wd wp Пошук: ⬜

Дзялімасць

Дзялі́масць — адно з асноўных паняццяў арыфметыкі і тэорыі лікаў, звязанае з аперацыяй дзялення. З пункту погляду тэорыі мностваў, дзялімасць цэлых лікаў з’яўляецца дачыненнем, вызначаным на мностве цэлых лікаў.

Азначэнне

Калі для некаторага цэлага ліку

{\displaystyle a}

$\{\displaystyle a\}$ і цэлага ліку

{\displaystyle b}

$\{\displaystyle b\}$ існуе такі цэлы лік

{\displaystyle q}

$\{\displaystyle q\}$ , што

b q

a ,

{\displaystyle bq=a,}

$\{\displaystyle bq=a,\}$ то кажуць, што лік

{\displaystyle a}

$\{\displaystyle a\}$ дзеліцца цалкам (ці дзеліцца без астачы) на

{\displaystyle b}

$\{\displaystyle b\}$ або што

{\displaystyle b}

$\{\displaystyle b\}$ дзеліць

a .

{\displaystyle a.}

$\{\displaystyle a.\}$

Пры гэтым лік

{\displaystyle b}

$\{\displaystyle b\}$ называецца дзельнікам ліку

{\displaystyle a}

$\{\displaystyle a\}$ , дзеліва

{\displaystyle a}

$\{\displaystyle a\}$ будзе кратным ліку

{\displaystyle b}

$\{\displaystyle b\}$ , а лік q называецца дзеллю ад дзялення a на b.

Хоць уласцівасць дзялімасці вызначана на ўсём мностве цэлых лікаў, звычайна разглядаецца толькі дзялімасць натуральных лікаў. У прыватнасці, функцыя колькасці дзельнікаў натуральнага ліку падлічвае толькі яго дадатныя дзельнікі.

Абазначэнні

Запіс

⋮

{\displaystyle a,\vdots ,b}

$\{\displaystyle a\,\vdots \,b\}$ абазначае, што

{\displaystyle a}

$\{\displaystyle a\}$ дзеліцца на

{\displaystyle b}

$\{\displaystyle b\}$ , ці, што тое самае, лік

{\displaystyle a}

$\{\displaystyle a\}$ кратны ліку

{\displaystyle b}

$\{\displaystyle b\}$ .

Запіс

b ∣ a

{\displaystyle b\mid a}

$\{\displaystyle b\mid a\}$ ці

b ∖ a

{\displaystyle b\setminus a}

$\{\displaystyle b\setminus a\}$ абазначае[1], што

{\displaystyle b}

$\{\displaystyle b\}$ дзеліць

{\displaystyle a}

$\{\displaystyle a\}$ , ці, што тое ж:

{\displaystyle b}

$\{\displaystyle b\}$ — дзельнік

{\displaystyle a}

$\{\displaystyle a\}$ .

Звязаныя азначэнні

У кожнага натуральнага ліку, большага за адзінку, ёсць прынамсі два натуральныя дзельнікі: адзінка і сам гэты лік. Пры гэтым натуральныя лікі, у якіх роўна два дзельнікі, называюцца простымі, а тыя, у якіх больш за два дзельнікі — састаўнымі. Адзінка мае роўна адзін дзельнік і не з’яўляецца ні простым, ні састаўным лікам.
У кожнага натуральнага ліку, большага за 1, ёсць хоць адзін просты дзельнік.
Уласным дзельнікам ліку называецца ўсякі яго дзельнік, не роўны самому ліку. У простых лікаў ёсць роўна адзін уласны дзельнік — адзінка.
Незалежна ад дзялімасці цэлага ліку

{\displaystyle a}

$\{\displaystyle a\}$ на цэлы лік

b ≠ 0

{\displaystyle b\neq 0}

$\{\displaystyle b\neq 0\}$ , лік a заўсёды можна падзяліць на b з астачаю, г. зн. прадставіць у выглядзе:

a

q + r ,

{\displaystyle a=b,q+r,}

$\{\displaystyle a=b\,q+r,\}$ дзе

0 ≤ r <

{\displaystyle 0\leq r<|b|}

$\{\displaystyle 0\leq r<|b|\}$ .

У гэтых суадносінах лік

{\displaystyle q}

$\{\displaystyle q\}$ называецца няпоўнаю дзеллю, а лік r — астачаю ад дзялення

{\displaystyle a}

$\{\displaystyle a\}$ на

{\displaystyle b}

$\{\displaystyle b\}$ . Як дзель, так і астача вызначаюцца адназначна. Лік a дзеліцца цалкам на b тады і толькі тады, калі астача ад дзялення a на b роўная нулю.

