wd wp Пошук: ⬜

Квазічасціца

Квазічасціца - паняцце ў квантавай механіцы, увядзенне якога дазваляе істотна спрасціць апісанне складаных квантавых сістэм з узаемадзеяннем, такіх як цвёрдыя целы і квантавыя вадкасці.

Напрыклад, надзвычай складанае апісанне руху электронаў у паўправадніках можа спрасціцца увядзеннем квазічасціцы, пад назвай электрон праводнасці, якая адрозніваецца ад электрона масай і што рухаецца ў вольнай прасторы. Для апісання ваганняў атамаў ў вузлах крышталічнай рашоткі ў тэорыі кандэнсаванага стану рэчывы выкарыстоўваюць фаноны, для апісання распаўсюджвання элементарных магнітных узбуджанасцяў ў сістэме спінаў - магноны.

Увядзенне

Ідэя выкарыстання квазічасціц была ўпершыню прапанавана Л. Д. Ландау ў тэорыі фермі-вадкасці для апісання вадкага гелія-3, пазней яе сталі выкарыстоўваць у тэорыі кандэнсаванага стану рэчывы. Апісваць стану такіх сістэм наўпрост, вырашаючы ураўненне Шродзінгера з парадку 1023 узаемадзейнымі часціцамі, немагчыма. Абыйсці гэтую цяжкасць атрымоўваецца звядзеннем задачы ўзаемадзеяння часціц да больш простай задачы з неузаемадзеучымі квазічасціцамі.

Квазічасціцы ў фермі-вадкасці

Увядзенне квазічасціц для фермі-вадкасці вырабляецца плаўным пераходам ад узбуджанага стану ідэальнай сістэмы (без узаемадзеяння паміж часціцамі), атрыманага з асноўнага, з функцыяй размеркавання

(

p →

)

{\displaystyle n_{0}({\vec {p}})}

$\{\displaystyle n_\{0\}(\{\vec \{p\}\})\}$ , шляхам дадання часціцы з імпульсам

p →

{\displaystyle {\vec {p}}}

$\{\displaystyle \{\vec \{p\}\}\}$ , адыябатычным уключэннем ўзаемадзеяння паміж часціцамі. Пры такім ўключэнні ўзнікае узбуджаны стан рэальнай фермі-вадкасці з тым жа імпульсам, так як ён захоўваецца пры сутыкненні часціц. Па меры ўключэння ўзаемадзеяння, дабаўленая часціца залучае ў рух навакольных яе часціц, утвараючы абурэнне. Такое абурэнне называюць квазічасціцай. Атрыманы такім чынам стан сістэмы адпавядае рэальнаму асноўнаму стану плюс квазічасціца з імпульсам

p →

{\displaystyle {\vec {p}}}

$\{\displaystyle \{\vec \{p\}\}\}$ і энергіяй, якая адпавядае дадзеным абурэнням. Пры такім пераходзе роля часціц газу (у выпадку адсутнасці ўзаемадзеяння) пераходзіць да элементарным ўзбуджэнням (квазічасціцам), колькасць якіх супадае з колькасцю часціц і якія, як і часціцы, падпарадкоўваюцца статыстыцы Фермі — Дзірака.

Квазічасціцы ў цвёрдых целах

Фанон як квазічасціца

Апісанне стану цвёрдых цел, непасрэдна вырашаючы ураўненне Шродзінгера для ўсіх часціц, практычна немагчыма з-за вялікага ліку зменных і складанасці ўліку ўзаемадзеяння паміж часціцамі. Спрасціць такое апісанне атрымоўваецца увядзеннем квазічасціц - элементарных узбуджанняў адносна нейкага асноўнага стану. Часта ўлік толькі ніжэйшых энергетычных узбуджанняў адносна гэтага стану дастатковы для апісання сістэмы, так як, згодна з размеркаваннем Больцмана, станы з вялікімі значэннямі энергій даюцца з меншай верагоднасцю. Разгледзім прыклад прымянення квазічасціц для апісання ваганняў атамаў ў вузлах крышталічнай рашоткі.

