wd wp Пошук: ⬜

Артаганальная матрыца

Артаганальная матрыца — квадратная матрыца

{\displaystyle A}

$\{\displaystyle A\}$ з рэчаіснымі элементамі, вынік множання якой на

{\displaystyle A^{T}}

$\{\displaystyle A^\{T\}\}$ роўны адзінкавай матрыцы:[1]

A

E ,

{\displaystyle AA^{T}=A^{T}A=E,}

$\{\displaystyle AA^\{T\}=A^\{T\}A=E,\}$ або, што эквівалентна, яе адваротная матрыца роўная транспанаванай матрыцы:

− 1

{\displaystyle !A^{-1}=A^{T}.}

$\{\displaystyle \!A^\{-1\}=A^\{T\}.\}$ Уласцівасці

Стоўбцы і радкі артаганальнай матрыцы ўтвараюць сістэмы ортанарміраваных вектараў, гэта значыць:

∑

i j

i k

j k

{\displaystyle !\sum _{i}A_{ij}A_{ik}=\delta _{jk}}

$\{\displaystyle \!\sum \{i\}A\{ij\}A_\{ik\}=\delta _\{jk\}\}$ і

∑

j i

k i

j k

{\displaystyle !\sum _{i}A_{ji}A_{ki}=\delta _{jk}}

$\{\displaystyle \!\sum \{i\}A\{ji\}A_\{ki\}=\delta _\{jk\}\}$ дзе

i ∈ { 1 ,

… ,

n }

{\displaystyle i\in \{1,;\ldots ,;n\}}

$\{\displaystyle i\in \\{1,\;\ldots ,\;n\\}\}$ , n — парадак матрыцы, а

j k

{\displaystyle \delta _{jk}}

$\{\displaystyle \delta _\{jk\}\}$ — сімвал Кронекера. Іншымі словамі, скалярны здабытак радка на сам сябе роўна 1, а на любы іншы радок — 0. Гэтак жа і для слупкоў.

Вызначнік артаганальнай матрыцы роўны

± 1

{\displaystyle \pm 1}

$\{\displaystyle \pm 1\}$ , што вынікае з уласцівасцей вызначальнікаў:

1 = det ( I ) = det (

A )

det (

) det ( A )

det ( A ) det ( A )

det ( A

)

= 1.

{\displaystyle !1=\det(I)=\det(A^{T}A)=\det(A^{T})\det(A)=\det(A)\det(A)=\det(A)^{2}=1.}

$\{\displaystyle \!1=\det(I)=\det(A^\{T\}A)=\det(A^\{T\})\det(A)=\det(A)\det(A)=\det(A)^\{2\}=1.\}$

Мноства артаганальных матрыц парадку

{\displaystyle n}

$\{\displaystyle n\}$ над полем

{\displaystyle k}

$\{\displaystyle k\}$ ўтварае групу па множанню, так званую артаганальную групу, якая пазначаецца

( k )

{\displaystyle O_{n}(k)}

$\{\displaystyle O_\{n\}(k)\}$ або

O ( n ,

k )

{\displaystyle O(n,;k)}

$\{\displaystyle O(n,\;k)\}$ (калі

{\displaystyle k}

$\{\displaystyle k\}$ апускаецца, то мяркуецца

k

{\displaystyle k=\mathbb {R} }

$\{\displaystyle k=\mathbb \{R\} \}$ ).

Артаганальнай матрыцы адпавядаюць лінейным аператарам, якая пераводзiць ортанарміраванны базіс лінейнай прасторы ў ортанарміраваны.
Любая рэчаісная артаганальная матрыца падобная блокава-дыяганальнай матрыцы з блокамі выгляду

( ± 1 )

{\displaystyle (\pm 1)}

$\{\displaystyle (\pm 1)\}$ и