Усякі лік, які дзеліць як

{\displaystyle a}

$\{\displaystyle a\}$ , так і

{\displaystyle b}

$\{\displaystyle b\}$ , называецца іх агульным дзельнікам; найбольшы з такіх лікаў называецца найбольшым агульным дзельнікам. Любая пара цэлых лікаў мае сама менш два агульныя дзельнікі: +1 і -1. Калі іншых агульных дзельнікаў няма, то гэтыя лікі называюцца ўзаемна простымі.

Уласцівасці

Заўвага: ва ўсіх формулах гэтага раздзела мяркуецца, што a, b, c — цэлыя лікі.

Любы цэлы лік з’яўляецца дзельнікам нуля, і дзель роўная нулю:

⋮

a .

{\displaystyle 0,\vdots ,a.}

$\{\displaystyle 0\,\vdots \,a.\}$

Любы цэлы лік дзеліцца на адзінку:

⋮

{\displaystyle a,\vdots ,1.}

$\{\displaystyle a\,\vdots \,1.\}$

На нуль дзеліцца толькі нуль:

⋮

⇒

a

{\displaystyle a,\vdots ,0\quad \Rightarrow \quad a=0}

$\{\displaystyle a\,\vdots \,0\quad \Rightarrow \quad a=0\}$ , прычым дзель у гэтым выпадку не вызначана.

Адзінка дзеліцца толькі на адзінку:

⋮

⇒

a

± 1.

{\displaystyle 1,\vdots ,a\quad \Rightarrow \quad a=\pm 1.}

$\{\displaystyle 1\,\vdots \,a\quad \Rightarrow \quad a=\pm 1.\}$

Для любога цэлага ліку

a ≠ 0

{\displaystyle a\neq 0}

$\{\displaystyle a\neq 0\}$ знойдзецца такі цэлы лік

b ≠ a ,

{\displaystyle b\neq a,}

$\{\displaystyle b\neq a,\}$ для якога

⋮

a .

{\displaystyle b,\vdots ,a.}

$\{\displaystyle b\,\vdots \,a.\}$

Калі

⋮

{\displaystyle a,\vdots ,b}

$\{\displaystyle a\,\vdots \,b\}$ і

| b |

| a |

{\displaystyle \left|b\right|>\left|a\right|,}

$\{\displaystyle \left|b\right|>\left|a\right|,\}$ то

{\displaystyle a,=,0.}

$\{\displaystyle a\,=\,0.\}$ Адсюль жа вынікае, што калі

⋮

{\displaystyle a,\vdots ,b}

$\{\displaystyle a\,\vdots \,b\}$ і

a ≠ 0

{\displaystyle a\neq 0}

$\{\displaystyle a\neq 0\}$ то

| a |

≥

| b |

{\displaystyle \left|a\right|\geq \left|b\right|.}

$\{\displaystyle \left|a\right|\geq \left|b\right|.\}$

Для таго каб

⋮

{\displaystyle a,\vdots ,b}

$\{\displaystyle a\,\vdots \,b\}$ неабходна і дастаткова, каб

| a |

⋮

| b |

{\displaystyle \left|a\right|\vdots \left|b\right|.}

$\{\displaystyle \left|a\right|\vdots \left|b\right|.\}$

Калі

⋮

b ,

⋮

b ,

… ,

⋮

b ,

{\displaystyle a_{1},\vdots ,b,,a_{2},\vdots ,b,,\dots ,,a_{n},\vdots ,b,}

$\{\displaystyle a_\{1\}\,\vdots \,b,\,a_\{2\}\,\vdots \,b,\,\dots ,\,a_\{n\}\,\vdots \,b,\}$ то

(

⋯ +

)

⋮

b .

{\displaystyle \left(a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n}\right),\vdots ,b.}

$\{\displaystyle \left(a_\{1\}+a_\{2\}+\dots +a_\{n\}\right)\,\vdots \,b.\}$

Уласцівасць дзялімасці з’яўляецца дачыненнем нястрогага парадку і, адпаведна, яно:
- рэфлексіўнае, г. зн. любы цэлы лік дзеліцца на сябе:
a

⋮

a .

{\displaystyle \quad a,\vdots ,a.}

$\{\displaystyle \quad a\,\vdots \,a.\}$
- транзітыўнае, г. зн. калі
a

⋮

b

{\displaystyle a,\vdots ,b}

$\{\displaystyle a\,\vdots \,b\}$ і

b

⋮

c ,

{\displaystyle b,\vdots ,c,}

$\{\displaystyle b\,\vdots \,c,\}$ то

a

⋮

c .

{\displaystyle a,\vdots ,c.}

$\{\displaystyle a\,\vdots \,c.\}$
- антысіметрычнае, г. зн. калі
a

⋮

b

{\displaystyle a,\vdots ,b}

$\{\displaystyle a\,\vdots \,b\}$ і

b

⋮

a ,

{\displaystyle b,\vdots ,a,}

$\{\displaystyle b\,\vdots \,a,\}$ то альбо

a

=

b ,

{\displaystyle a,=,b,}

$\{\displaystyle a\,=\,b,\}$ альбо

a

=

− b .