Прыкладам пажаднасці з нізкімі энергіямі можа служыць крышталічная рашотка пры абсалютным нулі тэмпературы, калі да асноўнага стану, пры якім ваганні ў рашотцы адсутнічаюць, дадаецца элементарнае абурэнне пэўнай частаты, фанон. Бывае, што стан сістэмы характарызуецца некалькімі элементарнымі ўзбуджэннямі, а гэтыя ўзбуджэнні, у сваю чаргу, могуць існаваць незалежна адзін ад аднаго, у такім выпадку гэты стан інтэрпрэтуецца сістэмай неузаемадзеуючых фанонаў. Аднак не заўсёды атрымоўваецца апісаць стан неузаемадзеуючымі квазічасціцамі з-за ангарманічнага вагання ў крышталі. Тым не менш, у многіх выпадках элементарныя ўзбуджэнні могуць разглядацца як незалежныя. Такім чынам, можна набліжана лічыць, што энергія крышталя, звязаная з ваганнем атамаў ў вузлах рашоткі, роўная суме энергіі некаторага асноўнага стану і энергій усіх фанонаў.

Квантаванне ваганняў на прыкладзе фанонаў

Разгледзім скалярную мадэль крышталічнай рашоткі, згодна з якой атамы вагаюцца ўздоўж аднаго кірунку. Карыстаючыся базісам плоскіх хваляў, напішам выраз для зрушэнняў атамаў ў вузле:

( t )

∑

k →

( t )

k →

(

r →

)

{\displaystyle u_{n}(t)=\sum _{\vec {k}}Q_{\vec {k}}(t)\phi _{\vec {k}}({\vec {r}}_{n})}

$\{\displaystyle u_\{n\}(t)=\sum \{\vec \{k\}\}Q\{\vec \{k\}\}(t)\phi \{\vec \{k\}\}(\{\vec \{r\}\}\{n\})\}$

k →

(

r →

)

k →

r →

{\displaystyle \phi _{\vec {k}}({\vec {r}}_{n})={\frac {1}{\sqrt {N}}}e^{i{\vec {k}}{\vec {r}}_{n}}}

$\{\displaystyle \phi \{\vec \{k\}\}(\{\vec \{r\}\}\{n\})=\{\frac \{1\}\{\sqrt \{N\}\}\}e^\{i\{\vec \{k\}\}\{\vec \{r\}\}_\{n\}\}\}$

У такой форме

k →

{\displaystyle Q_{\vec {k}}}

$\{\displaystyle Q_\{\vec \{k\}\}\}$ называюць абагульненымі каардынатамі. Тады лагранжыян сістэмы:

L

∑

u ˙

−

1 2

∑

n ,

′

A (

r →

−

r →

′

)

′

{\displaystyle L=\sum _{n}{\frac {m{\dot {u}}_{n}^{2}}{2}}-{\frac {1}{2}}\sum _{n,n^{’}}A({\vec {r}}_{n}-{\vec {r}}_{n^{’}})u_{n}u_{n^{’}}}

$\{\displaystyle L=\sum \{n\}\{\frac \{m\{\dot \{u\}\}\{n\}^\{2\}\}\{2\}\}-\{\frac \{1\}\{2\}\}\sum \{n,n^\{’\}\}A(\{\vec \{r\}\}\{n\}-\{\vec \{r\}\}\{n^\{’\}\})u\{n\}u_\{n^\{’\}\}\}$

выкажацца ў тэрмінах

k →

{\displaystyle Q_{\vec {k}}}

$\{\displaystyle Q_\{\vec \{k\}\}\}$ у выглядзе:

L

m 2

∑

k →

(

Q ˙

k →

∗

Q ˙

k →

−

k →

∗

k →

)

