wd wp Пошук:
    ⬜

    Гіпотэза Пуанкарэ

    Гіпо́тэза Пуанкарэ́ — адна з самых вядомых задач тапалогіі. Яна дае дастатковую ўмову таго, што прастора з’яўляецца трохмернаю сфераю з дакладнасцю да дэфармацыі.

    Фармулёўка

    Гіпотэза Пуанкарэ

    У зыходнай форме гіпотэза Пуанкарэ сцвярджае:

    Усякая адназвязная(руск.) бел. кампактная(руск.) бел. трохмерная мнагастайнасць(руск.) бел. без краю гомеаморфная трохмернай сферы.

    Абагульненая гіпотэза Пуанкарэ

    Абагульненая гіпотэза Пуанкарэ сцвярджае:

    Для любога натуральнага ліку n усякая мнагастайнасць размернасці n гоматапічна эквівалентная(руск.) бел. сферы размернасці n тады і толькі тады, калі яна гомеаморфная ёй.

    Зыходная гіпотэза Пуанкарэ з’яўляецца асобным выпадкам абагульненай гіпотэзы пры n = 3.

    Схема доказу

    Паток Рычы(руск.) бел. — гэта пэўнае ўраўненне ў частковых вытворных(руск.) бел., падобнае на ўраўненне цеплаправоднасці(руск.) бел.. Ён дазваляе дэфармаваць рыманаву метрыку на мнагастайнасці, але ў працэсе дэфармацыі могуць утварацца «сінгулярнасці» — пункты, у якіх крывізна імкнецца да бесканечнасці, і дэфармацыю немагчыма працягнуць. Асноўны крок у доказе заключаецца ў класіфікацыі такіх сінгулярнасцей у трохмерным арыентаваным выпадку. Пры падыходзе да сінгулярнасці паток спыняюць і ажыццяўляюць «хірургію»(руск.) бел. — выкідваюць малую звязную кампаненту ці выразаюць «шыю» (г. зн. адкрытую вобласць дыфеаморфную(руск.) бел. прамому здабытку

    ( 0 , 1 ) ×

    S

    2

    {\displaystyle (0,1)\times S^{2}}

    \{\displaystyle (0,1)\times S^\{2\}\}), а атрыманыя дзве дзіркі заклейваюць двума шарамі так, што метрыка(руск.) бел. атрыманай мнагастайнасці становіцца дастаткова гладкаю — пасля чаго працягваюць дэфармацыю ўздоўж патоку Рычы.

    Працэс, апісаны вышэй, называецца «паток Рычы з хірургіяй». Класіфікацыя сінгулярнасцей дазваляе заключыць, што кожны «выкінуты кавалак» дыфеаморфны(руск.) бел. сферычнай прасторавай форме(руск.) бел..

    Пры доказе гіпотэзы Пуанкарэ пачынаюць з адвольнай рыманавай метрыкі на адназвязнай трохмернай мнагастайнасці

    M

    {\displaystyle M}

    \{\displaystyle M\} і прымяняюць да яе паток Рычы з хірургіяй. Важным крокам з’яўляецца доказ таго, што ў выніку такога працэсу «выкідваецца» ўсё. Гэта значыць, што зыходную мнагастайнасць

    M

    {\displaystyle M}

    \{\displaystyle M\} можна прадставіць як набор сферычных прасторавых форм

    S

    3

    /

    Γ

    i

    {\displaystyle S^{3}/\Gamma _{i}}

    \{\displaystyle S^\{3\}/\Gamma _\{i\}\}, злучаных адна з адною трубкамі

    [ 0 , 1 ] ×

    S

    2

    {\displaystyle [0,1]\times S^{2}}

    \{\displaystyle [0,1]\times S^\{2\}\}. Падлік фундаментальнае групы(руск.) бел. паказвае, што

    M

    {\displaystyle M}

    \{\displaystyle M\} дыфеаморфная звязнай суме(руск.) бел. набору прасторавых форм

    S

    3

    /

    Γ

    i

    {\displaystyle S^{3}/\Gamma _{i}}

    \{\displaystyle S^\{3\}/\Gamma _\{i\}\}, і больш таго, усе

    Γ

    i

    {\displaystyle \Gamma _{i}}

    \{\displaystyle \Gamma _\{i\}\} трывіяльныя. Такім чынам,

    M

    {\displaystyle M}

    \{\displaystyle M\} з’яўляецца звязнаю сумаю набору сфер, г.зн. сфераю.