{\displaystyle a,=,-b.}

$\{\displaystyle a\,=\,-b.\}$

Лік дзельнікаў

Асноўны артыкул: Лік дзельнікаў Лік дадатных дзельнікаў натуральнага ліку

{\displaystyle n}

$\{\displaystyle n\}$ звычайна абазначаецца

τ ( n )

{\displaystyle \tau (n)}

$\{\displaystyle \tau (n)\}$ і з’яўляецца мультыплікатыўнаю функцыяй, для яе справядліва асімптатычная формула Дзірыхле:

∑

n

τ ( n )

N ln ⁡ N + ( 2

γ − 1 ) N + O

(

)

{\displaystyle \sum _{n=1}^{N}\tau (n)=N\ln N+(2,\gamma -1)N+O\left(N^{\theta }\right),}

$\{\displaystyle \sum _\{n=1\}^\{N\}\tau (n)=N\ln N+(2\,\gamma -1)N+O\left(N^\{\theta \}\right),\}$ дзе

{\displaystyle \gamma }

$\{\displaystyle \gamma \}$ — пастаянная Эйлера — Маскероні, а для

{\displaystyle \theta }

$\{\displaystyle \theta \}$ Дзірыхле атрымаў значэнне

1 2

{\displaystyle {\frac {1}{2}}.}

$\{\displaystyle \{\frac \{1\}\{2\}\}.\}$ Гэты вынік неаднаразова паляпшаўся, і на сёння найлепшы вядомы вынік

θ

131 416

{\displaystyle \theta ={\frac {131}{416}}}

$\{\displaystyle \theta =\{\frac \{131\}\{416\}\}\}$ (атрыман у 2003 годзе Хакслі). Аднак, найменшае значэнне

{\displaystyle \theta }

$\{\displaystyle \theta \}$ , пры якім гэта формула застаецца вернаю, невядома (даказана, што яно не меншае, чым

1 4

{\displaystyle {\frac {1}{4}}}

$\{\displaystyle \{\frac \{1\}\{4\}\}\}$ )[2][3][4].

Пры гэтым сярэдні дзельнік вялікага ліку n у сярэднім расце як

ln ⁡ n

{\displaystyle {\frac {c_{1}n}{\sqrt {\ln n}}}}

$\{\displaystyle \{\frac \{c_\{1\}n\}\{\sqrt \{\ln n\}\}\}\}$ , што было выяўлена А. Карацубам[5]. Паводле камп’ютарных ацэнак М. Каралёва

1 π

∏

(

p − 1

ln ⁡

(

1 +

1 p

)

≈ 0 , 7138067

{\displaystyle c_{1}={\frac {1}{\pi }}\prod _{p}\left({\frac {p^{3/2}}{\sqrt {p-1}}}\ln \left(1+{\frac {1}{p}}\right)\right)\approx 0,7138067}

$\{\displaystyle c_\{1\}=\{\frac \{1\}\{\pi \}\}\prod _\{p\}\left(\{\frac \{p^\{3/2\}\}\{\sqrt \{p-1\}\}\}\ln \left(1+\{\frac \{1\}\{p\}\}\right)\right)\approx 0,7138067\}$ . Абагульненні

Паняцце дзялімасці абагульняецца на адвольныя колцы, напрыклад колца мнагачленаў.

Гл. таксама

Зноскі

↑ Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Глава 4. Элементы теории чисел // Конкретная математика. Основание информатики. — М.: Мир, 1998. — С. 125.
↑ А. А. Бухштаб. Теория чисел. — М.: Просвещение, 1966.
↑ Аналитическая теория чисел
↑ Weisstein, Eric W. Dirichlet Divisor Problem(англ.) на старонцы Wolfram MathWorld.
↑ В. И Арнольд. Динамика, статистика и проективная геометрия полей Галуа. — М.: МЦНМО, 2005. — С. 70. — 72 с.

Літаратура

Виноградов И. М. Основы теории чисел. М.-Л.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1952, 180 с.
Воробьев Н. Н. Признаки делимости. — 4-е изд. — М.: Наука, 1988. — Т. 38. — 94 с. — (Популярные лекции по математике). — ISBN 5-02-013731-6.

Спасылкі

Відэа пра дзялімасць

Тэмы гэтай старонкі (4):
Катэгорыя·Матэматычныя дачыненні
Катэгорыя·Вікіпедыя·Старонкі з модулем Hatnote з чырвонай спасылкай
Катэгорыя·Арыфметыка
Катэгорыя·Тэорыя лікаў