{\displaystyle L={\frac {m}{2}}\sum {\vec {k}}({\dot {Q}}_{\vec {k}}^{*}{\dot {Q}}_{\vec {k}}-\omega _{\vec {k}}^{2}Q_{\vec {k}}^{*}Q_{\vec {k}})}

$\{\displaystyle L=\{\frac \{m\}\{2\}\}\sum \{\vec \{k\}\}(\{\dot \{Q\}\}\{\vec \{k\}\}^\{*\}\{\dot \{Q\}\}\{\vec \{k\}\}-\omega \{\vec \{k\}\}^\{2\}Q\{\vec \{k\}\}^\{*\}Q_\{\vec \{k\}\})\}$

Адсюль выяўляецца кананічны імпульс і гамільтаныян:

k →

δ L

Q ˙

k →

= m

Q ˙

k →

∗

{\displaystyle P_{\vec {k}}={\frac {\delta L}{\delta {\dot {Q}}_{\vec {k}}}}=m{\dot {Q}}_{\vec {k}}^{*}}

$\{\displaystyle P_\{\vec \{k\}\}=\{\frac \{\delta L\}\{\delta \{\dot \{Q\}\}\{\vec \{k\}\}\}\}=m\{\dot \{Q\}\}\{\vec \{k\}\}^\{*\}\}$

H

∑

k →

→

k →

Q ˙

k →

− L

2 m

∑

k →

(

k →

∗

k →

∗

k →

)

{\displaystyle H=\sum _{\vec {\vec {k}}}P_{\vec {k}}{\dot {Q}}_{\vec {k}}-L={\frac {1}{2m}}\sum _{\vec {k}}(P_{\vec {k}}P_{\vec {k}}^{*}+m^{2}\omega _{\vec {k}}^{2}Q_{\vec {k}}^{*}Q_{\vec {k}})}

$\{\displaystyle H=\sum \{\vec \{\vec \{k\}\}\}P\{\vec \{k\}\}\{\dot \{Q\}\}\{\vec \{k\}\}-L=\{\frac \{1\}\{2m\}\}\sum \{\vec \{k\}\}(P\{\vec \{k\}\}P\{\vec \{k\}\}^\{\}+m^\{2\}\omega \{\vec \{k\}\}^\{2\}Q\{\vec \{k\}\}^\{\}Q_\{\vec \{k\}\})\}$

Квантаванне дзеяння вырабляецца патрабаваннем аператарных правілаў камутацыі для абагульненай каардынаты і імпульсу (

ℏ

{\displaystyle \hbar =1}

$\{\displaystyle \hbar =1\}$ ):

[

k →

′

]

k →

′

{\displaystyle [Q_{\vec {k}},P_{{\vec {k}}^{’}}]=i\delta _{{\vec {k}},{\vec {k}}^{’}}}

$\{\displaystyle [Q_\{\vec \{k\}\},P_\{\{\vec \{k\}\}^\{’\}\}]=i\delta _\{\{\vec \{k\}\},\{\vec \{k\}\}^\{’\}\}\}$

[

k →

′

]

[

k →

′

]

{\displaystyle [Q_{\vec {k}},Q_{{\vec {k}}^{’}}]=[P_{\vec {k}},P_{{\vec {k}}^{’}}]=0}

$\{\displaystyle [Q_\{\vec \{k\}\},Q_\{\{\vec \{k\}\}^\{’\}\}]=[P_\{\vec \{k\}\},P_\{\{\vec \{k\}\}^\{’\}\}]=0\}$

Для пераходу да фанонаў прадстаўленні выкарыстоўваюць мову другаснага квантавання, вызначыўшы аператары нараджэння

k →

{\displaystyle a_{\vec {k}}^{+}}

$\{\displaystyle a_\{\vec \{k\}\}^\{+\}\}$ і знішчэння

k →

{\displaystyle a_{\vec {k}}}

$\{\displaystyle a_\{\vec \{k\}\}\}$ квантавага фаноннага поля:

[

k →

′

]

k →

′

[

k →

′

]

{\displaystyle [a_{\vec {k}},a_{{\vec {k}}^{’}}^{+}]=i\delta _{{\vec {k}},{\vec {k}}^{’}},,,,,,,[a_{\vec {k}},a_{{\vec {k}}^{’}}]=0}

$\{\displaystyle [a_\{\vec \{k\}\},a_\{\{\vec \{k\}\}^\{’\}\}^\{+\}]=i\delta _\{\{\vec \{k\}\},\{\vec \{k\}\}^\{’\}\}\,\,\,\,\,\,\,[a_\{\vec \{k\}\},a_\{\{\vec \{k\}\}^\{’\}\}]=0\}$

Прамым вылічэннем можна праверыць, што патрабаваныя правілы камутацыі выконваюцца для аператараў:

k →

2 m

k →

(

k →

i ω t

−

k →

− i

k →

)

{\displaystyle Q_{\vec {k}}={\frac {1}{\sqrt {2m\omega _{\vec {k}}}}}(a_{\vec {k}}^{+}e^{i\omega t}+a_{-{\vec {k}}}e^{-i\omega _{\vec {k}}t})}

$\{\displaystyle Q_\{\vec \{k\}\}=\{\frac \{1\}\{\sqrt \{2m\omega \{\vec \{k\}\}\}\}\}(a\{\vec \{k\}\}^\{+\}e^\{i\omega t\}+a_\{-\{\vec \{k\}\}\}e^\{-i\omega _\{\vec \{k\}\}t\})\}$

k →

= i

k →

(

−

k →

i ω t

−

k →

− i

k →

)

{\displaystyle P_{\vec {k}}=i{\sqrt {\frac {\omega _{\vec {k}}m}{2}}}(a_{-{\vec {k}}}^{+}e^{i\omega t}-a_{\vec {k}}e^{-i\omega _{\vec {k}}t})}

$\{\displaystyle P_\{\vec \{k\}\}=i\{\sqrt \{\frac \{\omega \{\vec \{k\}\}m\}\{2\}\}\}(a\{-\{\vec \{k\}\}\}^\{+\}e^\{i\omega t\}-a_\{\vec \{k\}\}e^\{-i\omega _\{\vec \{k\}\}t\})\}$

Замяніўшы знак комплекснага спалучэння

k →

∗

{\displaystyle Q_{\vec {k}}^{*}}

$\{\displaystyle Q_\{\vec \{k\}\}^\{*\}\}$ на

k →

{\displaystyle Q_{\vec {k}}^{+}}

$\{\displaystyle Q_\{\vec \{k\}\}^\{+\}\}$ і улічачы, што энергія - цотная функцыя квазіімпульсу,

k →

−

k →

{\displaystyle \omega _{\vec {k}}=\omega _{-{\vec {k}}}}

$\{\displaystyle \omega _\{\vec \{k\}\}=\omega _\{-\{\vec \{k\}\}\}\}$ (з аднастайнасці), атрымаем выразы для кінетычнай і патэнцыяльнай частак гамільтаныяна:

K

2 m

∑

k →

−

k →

= −

1 4

∑

k →

(

−

k →

−

k →

) (

k →

−

k →

)

{\displaystyle K={\frac {1}{2m}}\sum _{\vec {k}}P_{\vec {k}}P_{-{\vec {k}}}=-{\frac {1}{4}}\sum _{\vec {k}}\omega _{\vec {k}}(a_{-{\vec {k}}}^{+}-a_{\vec {k}})(a_{\vec {k}}^{+}-a_{-{\vec {k}}})}