    Гісторыя

    У 1900 годзе Пуанкарэ выказаў здагадку, што трохмерная мнагастайнасць са ўсімі групамі гамалогій як у сферы гомеаморфнае сферы. У 1904 годзе ён жа знайшоў контрпрыклад, які цяпер называецца сфераю Пуанкарэ(руск.) бел., і сфармуляваў канчатковы варыянт сваёй гіпотэзы. Спробы даказаць гіпотэзу Пуанкарэ прывялі да шматлікіх новых вынікаў у тапалогіі мнагастайнасцей.

    Доказы абагульненай гіпотэзы Пуанкарэ для n ⩾ 5 атрыманы ў пачатку 1960—1970-х амаль адначасова Смейлам, незалежна і іншымі метадамі Столінгсам(англ.) бел. (для n ⩾ 7, яго доказ быў пашыраны на выпадкі n = 5 і 6 Зееманам(англ.) бел.). Доказ значна цяжэйшага выпадку n = 4 быў атрыман толькі ў 1982 годзе Фрыдманам. З тэарэмы Новікава аб тапалагічнай інварыянтнасці характарыстычных класаў Пантрагіна вынікае, што існуюць гоматапічна эквівалентныя, але не гомеаморфныя мнагастайнасці ў высокіх размернасцях.

    Доказ зыходнай гіпотэзы Пуанкарэ (і больш агульнай гіпотэзы Цёрстана) быў знойдзены толькі ў 2002 годзе Рыгорам Перэльманам. Пазней доказ Перэльмана быў правераны і прадстаўлены ў разгорнутым выглядзе сама меней трыма групамі навукоўцаў[1]. Доказ выкарыстоўвае паток Рычы з хірургіяй і ў многім прытрымліваецца плана, намечанага Хамільтанам(руск.) бел., які таксама першым прымяніў паток Рычы.

    Прызнанне і ацэнкі

    Гл. таксама

    Зноскі

    1. ↑ И. Иванов Полное доказательство гипотезы Пуанкаре предъявлено уже тремя независимыми группами математиков 03/08/06, elementy.ru
    2. ↑ Dana Mackenzie (2006). “BREAKTHROUGH OF THE YEAR: The Poincaré Conjecture—Proved”. Science 314 (5807): 1848-1849. doi:10.1126/science.314.5807.1848. http://www.sciencemag.org/cgi/content/full/314/5807/1848. (англ.)
    3. ↑ Keith Devlin. The biggest science breakthrough of the year. Mathematical Association of America. 2006.
    4. ↑ Сярод іншага, «Manifold Destiny» была ўключана ў кнігу The Best American Science Writing за 2007 год.
    5. ↑ Sylvia Nasar, David Gruber (2006). “Manifold Destiny: A legendary problem and the battle over who solved it”. The New Yorker (August 21). http://www.newyorker.com/fact/content/articles/060828fa_fact2.  Рускі пераклад: «Многообразная судьба: Легендарная задача и битва за приоритет».
    6. ↑ Prize for Resolution of the Poincaré Conjecture Awarded to Dr. Grigoriy Perelman Архівавана 31 сакавіка 2010.(англ.) . Пресс-релиз математического института Клэя.

    Літаратура

    Тэмы гэтай старонкі (4):
    Катэгорыя·Матэматычныя гіпотэзы
    Катэгорыя·Тапалогія
    Катэгорыя·Вікіпедыя·Запыты на пераклад з рускай
    Катэгорыя·Задачы тысячагоддзя