{\displaystyle \mathbb \{R\} ^\{n\}\}$ называецца m-выпрастальным (квадравальным, кубавальным), калі яно з’яўляецца вобразам абмежаванага падмноства прасторы

{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}

$\{\displaystyle \mathbb \{R\} ^\{n\}\}$ пры Ліпшыцавым адлюстраванні. Калі m < n, тады m-мерны аб’ём Мінкоўскага замкнутага m-выпрастальнага падмноства ў

{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}

$\{\displaystyle \mathbb \{R\} ^\{n\}\}$ раўняецца m-мернай меры Хаусдорфа, дамножанай на

− m

{\displaystyle 2^{-m}\alpha _{m}.}

$\{\displaystyle 2^\{-m\}\alpha _\{m\}.\}$ [3]

У фрактальнай геаметрыі некаторыя фракталы з Хаусдорфавай размернасцю d маюць нулявую або бесканечную d-меру Хаусдорфа. Напрыклад, амаль напэўна траекторыя плоскага броўнаўскага руху мае размернасць Хаусдорфа 2, а яе двухмерная мера Хаусдорфа роўная нулю. Каб “вымераць” “памер” такіх мностваў, была прыдумана наступнае абагульненне паняцця Хаусдорфавай меры:

У азначэнні меры складнікі

{\displaystyle |U_{i}|^{d}}

$\{\displaystyle |U_\{i\}|^\{d\}\}$ замяняюцца на

ϕ (

) ,

{\displaystyle \phi (U_{i}),}

$\{\displaystyle \phi (U_\{i\}),\}$ дзе

{\displaystyle \phi }

$\{\displaystyle \phi \}$ — любая манатонна нарастаючая функцыя мноства, якая задавальняе ўмову

ϕ ( ∅ )

{\displaystyle \phi (\varnothing )=0.}

$\{\displaystyle \phi (\varnothing )=0.\}$ Вызначаная так мера называецца Хаусдорфавай мерай мноства

{\displaystyle S}

$\{\displaystyle S\}$ з функцыяй размернасці

{\displaystyle \phi }

$\{\displaystyle \phi \}$ , ці

{\displaystyle \phi }

$\{\displaystyle \phi \}$ -Хаусдорфавай мераю. Можа здарыцца, што d-мернае мноства

{\displaystyle S}

$\{\displaystyle S\}$ будзе мець звычайную меру Хаусдорфа

( S )

0 ,

{\displaystyle H^{d}(S)=0,}

$\{\displaystyle H^\{d\}(S)=0,\}$ але пры адпаведным выбары функцыі

{\displaystyle \phi }

$\{\displaystyle \phi \}$ можна дабіцца выканання няроўнасці

0 <

( S ) < + ∞ .

{\displaystyle 0<H^{\phi }(S)<+\infty .}

$\{\displaystyle 0<H^\{\phi \}(S)<+\infty .\}$ У якасці прыкладаў функцый размернасці можна прывесці такія:

ϕ ( t )

log ⁡ log ⁡

1 t

{\displaystyle \phi (t)=t^{2},\log \log {\frac {1}{t}}}

$\{\displaystyle \phi (t)=t^\{2\}\,\log \log \{\frac \{1\}\{t\}\}\}$ або

ϕ ( t )

log ⁡

1 t

log ⁡ log ⁡ log ⁡

1 t

{\displaystyle \phi (t)=t^{2},\log {\frac {1}{t}},\log \log \log {\frac {1}{t}}.}

$\{\displaystyle \phi (t)=t^\{2\}\,\log \{\frac \{1\}\{t\}\}\,\log \log \log \{\frac \{1\}\{t\}\}.\}$ Першая функцыя дае амаль напэўна дадатную і σ-канечную меру для броўнаўскай траекторыі ў

{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}

$\{\displaystyle \mathbb \{R\} ^\{n\}\}$ пры n > 2, а апошняя — пры n = 2.[4]

Гл. таксама

Зноскі

↑ Federer. Geometric measure theory, 1969. §2.10.2
↑ Yeh, J. (2006). Real analysis: theory of measure and integration. p. 681. https://archive.org/details/realanalysistheo00yehj_366.
↑ Federer. Geometric measure theory, 1969. Theorem 3.2.39. (Праўда, у гэтай кнізе гэты множнік уключаны ў азначэнне меры Хаусдорфа, і таму ў самой фармулёўцы тэарэмы 3.2.39 аб’ём Мінкоўскага роўны меры Хаусдорфа.)
↑
Mattila. Geometry of sets and measures in euclidean spaces, 1995. p. 60.

Літаратура

Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (1992). Measure Theory and Fine Properties of Functions. CRC Press.
Federer, Herbert (1969). Geometric Measure Theory. Springer-Verlag. ISBN 3-540-60656-4.
Yan Kun (2007), Fractal Measure.
Hausdorff, Felix (1918). Dimension und äusseres Mass. 79. 157–179. doi:10.1007/BF01457179.
Mattila P. Geometry of sets and measures in Euclidean spaces. Fractals and rectifiability.. — Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 44. — Cambridge: Cambridge University Press, 1995.
Morgan, Frank (1988). Geometric Measure Theory. Academic Press.
Yeh J. Real analysis: theory of measure and integration. — 2nd ed. — World Scientific, 2006. — xxi+738 с.

Спасылкі

Размернасць Хаусдорфа ў Энцыклапедыі матэматыкі (англ.)
Мера Хаусдорфа ў Энцыклапедыі матэматыкі (англ.)

Тэмы гэтай старонкі (4):
Катэгорыя·Тэорыя меры
Катэгорыя·Тэорыя размернасці
Катэгорыя·Метрычная геаметрыя
Катэгорыя·Фракталы