$\{\displaystyle K=\{\frac \{1\}\{2m\}\}\sum \{\vec \{k\}\}P\{\vec \{k\}\}P_\{-\{\vec \{k\}\}\}=-\{\frac \{1\}\{4\}\}\sum \{\vec \{k\}\}\omega \{\vec \{k\}\}(a\{-\{\vec \{k\}\}\}^\{+\}-a\{\vec \{k\}\})(a_\{\vec \{k\}\}^\{+\}-a_\{-\{\vec \{k\}\}\})\}$

H

k →

∑

k →

−

k →

1 4

∑

k →

(

−

k →

−

k →

) (

k →

−

k →

)

{\displaystyle H={\frac {m\omega _{\vec {k}}^{2}}{2}}\sum _{\vec {k}}Q_{\vec {k}}Q_{-{\vec {k}}}={\frac {1}{4}}\sum _{\vec {k}}\omega _{\vec {k}}(a_{-{\vec {k}}}^{+}-a_{\vec {k}})(a_{\vec {k}}^{+}-a_{-{\vec {k}}})}

$\{\displaystyle H=\{\frac \{m\omega \{\vec \{k\}\}^\{2\}\}\{2\}\}\sum \{\vec \{k\}\}Q\{\vec \{k\}\}Q\{-\{\vec \{k\}\}\}=\{\frac \{1\}\{4\}\}\sum \{\vec \{k\}\}\omega \{\vec \{k\}\}(a\{-\{\vec \{k\}\}\}^\{+\}-a\{\vec \{k\}\})(a_\{\vec \{k\}\}^\{+\}-a_\{-\{\vec \{k\}\}\})\}$

Тады гамільтаныян прыме выгляд:

H

∑

k →

(

k →

1 2

)

{\displaystyle H=\sum _{\vec {k}}\omega _{\vec {k}}(a_{\vec {k}}^{+}a_{\vec {k}}+{\frac {1}{2}})}

$\{\displaystyle H=\sum \{\vec \{k\}\}\omega \{\vec \{k\}\}(a\{\vec \{k\}\}^\{+\}a\{\vec \{k\}\}+\{\frac \{1\}\{2\}\})\}$

Інакш можна перапісаць:

H

∑

k →

(

k →

1 2

)

{\displaystyle H=\sum _{\vec {k}}E_{\vec {k}}(n_{\vec {k}}+{\frac {1}{2}})}

$\{\displaystyle H=\sum \{\vec \{k\}\}E\{\vec \{k\}\}(n_\{\vec \{k\}\}+\{\frac \{1\}\{2\}\})\}$

Дзе

k →

{\displaystyle n_{\vec {k}}=a_{\vec {k}}^{+}a_{\vec {k}}}

$\{\displaystyle n_\{\vec \{k\}\}=a_\{\vec \{k\}\}^\{+\}a_\{\vec \{k\}\}\}$ — аператар колькасці часціц, фанонаў,

k →

{\displaystyle E_{\vec {k}}=\omega _{\vec {k}}}

$\{\displaystyle E_\{\vec \{k\}\}=\omega _\{\vec \{k\}\}\}$ — энергія фанонаў з імпульсам

k →

{\displaystyle {\vec {k}}}

$\{\displaystyle \{\vec \{k\}\}\}$

Такое апісанне ваганняў ў крышталі называецца гарманічным набліжэннем. Яно адпавядае толькі разгляду квадратычных членаў па зрушэнням ў гамільтаныяне.

Квазічасціцы ў феромагнетыку, магноны

У выпадку ферамагнетыка, пры абсалютным нулі тэмпературы, усё спіны выстройваюцца ўздоўж аднаго кірунку. Такое размяшчэнне спінаў адпавядае асноўнаму стану. Калі адзін з спінаў адхіліць ад зададзенага кірунку і прадставіць сістэму самой сабе, пачне распаўсюджвацца хваля. Энергія гэтай хвалі будзе роўная энергіі ўзбуджэння крышталя, звязанай з змяненнем арыентацыі спіна атама. Гэтую энергію можна разглядаць як энергію некаторай часціцы, якую і называюць магнонам.

