wd wp Пошук:
    ⬜

    Аксіёмы Пеана

    Аксіёмы Пеана — сістэма аксіём, якія вызначаюць рад натуральных лікаў.

    Аксіёмы Пеана дазволілі фармалізаваць арыфметыку. Пасля ўвядзення аксіём сталі магчымы доказы асноўных уласцівасцей натуральных і цэлых лікаў, а таксама выкарыстанне цэлых лікаў для пабудовы рацыянальных і рэчаісных лікаў.

    Фармулёўкі

    Слоўная

    1. 1 ёсць натуральным лікам;
    2. Лік, наступны за натуральным, таксама ёсць натуральным;
    3. 1 не йдзе ні за якім натуральным лікам;
    4. Калі натуральны лік a непасрэдна йдзе як за лікам b, так і за лікам c, то b і c тоесныя;
    5. Аксіёма індукцыі:

    Калі якое-небудзь сцверджанне а) даказана для 1 (база індукцыі), б) і калі з дапушчэння, што яно справядліва для натуральнага ліку n, вынікае, што яно праўдзіцца і для наступнага за n натуральнага ліку (індукцыйнае сцверджанне), то гэта сцверджанне справядліва для ўсіх натуральных лікаў.

    Матэматычная

    Увядзем функцыю

    S ( x )

    {\displaystyle S(x)}

    \{\displaystyle S(x)\}, якая супастаўляе ліку

    x

    {\displaystyle x}

    \{\displaystyle x\} наступны за ім лік.

    1. 1 ∈

    N

    {\displaystyle 1\in \mathbb {N} }

    \{\displaystyle 1\in \mathbb \{N\} \}; 2. x ∈

    N

    → S ( x ) ∈

    N

    {\displaystyle x\in \mathbb {N} \rightarrow S(x)\in \mathbb {N} }

    \{\displaystyle x\in \mathbb \{N\} \rightarrow S(x)\in \mathbb \{N\} \}; 3. ∄ x ∈

    N

    ( S ( x )

    1 )

    {\displaystyle \nexists x\in \mathbb {N} ;(S(x)=1)}

    \{\displaystyle \nexists x\in \mathbb \{N\} \;(S(x)=1)\}; 4. S ( b )

    a → ( S ( c )

    a → b

    c )

    {\displaystyle S(b)=a\rightarrow (S(c)=a\rightarrow b=c)}

    \{\displaystyle S(b)=a\rightarrow (S(c)=a\rightarrow b=c)\}; 5. P ( 1 ) → ( ∀ n ( P ( n ) → P ( S ( n ) ) ) → ∀ n ∈

    N

    ( P ( n ) ) )

    {\displaystyle P(1)\rightarrow (\forall n(P(n)\rightarrow P(S(n)))\rightarrow \forall n\in \mathbb {N} (P(n)))}

    \{\displaystyle P(1)\rightarrow (\forall n(P(n)\rightarrow P(S(n)))\rightarrow \forall n\in \mathbb \{N\} (P(n)))\}.

    Даслоўны тэкст

    Тэкст Пеанавых аксіём, як ён прыведзен у арыгінальным выданні Пеана:

    1. «0 ёсць натуральны лік»;
    2. «наступны за натуральным лікам ёсць натуральны лік»;
    3. «0 не йдзе ні за якім натуральным лікам»;
    4. «усякі натуральны лік ідзе толькі за адным натуральным лікам»;
    5. Аксіёма поўнай індукцыі.

    Заўвага: тое, што першы элемент тут 0, а не 1, прынцыповага значэння не мае.

    Гісторыя

    Фармальнае азначэнне натуральных лікаў у XIX стагоддзі сфармуляваў італьянскі матэматык Джузэпэ Пеана.

    Аксіёмы Пеана засноўваліся на пабудовах Грасмана, хоць іменна Пеана надаў ім сучасны выгляд.

    Літаратура

    Тэмы гэтай старонкі (4):
    Катэгорыя·Алгебра
    Катэгорыя·Арыфметыка
    Катэгорыя·Матэматычная логіка
    Катэгорыя·Натуральныя лікі