Нулявая матрыца
Нулявая матрыца — гэта матрыца памеру
m × n ,
{\displaystyle m\times n,}
Z
(
0
0
⋯
0
0
0
⋯
0
⋮
⋮
⋱
⋮
0
0
⋯
0
)
{\displaystyle Z={\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0\0&0&\cdots &0\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \0&0&\cdots &0\end{pmatrix}}}
Прыкметы
Нулявая матрыца, і толькі яна, мае ранг 0.
Гэта азначае, што толькі нулявая матрыца валодае ўласцівасцю даваць нулявы слупок пры памнажэнні справа на любы вектар-слупок, і аналагічна для множання на вектар-радок злева.
Іншым наступствам гэтага факту з’яўляецца нулёвасць ўсіх матрыц памеру m×0 и 0×n, з прычыны таго, што ранг матрыцы m×n не перавышае min(m, n).
Уласцівасці
- Здабытак нулявой матрыцы на любы лік роўны ёй самой:
a
Z
Z .
{\displaystyle a,Z=Z.,}
- Сума матрыцы
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
A + Z
A ,
Z + A
A .
{\displaystyle A+Z=A,;;;Z+A=A.}
- Розніца матрыцы
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
A − Z
A .
{\displaystyle A-Z=A.,}
- Здабытак матрыцы
A
{\displaystyle A}
l × m ,
{\displaystyle l\times m,}
m × n ,
{\displaystyle m\times n,}
l × n :
{\displaystyle l\times n:}
A ⋅ Z
Z .
{\displaystyle A\cdot Z=Z.,}
- Квадратная нулявая матрыца n×n пры
n ⩾ 1
{\displaystyle n\geqslant 1}
- | Z |
= 0.
{\displaystyle \left|Z\right|=0.}
-
Такім чынам, такая матрыца не мае адваротнай. Неквадратная, зрэшты, таксама не мае, што нядзіўна.
-
Квадратная нулявая матрыца з’яўляецца сіметрычнай, і, як следства, яе транспанаваная матрыца роўная ёй самой:
Z
T
= Z .
{\displaystyle Z^{T}=Z.,}
- Квадратная нулявая матрыца з’яўляецца таксама косасіметрычнай:
Z
T
= − Z
(
Z ) .
{\displaystyle Z^{T}=-Z,(=Z).}
-
Апошнія два пункта даслоўна слушныя і ў дачыненні да эрмітавасці і косаэрмітавасці над полем комплексных лікаў.
-
Квадратная нулявая матрыца з’яўляецца верхнетрохвугольнай, ніжнетрохвугольнай і дыяганальнай матрыцай.
-
Квадратная нулявая матрыца з’яўляецца скалярнай матрыцай, і, такім чынам, перастановачная з любой квадратнай матрыцай таго ж памеру:
Z A
A Z
Z
{\displaystyle ZA=AZ=Z}
Катэгорыя·Тыпы матрыц