Калі энергія ферамагнетыка, звязаная з адхіленнем спінаў, невялікая, то яе можна прадставіць у выглядзе сумы энергій асобных спінавай хвалі або, кажучы інакш, у выглядзе сумы энергій магнонаў.

Магноны, як і фаноны, падпарадкоўваюцца статыстыцы Бозэ - Эйнштэйна.

Уласцівасці

Квазічасціцы характарызуюцца вектарам

p →

{\displaystyle {\vec {p}}}

$\{\displaystyle \{\vec \{p\}\}\}$ , уласцівасці якога падобныя на імпульс, яго называюць квазіімпульсам.

Энергія квазічасціцы, у адрозненне ад энергіі звычайнай часціцы, мае іншую залежнасць ад імпульсу.
Квазічасціцы могуць узаемадзейнічаць паміж сабой, а таксама з звычайнымі часціцамі
Могуць мець зарад і/або спін.
Квазічасціцы з цэлым значэннем спіна падпарадкоўваюцца статыстыцы Бозэ - Эйнштэйна, з паўцелым - Фермі - Дзірака.

Параўнанне квазічасціц са звычайнымі часціцамі

Між квазічасціцамі і звычайнымі элементарнымі часціцамі існуе шэраг падабенстваў і адрозненняў. У многіх тэорыях поля (у прыватнасці, у канформнай тэорыі поля) не робяць наогул ніякіх адрозненняў паміж часціцамі і квазічасціцамі.

Падабенства

Як і звычайная часціца, квазічасціца можа быць больш-менш лакалізаванай ў прасторы і захоўваць сваю лакалізаванасць ў працэсе руху.
Квазічасціцы могуць сутыкацца і/або ўзаемадзейнічаць іншым чынам. Пры сутыкненні нізкаэнергетычных квазічасціц выконваюцца механічныя законы захавання квазіімпульсу і энергіі. Квазічасціцы могуць таксама ўзаемадзейнічаць і з звычайнымі часціцамі (напрыклад, з фатонамі).
Для квазічастиц з квадратычным законам дысперсіі (гэта значыць энергія прапарцыйная квадрату імпульсу) можна ўвесці паняцце эфектыўнай масы. Паводзіны такой квазічасціцы будзе вельмі падобныя на паводзіны звычайных часціц.

Адрозненні

У адрозненне ад звычайных часціц, якія існуюць самі па сабе, у тым ліку і ў пустым прасторы, квазічасціцы не могуць існаваць па-за асяроддзя, ваганнямі якой яны і з’яўляюцца.
Пры сутыкненнях, для многіх квазічасціц закон захавання квазіімпульса выконваецца з дакладнасцю да вектара зваротнай рашоткі.
Закон дысперсіі звычайных часціц - гэта дадзенасць, якую ніяк не змяніць. Закон дысперсіі квазічасціц ўзнікае дынамічна, і таму можа мець самы мудрагелісты выгляд.
Квазічасціцы могуць мець дробны электрычны зарад або магнітны зарад.

Іншыя квазічасціцы

Электрон праводнасці - мае той жа зарад і спін, як у «нармальнага» электрона, але адрозніваецца масай.
Дзірка - незапоўненая валентная сувязь, якая праяўляе сябе як дадатны зарад, па абсалютнай велічыні роўны зараду электрона.
Ратон - калектыўнае ўзбуджэнне, звязанае з віхравым рухам у вадкасці.
Палярон - квазічасціца, адпаведная палярызацыі, звязанай з рухам электрона, абумоўленай узаемадзеяннем электрона з крышталічнай рашоткай.
Плазмон - прадстаўляе сабой калектыўнае ваганне электронаў у плазме.

Тэмы гэтай старонкі (3):
Катэгорыя·Квазічасціцы
Катэгорыя·Фізіка цвёрдага цела
Катэгорыя·Калектыўныя з’явы ў кандэнсаваных асяроддзях